高仿真直線一級倒立擺模型設(shè)計(jì)?

戴源成，張文志

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

0 引言

倒立擺是非線性、高階次、多變量強(qiáng)耦合的自不穩(wěn)定系統(tǒng)，是控制領(lǐng)域經(jīng)常討論的問題［1－3］。研究倒立擺一般先要建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型，大多數(shù)研究人員建立的倒立擺模型都是理想化的、線性化的，未考慮空氣阻力和轉(zhuǎn)軸摩擦力的影響，在這樣的模型上開發(fā)出來的控制方法應(yīng)用到真實(shí)倒立擺上存在較大的偏差甚至不可行。本文提出了直線一級倒立擺的帶有阻力效應(yīng)的非線性數(shù)學(xué)模型，重點(diǎn)研究了直線一級倒立擺擺桿在擺動(dòng)過程中所受到的介質(zhì)阻力和摩擦力的計(jì)算方法，利用Simulink的S函數(shù)建立了高仿真非線性虛擬倒立擺，通過調(diào)整S函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，使虛擬倒立擺與真實(shí)倒立擺具有非常接近的工作狀態(tài)，因而在虛擬倒立擺上獲得的結(jié)論通常也適用于對應(yīng)的真實(shí)倒立擺。

1 直線一級倒立擺的非線性數(shù)學(xué)模型

直線一級倒立擺通常由擺桿、擺桿小車及電機(jī)伺服系統(tǒng)等組成，其電機(jī)伺服系統(tǒng)的輸出可分為力矩輸出和加速度輸出兩種形式。采用加速度輸出形式時(shí)，系統(tǒng)以小車加速度u為輸入量，系統(tǒng)模型相對比較簡單，因此我們以加速度為輸入量來建立系統(tǒng)模型，并假設(shè)：擺桿是剛體；擺桿桿長為L；擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸中心的距離為l；擺桿關(guān)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J；擺桿質(zhì)量為m。

其中：Mo′為作用于擺桿上各外力對轉(zhuǎn)軸的矩；Mfz為阻力fz對轉(zhuǎn)軸的矩，是介質(zhì)阻力對轉(zhuǎn)軸的矩MJ和轉(zhuǎn)軸摩擦力對轉(zhuǎn)軸的矩Mm的和，Mfz＝MJ＋Mm。

因此擺桿擺角θ和轉(zhuǎn)軸位移x應(yīng)滿足的方程為：

2 倒立擺所受介質(zhì)阻力的計(jì)算

我們提出的介質(zhì)阻力計(jì)算方法基于以下假設(shè)：①擺桿迎風(fēng)面沿?cái)[桿長度方向是均勻一致的；②介質(zhì)阻力正比于速度的α次方，比例系數(shù)為ρ。

現(xiàn)在考慮擺桿角度為θ，擺桿角速度為ω，同時(shí)擺桿小車以速度v作水平運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺桿所受的空氣阻力，該阻力f可等效為作用于轉(zhuǎn)軸的力f′（f′與f的值相等）和空氣阻力對轉(zhuǎn)軸的矩MJ。如圖2所示，設(shè)A為擺桿轉(zhuǎn)軸中心點(diǎn)，B為擺桿末端端點(diǎn)，在擺桿上任取一點(diǎn)D，設(shè)AD的長為s（0≤s≤L），則D點(diǎn)處的迎風(fēng)速度為：

當(dāng)vD＞0時(shí)，表明D點(diǎn)處的迎風(fēng)速度是順著θ角正方向的，阻力為負(fù)值，反之為逆著θ角正方向的，阻力為正值。為敘述方便，將A，B兩點(diǎn)處的迎風(fēng)速度記為vA和vB，則有：

在D點(diǎn)處取一長為ds的擺桿小段（ds很?。撔《嗡艿降目諝庾枇椋?/p>

圖1 倒立擺系統(tǒng)受力分析

圖2 擺桿介質(zhì)阻力分析

將vD與s關(guān)系繪制成直角坐標(biāo)系下的圖形，可得一定義于區(qū)間［0，L］上的直線段，我們稱它為風(fēng)速線段。以下根據(jù)風(fēng)速線段的位置分4種情況討論阻力的計(jì)算。

（c）The farmer，whose name was Fred，sold us 10 pounds of potatoes.

（1）vA≥0，vB≥0時(shí)，風(fēng)速線段在s軸上方，擺桿上每一點(diǎn)處迎風(fēng)速度都不小于0，于是df＝－ρ（ωs＋vcosθ）αds，所以擺桿阻力主矢的大小為：

（2）vA≤0，vB≤0時(shí)，風(fēng)速線段在s軸下方，擺桿上每一點(diǎn)處迎風(fēng)速度都不大于0，于是df＝ρ（－ωsvcosθ）αds，所以擺桿阻力主矢的大小為：

綜合上述4種情況的結(jié)論，擺桿阻力主矢的大小可整合為一個(gè)式子：

空氣阻力對擺桿旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的影響表現(xiàn)為空氣阻力對擺動(dòng)旋轉(zhuǎn)軸的矩MJ，同樣分4種情況討論，可得如下結(jié)果：

（1）vA≥0，vB≥0時(shí)，風(fēng)速線段在s軸上方，擺桿上每一點(diǎn)處迎風(fēng)速度都不小于0，于是dMJ＝－ρs（ωs＋vcosθ）αds，所以有：

（2）vA≤0，vB≤0時(shí)，風(fēng)速線段在s軸下方，擺桿上每一點(diǎn)處迎風(fēng)速度都不大于0，于是dMJ＝ρs（－ωsvcosθ）αds，所以有：

考慮到f和MJ的計(jì)算式中，ω出現(xiàn)在分母中，當(dāng)ω＝0時(shí)會(huì)出現(xiàn)無法計(jì)算的情況，此時(shí)可用ω→0時(shí)f和MJ的極限值作為ω＝0時(shí)的f值和MJ值。

3 倒立擺所受轉(zhuǎn)軸摩擦力的計(jì)算

擺桿在擺動(dòng)過程中，除了受到重力、慣性力和空氣阻力等外力作用，還受轉(zhuǎn)軸處摩擦力的作用。為了計(jì)算方便，將上節(jié)算出的空氣阻力f等效為作用于擺桿質(zhì)心C的力f″（f″與f的值相等）和空氣阻力對質(zhì)心的矩MC，由力線平移原理可得出：

首先我們建立隨擺桿一起旋轉(zhuǎn)的直角坐標(biāo)系如圖3所示，F(xiàn)x和Fy是約束力在兩坐標(biāo)軸上的分量，C（xc，yc）是擺桿質(zhì)心的坐標(biāo)，mu是慣性力。轉(zhuǎn)軸處的摩擦力只影響擺桿的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此表現(xiàn)為與約束力成正比的摩擦力矩，設(shè)比例系數(shù)為λ，則運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

其中：I為擺桿關(guān)于過質(zhì)心且垂直于擺桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；F1和F2分別為各外力在x，y軸上的分量，F(xiàn)1＝－mucosθ－mgsinθ－f，F(xiàn)2＝－musinθ－mgcosθ；為 質(zhì) 心 切 向 加 速 度；y··c為 質(zhì) 心 法 向 加 速 度；為摩擦力矩Mm。

因此有：

注意到Fx＋D＜0及μ＞0且很小的事實(shí)，上面根式前應(yīng)取負(fù)號。由式（16）和式（17）得到轉(zhuǎn)軸處的摩擦力矩為：

以上是ω＞0時(shí)Mm的計(jì)算公式，當(dāng)ω＜0時(shí)需在前面添加負(fù)號。

圖3 擺桿轉(zhuǎn)軸摩擦力分析

4 高仿真直線一級倒立擺模型的實(shí)現(xiàn)

建立高仿真直線一級倒立擺模型的過程如下：①根據(jù)直線一級倒立擺滿足的微分方程，構(gòu)造系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程；②利用系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程按文獻(xiàn)［6］所述方法編寫MATLAB的S函數(shù)；③按文獻(xiàn)［7］所述方法建立倒立擺的虛擬現(xiàn)實(shí)模塊；④建立上述S函數(shù)的相應(yīng)仿真模塊，它有一個(gè)加速度輸入量和一個(gè)輸出口，能輸出倒立擺工作過程中的小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度；⑤用S函數(shù)仿真模塊輸出的小車位移和擺桿角度驅(qū)動(dòng)虛擬現(xiàn)實(shí)模塊，再根據(jù)需要添加并連接其他仿真模塊，就可以非常逼真地進(jìn)行倒立擺試驗(yàn)或研究了。

圖4為倒立擺Simulink仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。將虛擬倒立擺的相關(guān)參數(shù)（如桿長、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）設(shè)置得與真實(shí)倒立擺的完全一致，再調(diào)整虛擬倒立擺的摩擦系數(shù)λ、空氣阻力參數(shù)ρ和α，對比虛擬倒立擺與真實(shí)倒立擺的狀態(tài)數(shù)據(jù)，直至虛擬倒立擺與真實(shí)倒立擺的工作狀態(tài)非常接近。此后就可以在虛擬倒立擺上進(jìn)行試驗(yàn)和研究。

圖4 倒立擺Simulink仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

我們針對元?jiǎng)?chuàng)興科技有限公司的便攜式直線一級倒立擺，建立了它的仿真倒立擺，經(jīng)過反復(fù)調(diào)整，當(dāng)λ＝0.000 28，ρ＝0.007，α＝1.5時(shí)，虛擬倒立擺與真實(shí)倒立擺接近得最好。圖5為虛擬倒立擺和真實(shí)倒立擺的擺桿角度θ的衰減曲線，雖然通過局部放大的子圖可以看出兩曲線間的細(xì)微差別，但整體看來兩曲線幾乎是重疊的。

圖5 模擬倒立擺與真實(shí)倒立擺的擺角衰減曲線

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