變分法應(yīng)用條件的探索及其靈敏度分析

翁云華，杜　娟，王雪嬌（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川成都610059）

變分法應(yīng)用條件的探索及其靈敏度分析

翁云華，杜娟，王雪嬌
（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川成都610059）

考慮和探究變分法中的各種條件，通過(guò)對(duì)極值必要條件的探索和對(duì)不固定的自然條件的端點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論，以及對(duì)橫截性條件的端點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究，最終得到對(duì)變分法應(yīng)用條件的總結(jié)以及各種情形的分析討論，使得變分法可以更好地拓展和運(yùn)用到許多實(shí)際問(wèn)題中.在此基礎(chǔ)上對(duì)變分法的各類(lèi)討論情形進(jìn)行了靈敏度分析，考察當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解變化情況，以及變化率的高低，推導(dǎo)并得出可直接求變分法的靈敏度的公式.由此簡(jiǎn)化了獲取靈敏度的難度，及復(fù)雜性，并將所得的靈敏度公式應(yīng)用于實(shí)踐.

歐拉拉格朗日方程；自然橫截性條件；變分法；橫截性條件；靈敏度分析

Weng YH,Du J,Wang XJ.The Exploration of the Condition of Variation Method and Sensityvity[J].Journal of Yibin University,2015,15（6）：117-120.

變分法是17世紀(jì)末葉開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它是為了解決實(shí)踐問(wèn)題中的極值問(wèn)題而產(chǎn)生的.不過(guò)它所討論的不是求普通函數(shù)的極值，而是泛函的極值問(wèn)題.近年來(lái)，對(duì)變分問(wèn)題各類(lèi)條件的探索已經(jīng)成為人們研究的熱點(diǎn).由老大中編寫(xiě)的《變分法基礎(chǔ)》一書(shū)中對(duì)變分法的4類(lèi)應(yīng)用條件作了詳細(xì)的描述和總結(jié).本文在此基礎(chǔ)上，考慮變分的每一個(gè)變量都與參數(shù)p有關(guān)，觀察當(dāng)參數(shù)改變時(shí)，目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的最優(yōu)解的變化，推導(dǎo)出直接計(jì)算目標(biāo)函數(shù)靈敏度的公式.主要意義在于，對(duì)給定的目標(biāo)函數(shù)，可以直接利用公式計(jì)算其靈敏度，從而大大減小了計(jì)算量，節(jié)約了計(jì)算成本.

1　準(zhǔn)備知識(shí)

問(wèn)題[1]：設(shè)函數(shù)F（x）在[a,b]上連續(xù)，任意函數(shù)u（x）在區(qū)間[a,b]上具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，考慮變分法在約束條件下的極值問(wèn)題（泛函求極值問(wèn)題）

約束條件為向量

其中向量

為了分析這個(gè)問(wèn)題的平衡條件（目標(biāo)函數(shù)取得極值時(shí)的條件），定義函數(shù)關(guān)于其參數(shù)變分，函數(shù)J與參數(shù)u,a,b有關(guān).變分δJ定義為：

2　條件探索

定理1[2]若J和H定義如上，設(shè)u*（t）為問(wèn)題（1）-（2）的局部極值，設(shè)集合G={u（t）|：H（u（t））=0}非空，并且設(shè)J,H在u*的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，J和Hi是弱連續(xù)的.如果對(duì)于G中的任一函數(shù)u（x）都有 δJ= ΔJ=J[u（x）]-J[u*（x）]=0，則泛函J[u（x）]在u*（x）出取得極值.

極值必要條件[3]：下述條件（I）和條件（II）必有一個(gè)成立.

條件（I）：對(duì)于所有增量 δu1,…,δum和增量δH1,…,δHm有：

條件（II）：對(duì)于u,a,b的任意增量δu,δa,δb，存在常數(shù)使得

若（5）不成立，則（6）可化為

其中 δu（t）、δa、δb為u（t）、a、b各自的增量，λ*= （…,），H=（H1,…,Hm），δa=δ（t）|a.

以上等式要求F和H對(duì)u和u′的偏導(dǎo)數(shù)存在.在下面的討論中，假設(shè)所有涉及到的函數(shù)充分光滑，在實(shí)際應(yīng)用中通常會(huì)遇到以下四種情形：

情形1[4]：由于δu的任意性（7）式可化簡(jiǎn)為滿(mǎn)足極值條件的歐拉－拉格朗日方程：

把這樣定義的泛函變分是由拉格朗日泛函變分法得到的，稱(chēng)之為拉格朗日泛函變分，它與前面定義的變分是等價(jià)的，而且也便于計(jì)算泛函的變分.

為方便書(shū)寫(xiě)，引進(jìn)符號(hào)：

所以歐拉－拉格朗日方程可簡(jiǎn)記為：

情形2：如果u（a）或u（b）非定值，由δu（a）的任意性，可將（7）式化簡(jiǎn)得到關(guān)于u的邊值不固定的自然邊界條件：

例1[5]：求泛函J[y]=[p（x）y′2+q（x）y2+2f（x）y]d x極值問(wèn)題的自然邊界條件，其中x0和x1均為自由邊界，p（x）,q（x）和 f（x）均為已知函數(shù)，且p（x）≠0.

解：因?yàn)閤0和x1均為自由邊界，根據(jù)定理1及情形1、2的自然邊界條件為

情形3：如果端點(diǎn)a或b為自由端點(diǎn).則自由端點(diǎn)a或b滿(mǎn)足泛函求駐值的必要條件，這種條件稱(chēng)之為端點(diǎn)不固定自然邊界條件，同時(shí)把固定邊邊界條件稱(chēng)之為強(qiáng)制邊界條件或本質(zhì)邊界條件，由于δ（a）或δ（b）的任意性，有：

情形4[6]：如果右端點(diǎn)固定，而端點(diǎn)a在曲線Ψ（t）上滑動(dòng)，由y=u（x）與已知曲線y=Ψ（x）交點(diǎn)處的u′與Ψ′的斜率關(guān)系，有橫截性條件（斜截條件）：

解：由以上橫截性條件可得：

化簡(jiǎn)得：

3　靈敏度分析

考慮帶參數(shù)組的變分問(wèn)題，分析當(dāng)參數(shù)變化時(shí)相應(yīng)的最優(yōu)解的變化，為了方便起見(jiàn)，首先考慮有限個(gè)參數(shù)的情形，考慮問(wèn)題[8]

約束條件為

其中

且0∈Rm,p=（p1,…,pm）∈Rk是參數(shù)向量.

這個(gè)問(wèn)題能夠取到最優(yōu)解u*的必要條件已經(jīng)通過(guò)歐拉拉格朗日方程（10）給出，現(xiàn)在假設(shè)約束條件（15）以及依賴(lài)于這個(gè)問(wèn)題的等式（11）-（13）都與參數(shù)p有關(guān).

為獲得方程組的靈敏度，計(jì)算所有參數(shù)的變分.由（14）和（16）得（17）：

其中算子ν定義如下：

如果邊界是固定的，由變分的邊界條件得

在端點(diǎn)a處如果u（a）是不固定的，則有變分自然橫截性條件[9]：

同樣地，如果a是不固定的，則有變分的自然邊界條件為：

如果在端點(diǎn)a處，若端點(diǎn)在曲線?（t；p）（對(duì)比（13）式）上滑動(dòng)，有變分的橫截性條件：

其中：

對(duì)于每一個(gè)λ,p,δλ,δp都在一個(gè)非齊次線性二階積分方程中，和（24）一起構(gòu)成邊值問(wèn)題，它的解結(jié)合（17）、（18）可獲得關(guān)于J,u,λ及其相應(yīng)的靈敏度.通常用單位矩陣來(lái)代替δp.需要注意的是（17）、（18）、（24）給出了關(guān)于δJ,δp,δλ的線性方程組.

所以原問(wèn)題（14）-（16）的目標(biāo)函數(shù)的關(guān)于參數(shù)p的靈敏度向量可給出如下：

這是關(guān)于參數(shù) p的拉格朗日函數(shù)在最優(yōu)解u*,λ*處的梯度.

雖然原問(wèn)題和雙變量的靈敏度很難獲得，以上實(shí)際結(jié)論卻為提供了計(jì)算靈敏度的直接公式.

對(duì)于有無(wú)限個(gè)參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的靈敏度也可以類(lèi)似得到.下面簡(jiǎn)單看一下求靈敏度的實(shí)際應(yīng)用

例3：考慮下面關(guān)于參數(shù)p的問(wèn)題

約束條件為

由于已經(jīng)給出靈敏度的公式，所以可以直接進(jìn)行計(jì)算.

為了計(jì)算J,λ,u（t；p）的偏導(dǎo)數(shù)，首先解決關(guān)于p的參數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題的歐拉方程為：

其解為：

在（29）中應(yīng)用邊界條件，得到最優(yōu)解

則u（t,p）,λ,J的偏導(dǎo)數(shù)為

由此便得到了目標(biāo)函數(shù)的靈敏度.

4　結(jié)語(yǔ)

方程（10）-（13）是變分法求極值的著名的必要條件，對(duì)泛函求極值提供了事半功倍的作用.在自然科學(xué)和工程技術(shù)中所遇到的變分問(wèn)題，有時(shí)要求極值函數(shù)除滿(mǎn)足給定的邊界條件外，還要滿(mǎn)足一定的附約束加條件，這些附加條件也可直接在變分法的應(yīng)用條件基礎(chǔ)上再上附加條件，就可以直接應(yīng)用各類(lèi)條件即可，這就是泛函的求條件極值問(wèn)題.泛函的條件極值的計(jì)算方法與函數(shù)的條件極值的計(jì)算方法類(lèi)似，很多問(wèn)題也可用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)實(shí)現(xiàn).

變分方法已經(jīng)被越來(lái)越多的拓展和運(yùn)用到許多實(shí)際問(wèn)題中.（25）式給出了目標(biāo)函數(shù)直接求靈敏度的公式，為在應(yīng)用實(shí)踐中求靈敏度提供了很大的方便，同時(shí)對(duì)于變分法的靈敏度分析方法也可適用于（線性和非線性）最優(yōu)化問(wèn)題，以及優(yōu)化控制問(wèn)題，其靈敏度的獲取方法與求變分法的靈敏度相似.

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（編校：許潔）

The Exploration of the Condition of Variation Method and Sensitivity Analysis

WENGYunhua,DU Juan,WANGXuejiao
（College ofManagementScience,Chengdu University ofTechnology,Chengdu,Sichuan 610059,China）

The various conditionsofvariationalmethod wasexplored through theexploration ofnecessary conditionsofex?treme and classified discussion on the endpoints of unfixed natural conditions.Endpoint issues of transversality condi?tionswere explored so as to eventually get the summary ofapplication conditions of variationalmethod,ensuring the bet?ter developmentand further application of variationalmethod in solving practical problems.Sensitivity analysiswere then carried outon the basis of the above research of variationalmethod to observe the shiftof optimal solution of original ob?jective function with parameters change,aswellas the rate of change.And a formula of directly getting the sensitivity rate ofvariationalmethod were derived.Thissimplifies complexity in accessing sensitivity issues.

Euler-Lagrange equations；natural and transversality conditions；calculus of variations；transversality condi?tions；sensitivity analysis

O29

A

1671-5365（2015）06-00117-04

2015-03-24修回：2015-04-08

翁云華（1991-），男，碩士研究生，研究方向?yàn)閼?yīng)用泛函分析

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-04-09 09：59網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20150409.0959.001.html

引用格式：翁云華，杜娟，王雪嬌.變分法應(yīng)用條件的探索及其靈敏度分析[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2015,15（6）：117-120.