一種風(fēng)險型決策的效用模型及其應(yīng)用

毛春華

（湖南財政經(jīng)濟學(xué)院，湖南 長沙 410205）

0 引言

風(fēng)險型決策的最基本的決策準(zhǔn)則是期望值準(zhǔn)則，其基本原理是決策者應(yīng)該選擇行動空間中期望值最大的行動.期望值準(zhǔn)則也是最直觀處理風(fēng)險決策的方法，但它不是一個很合理的準(zhǔn)則，像著名的Petersburg悖論指出的那樣，利用期望值準(zhǔn)則可以導(dǎo)致不理性的決策.為解決Petersburg悖論，Bernouli在1738年提出了效用函數(shù)的概念并論述效用函數(shù)的可能形式.但是，期望效用理論在其形成與發(fā)展過程中，也遇到了一些新的挑戰(zhàn).最大期望效用準(zhǔn)則在某些實際問題中顯示出了偏差.如在1952年，法國數(shù)學(xué)家、諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者Allias就提出了著名的悖論.本文試圖引進(jìn)決策行動的風(fēng)險，和期望效用一起作為另一個決策變量，在作出決策行動時綜合考慮每一行動方案的期望效用與風(fēng)險大小，該模型能很好地解釋決策悖論，是對期望效用理論的完善與發(fā)展.

1 模型的建立

風(fēng)險型決策問題G=（Θ,A,u),每一決策行動對于決策人來說，既具有一定的期望效用，但也面臨一定的風(fēng)險.所以，決策人在作出決策行動時，必須同時考慮以上兩個方面的因素.因此，我們把它們作為兩個決策變量，引入到同一個決策函數(shù)f[Eu,Hu]中.為此，我們首先構(gòu)造一個評價決策行動優(yōu)劣的決策函數(shù)f[Eu,Hu].

定義1 給出風(fēng)險型決策問題G=（Θ,A,u)，且行動空間中至少存在兩個行動方案，如果行動方案a∈A使存在，則行動a的效用決策函數(shù)定義為

其中,E[u(a)]表示行動a的期望效用，Hu(a)表示行動a的效用風(fēng)險熵，而λ表示決策者對于所面臨的決策問題的期望效用和風(fēng)險大小的平衡系數(shù)，它隨著決策著的不同而不同，也隨著決策行動空間的變化而變化.不妨稱λ為決策行動的效用—風(fēng)險平衡系數(shù)，一般來說，當(dāng)決策者比較重視決策行動的期望效用而不重視風(fēng)險大小時，λ接近于1，當(dāng)λ=1時，則該決策函數(shù)就是決策行動的期望效用.反之，當(dāng)決策者特別關(guān)注決策行動的風(fēng)險時，λ相對較小.

顯然，該效用決策函數(shù)只是一個比較性定義，它只具有相對性的含義.由決策行動空間中的各個決策行動的期望效用和每個行動本身的效用風(fēng)險熵決定，它既考慮了每一決策行動對決策者所具有的主觀期望效用，也考慮了每一行動所具有的不確定性大小給決策者帶來的效用風(fēng)險.

定義2 風(fēng)險型決策問題（Θ,A,u),a1，a2∈A,如果f(a1)>f(a2)，則我們稱行動 a1優(yōu)于 a2，即 f(a1)>f(a2)圳a1>a2.

如果存在行動a*∈A,使得,則稱行動方案a*為在效用決策模型下的最優(yōu)方案.

利用效用模型的決策方法可以將行動空間中的每一行動方案按其函數(shù)值的大小進(jìn)行排序，從而找出其中的最優(yōu)方案.

2 模型的性質(zhì)

定義1風(fēng)險型決策的效用模型有如下一些性質(zhì)：

定理1 決策函數(shù)f[Eu,Hu]是關(guān)于期望效用E[u(a)]的增函數(shù)，是關(guān)于效用風(fēng)險熵Hu(a)的減函數(shù).且對于a1,a2∈A，如果有

E[u(a1)]≥E[u(a2)]，且 Hu(a1)≤Hu(a2)，則 f(a1)≥f(a2).

證明 由定義1中效用決策函數(shù)表達(dá)式

容易得出結(jié)論.

定理2 對于風(fēng)險型決策問題（Θ,A,u)，有

(1)若決策行動A中的所有行動方案的期望效用E[u(a)]都相同，則效用風(fēng)險熵Hu(a)最小的行動是最優(yōu)行動.

(2)決策行動A中的所有行動方案對應(yīng)的效用風(fēng)險熵Hu(a)都相同，則期望效用E[u(a)]最大的行動即為最優(yōu)行動.

證明 因為每一決策行動的期望效用E[u(a)]都相同，決策函數(shù)f[Eu,Hu]是關(guān)于效用風(fēng)險熵Hu(a)的減函數(shù)，從而效用風(fēng)險熵最小的行動決策函數(shù)值最大，根據(jù)定義2，它是最優(yōu)行動.

同理，若每一決策行動效用風(fēng)險熵Hu(a)相同，決策函數(shù)是關(guān)于期望效用E[u(a)]的增函數(shù)，從而期望效用E[u(a)]最大的行動決策函數(shù)值也最大，即它是最優(yōu)行動.

由以上可知，若所有決策行動的期望效用E[u(a)]相同，則只要比較它們的效用風(fēng)險熵Hu(a)的大小即可，效用風(fēng)險熵最小的即為最優(yōu)行動；如果所有行動方案的效用風(fēng)險熵Hu(a)的相同，則只要比較它們的期望效用E[u(a)，期望效用最大的即為最優(yōu)行動.特別地，我們有：

定理3 對于風(fēng)險型決策問題（Θ,A,u)，當(dāng)行動空間中只有行動a1和a2時，若行動方案a1和a2的期望效用E[u(a)]相同，則效用風(fēng)險熵Hu(a)小的行動即為最優(yōu)行動；如果它們的效用風(fēng)險熵Hu(a)相同，則期望效用E[u(a)]大的即為最優(yōu)行動.

更進(jìn)一步，如果兩個決策行動a1和a2中，a1是確定性行動，a2為風(fēng)險行動，則還有如下結(jié)論：

定理4(1)若兩行動a1和a2有相同的期望效用E[u(a)],則確定性行動a1即為最優(yōu)行動.(2)若兩行動有相同的均值，假設(shè)決策者是風(fēng)險厭惡型的，則確定性行動a1為最優(yōu)行動.

證明 （1）很顯然，由效用風(fēng)險熵的性質(zhì)可知Hu(a1)=0,Hu(a2)>0，且它們的期望效用值E[u(a)]相同，根據(jù)定理2,有f(a1)>f(a2)，即a1為最優(yōu)行動.

(2)設(shè)風(fēng)險型行動a2的概率分布為

表1 風(fēng)險行動a2的概率分布

令a1和a2的期望值為c，由于決策者為風(fēng)險厭惡型的，于是其效用函數(shù)局部為上凸的，由Jesen不等式，可以得到

于是有

行動a1和a2的效用風(fēng)險熵有Hu(x,a1)=0,Hu(x,a2)>0,因而，根據(jù)定理3有f(a1)>f(a2)，即a1為最優(yōu)行動.

對于如上的決策問題，如果用期望效用準(zhǔn)則來進(jìn)行決策，同樣可以得出行動a1優(yōu)于行動a2.即對于該決策問題，用效用決策方法與期望效用理論得到的結(jié)果相一致.由此可見，在某些情況下，兩個準(zhǔn)則得到的結(jié)論是相容的.同時，上述定理得到的結(jié)論與一個風(fēng)險厭惡型的決策者憑直覺作出的決策一致.由此也可以說明，對于該決策問題，效用—風(fēng)險決策模型既可以作為決策的規(guī)范化模型，也可以作為決策的描述性模型.

如果決策者為風(fēng)險中性的，我們還有如下的結(jié)論：

定理5 對于風(fēng)險型決策問題（Θ,A,u)，假定決策者是風(fēng)險中性的，具有線性的效用函數(shù),設(shè)對于行動空間中的行動a1和a2具有相同的均值，即E[u(a1)]=E[u(a2)],如果Hu(x,a1)

證明 由于決策者具有線性的效用函數(shù)，且行動a1和a2有相同的期望值，從而它們有相同的期望效用，又Hu(x,a1)

3 模型的應(yīng)用

在以下實例中，假設(shè)決策者是風(fēng)險中性的（其它風(fēng)險情形，模型的應(yīng)用方法亦相同），有線性的效用函數(shù)u(x)=，其中xmax和xmin分別表示最大的和最小的損益值.例1 設(shè)風(fēng)險型決策只有兩個行動a1和a2，它們分別如下

a1：以0.3的概率得到10元，以0.4的概率得到20元，以0.3的概率得到30元；

a2：以0.2的概率得到10元，以0.6的概率得到20元，以0.2的概率得到30元.列表如下:

表2 風(fēng)險型行動a1和a2的收益及其概率

通過計算，我們得到行動a1和a2的期望效用和效用風(fēng)險熵于下表：

表3 行動a1和a2的期望效用和效用風(fēng)險熵

因為 Eu(a1)=Eu(a2)，但 Hu(a1)>Hu(a2)，因此，對任意的 λ，由定理 3，都有 f(a1)

例2 現(xiàn)有三個風(fēng)險型投資決策X1,X2,X3其收益率（%）及其相應(yīng)的概率如下表所示

表4 風(fēng)險投資行動X1,X2,X3

通過計算，我們可以得到三個行動X1，X2，X3的期望效用和效用風(fēng)險熵，對其列表如下

表5 行動X1,X2,X3的期望效用和效用風(fēng)險熵

很明顯，由于Eu(X3)>Eu(X2),且Hu(X3)

再來分析X3與X1，假設(shè)決策者的期望效用－效用風(fēng)險熵平衡系數(shù)為λ，則X3與X1的效用函數(shù)值分別

X3優(yōu)于X1的充要條件為

即當(dāng)且僅當(dāng)0.511<λ≤1時，投資者的決策行動X3優(yōu)于X1.同理，我們可以討論X2與X1之間的優(yōu)劣關(guān)系.

接下來我們進(jìn)一步分析X1,X2,X3之間的隨機占優(yōu)關(guān)系，不難得到它們的分布函數(shù)分別為

容易驗證，X1和X2之間，X1和X3之間不具有一階隨機占優(yōu)關(guān)系，而對任何x，均有F3(x)≤F2(x)，且至少存在一個x0，使得 F3(x0)≤F2(x0)，于是 X3一階隨機占優(yōu)于 X2，這與效用決策模型得到的結(jié)論一致.

例3 Allias悖論的解釋,Allias決策悖論的損益值及其相應(yīng)的概率可列表如下：

表6 Allias悖論的決策行動

計算它們的期望效用和效用風(fēng)險熵于下表：

表7 行動a1,a2,a3,a4的期望效用和效用風(fēng)險熵

于是，它們的效用決策函數(shù)值分別為

由效用決策模型，我們有

4 結(jié)束語

利用本文構(gòu)造的決策模型比較合理的解釋了Allias悖論，同時也可以看出，人的決策行為不只是考慮期望效用，其實還要考慮決策的風(fēng)險因素，因此在解決風(fēng)險型決策問題時，同時考慮期望效用和風(fēng)險兩個因素更加科學(xué)，也更符合決策者的決策行為機理.

〔1〕陳廷.決策分析[M].北京：科學(xué)出版社，1987.70～78.

〔2〕姜青舫.現(xiàn)代效用理論 [M].貴州：貴州人民出版社，1990.15～24.

〔3〕張堯庭，陳慧玉.效用函數(shù)及優(yōu)化[M].北京：科學(xué)出版社,2000.39～42.

〔4〕Bell,D.E,One-Switch Utility Function and a Measure of risk,Managent Science,1988(34):1416～1424.

〔5〕姜丹.效用風(fēng)險熵[J].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報，1993,82(2):159～168.