淺談數(shù)集確界及確界原理

【摘 要】本文應(yīng)用兩種定義的方式說(shuō)明確界，并通過(guò)例題加以說(shuō)明和區(qū)別。同時(shí)采用了反證法對(duì)確界原理加以簡(jiǎn)單證明。

【關(guān)鍵詞】數(shù)集 確界 確界原理

【中圖分類號(hào)】O17 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）24-0087-01

一 關(guān)于數(shù)集上下確界的精確定義

設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若η滿足：（1）對(duì)一切x∈S，有x≤η，即η是S的一個(gè)上界；（2）對(duì)任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α，即η又是S的最小上界，則稱η為數(shù)集S的下確界，記作η=sup S。

同理可定義下確界ξ=inf S。

例1，設(shè)數(shù)集S有上確界，證明η=sup S∈S是η=max S的充分必要條件。

證明：充分性：設(shè)η=sup S∈S，對(duì)一切x∈S有x≤η，而η∈S，于是η是數(shù)集S中最大的數(shù)，即η=max S。

必要性：設(shè)η=max S，則η∈S。下面應(yīng)用上述定義證明η是S的上確界：（1）對(duì)一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；（2）對(duì)任何的α<η，只須取x0=η∈S則x0>α。從而滿足定義，即η=sup S。

二 關(guān)于數(shù)集上下確界的第二種定義

設(shè)S是R中的一個(gè)非空數(shù)集，若實(shí)數(shù)η滿足：（1）對(duì)任意x∈S有，x≤η，即η是S的一個(gè)上界；（2）對(duì)任意的ε>0，存在x0∈S，使得x0+ε>η（或x0>η-ε），即η又是S的最小上界，則稱η為數(shù)集S的下確界，記作η=sup S。

同理可定義下確界ξ=inf S。

例2，設(shè)A與B都是非空有界數(shù)集，定義數(shù)集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}。請(qǐng)證明：sup（A+B）=supA+supB。

證明：對(duì)任意的c∈A+B，存在a∈A，b∈B，使得c=a+b，則設(shè)supA=η1，supB=η2，于是a≤η1，b≤η2，c≤η1+η2。因此η1+η2是A+B的一個(gè)上界。

對(duì)于任意正數(shù)ε存在a∈A，b∈B，使得a>η1-，

b>η2-。于是，a+b∈A+B，并且a+b>（η1+η2）-ε，

于是sup（A+B）=η1+η2，即sup（A+B）=supA+supB。

三 關(guān)于數(shù)集的確界原理

設(shè)S為非空數(shù)集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。

例3，設(shè)f（x），g（x）在D上有界，請(qǐng)證明：

。

證明：。即

是f（x）+g（x）在D上的一個(gè)下界。有下確界定

義，有。

另一方面，由下確界的定義，

。

所以，

。

綜上可得，

。

四 用反證法證明確界原理

這里只證明有上界就必有上確界。

證明：設(shè)S是非空有上界的數(shù)集，即存在M，使得對(duì)一切x∈S有M≥x。所以再令E={y|y是S的上界，y≤M}，因?yàn)镸∈E，所以E是非空集合。

任取y1，y2∈E，對(duì)于所有的0≤α≤1，有αy1+（1-α）y2∈E，所以E是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間。

下面證E中存在最小的數(shù)，是S的上確界。

假設(shè)E中不存在最小的數(shù)，即E=（-∞，M]或E=（a，M]。

當(dāng)E=（-∞，M]時(shí)，即-∞是S的上界，所以S必為空集，這與S≠?矛盾。

當(dāng)E=（a，M]時(shí)，由aE可知a不是S的上界。所

以存在x0∈S，使得x0>a恒成立。所以，且

。即不是S的上界，即E… （1）

顯然，當(dāng)E=（a，M]時(shí)，必有∈E…（2）。（1）

與（2）矛盾，所以E=（a，M]不成立。

綜上有E中存在最小的數(shù)，不妨記作η，則η=sup S

五 關(guān)于確界的拓展

若把±∞補(bǔ)充到數(shù)集中，則任意非空數(shù)集都有上下確界（正常的或非正常的）。

例如，對(duì)于正整數(shù)集N+有inf N+=1，sup N+=+∞；對(duì)于數(shù)集S={y|y=2-x2，x∈R}有inf S=-∞，sup S=2。

參考文獻(xiàn)

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〔責(zé)任編輯：李錦雯〕