在研究生數(shù)值分析課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探索與實(shí)踐

【摘 要】本文分析了當(dāng)前研究生數(shù)值分析課程的特點(diǎn)及教學(xué)中存在的問題，從教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式兩個(gè)方面對(duì)數(shù)值分析教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行了探討，提出了注重基礎(chǔ)、更新教學(xué)內(nèi)容、增加與理論知識(shí)相關(guān)的背景介紹、教學(xué)內(nèi)容中滲透建模思想的教學(xué)方法，并指出只有加強(qiáng)在教學(xué)方法、教學(xué)手段及考試方式三方面的改革，才能強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

【關(guān)鍵詞】數(shù)值分析 數(shù)學(xué)建模 教學(xué)改革 創(chuàng)新能力

【中圖分類號(hào)】G643 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）12-0011-02

數(shù)值分析是理工科碩士研究生重要的基礎(chǔ)課，是他們將來從事學(xué)術(shù)研究的必要基礎(chǔ)與工具，是一門研究如何高效地運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的數(shù)值方法及理論的科學(xué)，是程序設(shè)計(jì)的重要依據(jù)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行理論分析的基礎(chǔ)，它兼有被譽(yù)為當(dāng)今科學(xué)探索活動(dòng)三大支柱中的科學(xué)計(jì)算、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論分析三種功能。數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題，因而，研究在數(shù)值分析教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，能很好地解決“學(xué)”與“用”之間的關(guān)系，將有助于學(xué)生學(xué)習(xí)理論知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

本文根據(jù)近年來教師從事研究生數(shù)值分析課程教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)及理論研究結(jié)果，分析了當(dāng)前研究生數(shù)值分析課程的特點(diǎn)及教學(xué)中存在的問題，從教學(xué)的內(nèi)容與教學(xué)方式兩個(gè)方面對(duì)數(shù)值分析教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行了探討，提出了注重基礎(chǔ)、更新教學(xué)內(nèi)容、增加與理論知識(shí)相關(guān)的背景介紹、教學(xué)內(nèi)容中滲透建模思想的教學(xué)方法，并加強(qiáng)在教學(xué)方法、教學(xué)手段及考試方式三方面的改革，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

一 數(shù)值分析課程特點(diǎn)與教學(xué)現(xiàn)狀

1.課程特點(diǎn)

與其他純數(shù)學(xué)理論課程相比，數(shù)值分析除了具備數(shù)學(xué)的高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)之外，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)高度技術(shù)性的特點(diǎn)。具體來說，這門課程具有以下教學(xué)特點(diǎn)：（1）知識(shí)面跨度大。數(shù)值分析廣泛運(yùn)用多門數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)，內(nèi)容包括數(shù)值逼近、數(shù)值積分、線性代數(shù)方程組的直接解法和迭代方法、非線性方程組的計(jì)算方法、矩陣特征值與特征向量的計(jì)算、常微分方程數(shù)值計(jì)算等，涉及數(shù)學(xué)分析、代數(shù)學(xué)、微分方程、泛函分析等眾多數(shù)學(xué)理論。（2）有可靠的理論分析，注重理論與應(yīng)用的結(jié)合。數(shù)值分析注重運(yùn)用這些理論構(gòu)造適合計(jì)算機(jī)執(zhí)行的數(shù)值方法，根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算法。它的許多理論與方法本身并不是數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)物，而是以“計(jì)算”為目標(biāo)發(fā)展起來的。（3）公式推導(dǎo)和算法比較多，計(jì)算量比較大。從數(shù)值分析的教材上可以看出，從理論上來說，這門課就是在講算法，課堂上大部分時(shí)間都是在講解煩瑣的理論推導(dǎo)。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，為了能夠很好地說明解決實(shí)際問題中數(shù)值計(jì)算方法的功勞所在，是有效處理其中存在的大量靠手工計(jì)算難以完成的計(jì)算任務(wù)。

2.教學(xué)現(xiàn)狀

從教學(xué)內(nèi)容上看，目前研究生數(shù)值分析教學(xué)主要有兩種類型：（1）偏重于數(shù)值分析的理論知識(shí)；（2）偏重于數(shù)值分析中具體算法的應(yīng)用。前者對(duì)于沒有經(jīng)過系統(tǒng)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的理工科碩士生來說，其精髓和思想方法很難被體會(huì)和掌握，學(xué)生往往無法將花費(fèi)大量時(shí)間學(xué)習(xí)的理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題的解決中去；而后者又不利于學(xué)生對(duì)數(shù)值分析理論基礎(chǔ)，特別是數(shù)值分析思想方法的掌握，致使很多學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容知其然而不知其所以然，在實(shí)際應(yīng)用中缺乏靈活變通。

從教學(xué)方式上看，傳統(tǒng)的“注入式”教學(xué)模式仍占主導(dǎo)地位。多年來，盡管很多教育工作者對(duì)研究生教學(xué)改革作了多方面的有益嘗試，但教學(xué)模式仍沒有得到根本性的改變。這種模式偏重知識(shí)傳授，忽視了研究生的個(gè)性培養(yǎng)、創(chuàng)新思維的訓(xùn)練和引導(dǎo)。

二 建模思想與數(shù)值分析的融合教學(xué)實(shí)踐探索

1.注重基礎(chǔ)，強(qiáng)化建模思想的融入

研究生的學(xué)習(xí)不只是書本知識(shí)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，也不只是運(yùn)用概念原理解決書本上設(shè)計(jì)好的、情境化和確定性的問題；而是為了應(yīng)用于研究，解決他們以后可能遇到的科學(xué)與工程中的技術(shù)問題。教學(xué)過程中，基本理論教學(xué)必不可少，基礎(chǔ)相當(dāng)于一座大廈的地基，沒有堅(jiān)固的基礎(chǔ)，華麗的大廈終究會(huì)倒塌，學(xué)習(xí)數(shù)值分析也一樣，為了達(dá)到良好的教學(xué)效果，我們應(yīng)該在學(xué)習(xí)過程中廣泛滲透一些建模思想或內(nèi)容。

2.在教學(xué)內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)值分析課程的教學(xué)模塊主要包括數(shù)據(jù)插值與擬合、數(shù)值微分與積分、線性方程組的數(shù)值求解、非線性方程求解、常微分方程數(shù)值解等幾個(gè)部分。下面僅對(duì)非線性方程求解的教學(xué)，介紹如何利用簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型對(duì)數(shù)值分析相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透。至于其他一些教學(xué)內(nèi)容，也可以精選一些合適的數(shù)學(xué)模型作為實(shí)踐教學(xué)案例。

例，非線性方程求解教學(xué)——養(yǎng)老保險(xiǎn)問題。某保險(xiǎn)公司的一份材料指出：在每月交費(fèi)200元，至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金的約定下，男子若從25歲起投保，屆時(shí)月領(lǐng)養(yǎng)老金2282元；若35歲起投保，屆時(shí)月領(lǐng)養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，屆時(shí)月領(lǐng)養(yǎng)老金420元。試考察這三種情況所交保險(xiǎn)獲得的利率。利用Newton迭代法，借助Matlab求解可得該非線性方程的根為x=1.00485。對(duì)于35歲起和45歲起投保的情況，同樣可得保險(xiǎn)金所獲得的月利率分別為0.00461和0.00413。由于銀行利率和投保人壽命等隨機(jī)因素影響，保險(xiǎn)費(fèi)的計(jì)算是比較復(fù)雜的，但通過分析，對(duì)總體的利率還是可以得到大致的估計(jì)。

將數(shù)學(xué)建模的思想融入數(shù)值分析教學(xué)過程中，要求我們必須有一個(gè)合適的切入點(diǎn)，不能用數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容過多占有數(shù)值分析課的教學(xué)時(shí)間，因此精選只涉及相應(yīng)數(shù)值分析理論和方法而又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)容，將其融入數(shù)值分析課程教學(xué)中。

3.更新教學(xué)內(nèi)容，增加與理論知識(shí)相關(guān)的背景介紹

在進(jìn)行課程內(nèi)容的教學(xué)過程中，注意在介紹概念、定理及算法時(shí)，不能再按照傳統(tǒng)的邏輯推理，而應(yīng)該注意引入一些概念產(chǎn)生的時(shí)代背景以及提出概念的人物故事等，更有利于學(xué)生把理論用于實(shí)踐。對(duì)于教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該有所更新，突出數(shù)學(xué)思想和方法，可以從實(shí)際生活中找出一些問題作為教學(xué)素材，讓學(xué)生感受到該學(xué)科與生活的貼近性，激發(fā)學(xué)生對(duì)該學(xué)科的學(xué)習(xí)積極性。

4.選擇適合工科研究生學(xué)員的教材，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

有些數(shù)值分析教材著重于知識(shí)的傳授，忽視數(shù)學(xué)理論知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，有些教材過于偏重模型應(yīng)用的講解，忽視理論知識(shí)的傳授。研究生的學(xué)習(xí)不只是書本知識(shí)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，也不只是運(yùn)用概念原理解決書本上設(shè)計(jì)好的、情境化和確定性的問題，而是為了應(yīng)用于研究，解決他們將來可能遇到的科學(xué)與工程技術(shù)問題。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論知識(shí)與具體實(shí)際問題的一座橋梁，通過應(yīng)用模型和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@取實(shí)際問題的本質(zhì)規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力和創(chuàng)造性思維。選擇一本適當(dāng)?shù)慕滩?，能讓學(xué)生感覺到既在向書本學(xué)習(xí)，也在向?qū)嵺`學(xué)習(xí)，從而可達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

三 數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課程教學(xué)的方式

1.在教學(xué)方法上改革

就教學(xué)而言，教師要順應(yīng)并遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，不能把自己主觀上的認(rèn)識(shí)和構(gòu)想強(qiáng)加到學(xué)生身上。將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析教學(xué)中，需要多種教學(xué)方法的綜合，根據(jù)不同教學(xué)內(nèi)容，靈活運(yùn)用比較教學(xué)法、問題教學(xué)法、討論教學(xué)法等。（1）比較教學(xué)法，就是運(yùn)用比較的方法。理解抽象概念和復(fù)雜問題時(shí)，通過相似的已知的概念和簡(jiǎn)單的問題來比較學(xué)習(xí)。（2）問題教學(xué)法，就是讓學(xué)員在自主學(xué)習(xí)過程中帶著“問題”去思考、去學(xué)習(xí)，教師與學(xué)員一起經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程。對(duì)于概念、算法的引入，采用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，便于學(xué)生由淺入深地學(xué)習(xí)。同時(shí)，倡導(dǎo)學(xué)員要不畏權(quán)威，大膽地向教材質(zhì)疑、向?qū)＜屹|(zhì)疑，學(xué)員通過“發(fā)現(xiàn)問題——解決問題——得出結(jié)論”，使“問題意識(shí)”成為激活課堂的“催化劑”。（3）討論教學(xué)法，就是教師有目的地設(shè)計(jì)一些學(xué)員生活中的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)員課前收集相關(guān)資料，然后進(jìn)行小組討論，課堂交流，通過生生互動(dòng)、師生互動(dòng)，達(dá)到教學(xué)相長的目的。

2.在教學(xué)手段上改革

數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析教學(xué)中，還要借助于豐富的教學(xué)手段。在教學(xué)中我們將傳統(tǒng)的黑板、粉筆加教案的教學(xué)方法與多媒體教學(xué)結(jié)合使用，使學(xué)生易于理解和掌握，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增大課堂信息量，使教學(xué)過程靈活多樣，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成教學(xué)的良性循環(huán)。

在進(jìn)行數(shù)值分析教學(xué)時(shí)，還應(yīng)輔以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，通過數(shù)學(xué)軟件Mathematica、Matlab等可以準(zhǔn)確無誤地進(jìn)行各種運(yùn)算?；纠碚撌桥囵B(yǎng)學(xué)生的思維能力的載體，數(shù)學(xué)軟件的作用主要是驗(yàn)證算法。例如，在講授了函數(shù)擬合的概念與算法后，我們可以引入模型案例“水塔流量的估計(jì)”問題，通過課堂的實(shí)驗(yàn)演示，完成對(duì)模型的求解。

3.在考試方式上改革

考試方法改革是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的切入口，好的考試方法可以推進(jìn)素質(zhì)教育；反之，也可以導(dǎo)致應(yīng)試教學(xué)。應(yīng)該采取過程性評(píng)價(jià)與終結(jié)性評(píng)價(jià)相結(jié)合的方式，主要包括以下幾個(gè)方面：（1）討論課及小論文。僅憑興趣進(jìn)行討論及提交小論文，難以達(dá)到預(yù)期效果。為使學(xué)員積極參與、真正學(xué)有所獲，就要有明確的量化考核標(biāo)準(zhǔn)。（2）階段測(cè)驗(yàn)。能力的培養(yǎng)是一個(gè)漫長的過程，知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化是由量的積累到質(zhì)的飛躍。只有平時(shí)扎實(shí)學(xué)習(xí)、不斷積累，才能實(shí)現(xiàn)這一飛躍。階段測(cè)驗(yàn)的次數(shù)可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)員的實(shí)際情況安排。這是使學(xué)員打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)的保證。（3）實(shí)驗(yàn)報(bào)告。學(xué)員在做完實(shí)驗(yàn)后，按實(shí)驗(yàn)大綱的要求提交實(shí)驗(yàn)報(bào)告，實(shí)驗(yàn)報(bào)告的成績(jī)記入總成績(jī)。（4）期末考試?？荚囀墙虒W(xué)過程的重要組成部分，在數(shù)值分析考試中適當(dāng)引入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，可以檢驗(yàn)我們?cè)诮虒W(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)效果，加強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)專業(yè)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

四 結(jié)束語

將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析的教學(xué)中，不但可以讓學(xué)生較好地掌握數(shù)值分析的有關(guān)理論與方法，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，為以后參加科研活動(dòng)打下一定的基礎(chǔ)。興趣是最好的老師，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是優(yōu)化課堂教學(xué)的有效途徑。然而，如何不斷提高本課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，仍是值得廣大教師在今后的教學(xué)實(shí)踐中不斷探索和思考的重要課題。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕