單自由度八連桿機(jī)構(gòu)鏈型的拓?fù)涮匦匝芯?/h1>
2014-12-31 12:08:22宋愛平陶建明
機(jī)械工程與自動(dòng)化 2014年2期
楊 益，宋愛平，郭 偉，陶建明
（揚(yáng)州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009）
0 引言
八桿機(jī)構(gòu)的鏈型數(shù)目較多，所以在機(jī)構(gòu)分析時(shí)對(duì)鏈型的選擇比較困難，為此研究和掌握基本鏈型的拓?fù)涮匦跃惋@得非常重要。機(jī)構(gòu)鏈型的拓?fù)涮匦詢H與構(gòu)件和運(yùn)動(dòng)副數(shù)目及其連接情況有關(guān)，而不涉及構(gòu)件尺寸和運(yùn)動(dòng)副的相互位置。因此，拓?fù)涮匦圆⒉坏扔趯?shí)際機(jī)構(gòu)的特性，但它卻反映了運(yùn)動(dòng)鏈的固有屬性［1，2］。本文對(duì)單自由度八桿機(jī)構(gòu)鏈型的機(jī)械利益、緊湊性、剛性和動(dòng)態(tài)靈敏度等拓?fù)涮匦赃M(jìn)行了比較深入的研究。
1 機(jī)械利益
機(jī)械系統(tǒng)的輸出力與輸入力的比值反映了系統(tǒng)傳遞力的性能，因此把這個(gè)比值定義為機(jī)械系統(tǒng)的機(jī)械利益。假設(shè)在理想的機(jī)械系統(tǒng)中輸入功與輸出功相等，即：
其中：F（i），F(xiàn)（u）分別為輸入力和輸出力；ΔX，ΔY分別為輸入位移和輸出位移。則機(jī)械利益M為：
根據(jù)M的表達(dá)式可知，輸入、輸出之間為非線性關(guān)系的運(yùn)動(dòng)鏈，可以用較小的輸出位移以及較大的輸入位移和較小的輸入力來獲得理想的機(jī)械利益，得到較大的輸出力。獲得較高的機(jī)械利益跟運(yùn)動(dòng)鏈的非線性運(yùn)動(dòng)潛力有關(guān)，潛力越大得到的機(jī)械利益也就越高。
連桿機(jī)構(gòu)中最常見的是四桿機(jī)構(gòu)，在四桿的基礎(chǔ)上增加一桿即變?yōu)槲鍡U機(jī)構(gòu)，依此類推得到六桿、七桿以及八桿機(jī)構(gòu)等等。所以八桿機(jī)構(gòu)是在四桿機(jī)構(gòu)上增加桿件得到的。為更好地研究八桿機(jī)構(gòu)的機(jī)械利益，先了解四桿、五桿和六桿鏈型機(jī)構(gòu)的機(jī)械力益。
圖1為四桿、五桿、六桿鏈型。圖1（a）為四桿鏈型（自由度為1），以桿1為機(jī)架，桿2為輸入，桿4為輸出，θ2為輸入角位移，θ4為輸出角位移，θ4＝f（θ2，l2，l3，l4）。圖1（b）為五桿鏈型（自由度為2），以桿1為機(jī)架，桿2和桿5為輸入，桿4為輸出時(shí)，θ2和θ5為輸入角位移，θ4為輸出角位移，θ4＝f（θ2，θ5，l2，l3，l4，l5）。圖1（c）為六桿鏈型（自由度為1），以桿1為支架，桿2為輸入，桿6為輸出，θ2為輸入角位移，θ6為輸出角位移，θ6＝f（θ2，l2，l3，l4，l5，l6）。根據(jù)得到的參數(shù)表達(dá)式發(fā)現(xiàn)六桿基本鏈型和五桿基本鏈型都有6個(gè)自變量參數(shù)，那么產(chǎn)生的非線性的潛力相當(dāng)，并且可以看出六桿、五桿基本鏈型的非線性潛力比四桿基本鏈型的更大。
圖1 四桿、五桿、六桿鏈型
根據(jù)顏氏創(chuàng)造性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)［3］可以得到16種單自由度八連桿鏈型，從中選取的10種單自由度八桿機(jī)構(gòu)鏈型如圖2～圖4所示。從以上機(jī)械利益的理論可判斷出圖2（d）機(jī)構(gòu)鏈型（含有3個(gè)五桿閉環(huán)）非線性運(yùn)動(dòng)的潛力相對(duì)較高，也就是其機(jī)械利益最大；圖2（b）機(jī)構(gòu)鏈型（含有3個(gè)四桿閉環(huán)）非線性的潛力相對(duì)較低，即機(jī)械利益最小。
圖2 4個(gè)三副桿和4個(gè)二副桿鏈型
2 緊湊性
緊湊性是指系統(tǒng)的靜態(tài)性能較好并且占有較小的空間。在運(yùn)動(dòng)鏈中，不考慮桿件的長(zhǎng)短尺寸，判斷桿件機(jī)構(gòu)的緊湊性時(shí)，認(rèn)為桿件和運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目越少時(shí)其緊湊性越好；當(dāng)桿件機(jī)構(gòu)的桿件和運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目相等時(shí)，就由桿件之間兩桿隔開的最少運(yùn)動(dòng)副的個(gè)數(shù)來判斷緊湊性的優(yōu)劣。為了分析的方便，可以給每個(gè)桿以及運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行編號(hào)，圖2（a）鏈型進(jìn)行編號(hào)后如圖5所示。
圖3 1個(gè)四副桿，2個(gè)三副桿以及5個(gè)二副桿鏈型
圖4 2個(gè)四副桿和5個(gè)二副桿鏈型
由上述緊湊性的定義，得到圖2（a）鏈型的距離矩陣L：
矩陣L中，元素lij是選定一桿i與任意桿j兩桿之間最少運(yùn)動(dòng)副的個(gè)數(shù)，其中l(wèi)ii＝0。把矩陣L中各元素相加，得到的值越小則運(yùn)動(dòng)鏈就越緊湊。依此類推得到所有機(jī)構(gòu)鏈型的矩陣，并將矩陣中各元素相加，得到每個(gè)鏈型的緊湊性值，見表1。從表1中可以看出鏈型圖2（d）和圖4（a）緊湊性較好。
圖5 編號(hào)后的圖2（a）
表1 八桿鏈型的緊湊性值
3 剛性
桿的實(shí)際剛性主要取決于桿的尺寸、彈性以及支承情況。對(duì)于圖2～圖4中所有的運(yùn)動(dòng)鏈，不考慮桿件的尺寸，僅將各連桿視為彈性體，定義每個(gè)桿的運(yùn)動(dòng)副數(shù)就等于桿的支承點(diǎn)數(shù)目，并且用剛度矩陣K來表示運(yùn)動(dòng)鏈的剛性，矩陣中的元素kij可按下式計(jì)算：
其中：ci，cj，cs分別為桿i，j，s的運(yùn)動(dòng)副數(shù)。選定桿i和任一桿j，桿i到桿j之間的路徑必須是串聯(lián)連接的桿，桿s為桿i與桿j之間串聯(lián)的桿。如果存在多條串聯(lián)路徑，則選擇桿件的運(yùn)動(dòng)副數(shù)最少的路徑。由上述定義可得圖2（a）機(jī)構(gòu)鏈型的剛性矩陣為：
在矩陣K中，把每一行的各元素相加，得到的值即為鏈型中對(duì)應(yīng)桿的剛度。圖2（a）中桿1～8的剛度值分別為14.46，13.91，14.46，14.46，14.56，14.46，13.91，13.91，從而得到桿5的剛性比較大。把矩陣中每個(gè)元素相加得到的值表示為整個(gè)鏈型的剛性，其剛度值大小為114.16。同樣，可以得到圖2～圖4中所有機(jī)構(gòu)鏈型的剛度值，見表2，可以看出圖2（d）鏈型剛度值較好。
表2 八桿鏈型的剛度值
4 動(dòng)態(tài)靈敏度
對(duì)于機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)性能，可以用動(dòng)態(tài)靈敏度表示。為了反映每個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)鏈的動(dòng)態(tài)靈敏度，不考慮其桿件的尺寸、大小、質(zhì)量，通過機(jī)構(gòu)鏈型中的某運(yùn)動(dòng)副與機(jī)架隔開的最少運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目來判斷其動(dòng)態(tài)靈敏度的高低。再根據(jù)靈敏度的高低來判斷整個(gè)機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)性能，靈敏度越低的機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)性能也就越好，反之則越差。
用矩陣D來表示整個(gè)機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)靈敏度。矩陣D中的任意元素dij是選擇其中一桿作為機(jī)架并依次判斷鏈型中的每個(gè)運(yùn)動(dòng)副j與機(jī)架桿i之間最少的運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)。圖2（a）鏈型的靈敏度矩陣如下：
在機(jī)構(gòu)鏈型中，桿i為機(jī)架時(shí)其動(dòng)態(tài)靈敏度指數(shù)為（dimax－1）。其中，dimax為矩陣D的第i行元素中的最大值。計(jì)算得到的圖2（a）鏈型中桿1～8依次為機(jī)架時(shí)的動(dòng)態(tài)靈敏度指數(shù)為（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，將其各值相加得到了整個(gè)機(jī)構(gòu)鏈型的靈敏度值為8。同理，可以得到的圖2～圖4中所有運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)靈敏度指數(shù)，見表3?？芍獔D4（b）鏈型的靈敏度值最低，其動(dòng)態(tài)性能最好。
表3 八桿鏈型的靈敏度值
5 結(jié)語
本文對(duì)機(jī)構(gòu)鏈型為單自由度八連桿機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦赃M(jìn)行了研究、分析、計(jì)算，比較了八桿機(jī)構(gòu)的10種鏈型結(jié)構(gòu)，為設(shè)計(jì)者進(jìn)行八桿機(jī)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)選擇合適鏈型提供參考。
［1］吳舒海，陳文家.二自由度七桿機(jī)構(gòu)鏈型和拓?fù)涮匦匝芯浚跩］.農(nóng)業(yè)裝備技術(shù)，2010（2）：45-48.
［2］王靜平，鄭阿曼，李俊萍.機(jī)構(gòu)自由度為1的六桿機(jī)構(gòu)鏈型的拓?fù)涮匦匝芯浚跩］.機(jī)械工程師，2008（8）：96-98.
［3］顏鴻森.顏氏創(chuàng)造性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)：（三）運(yùn)動(dòng)鏈數(shù)目綜合［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，1995，12（12）：38-41.
［4］李佳，廖漢元，孔建益.平面五桿機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)變換及選型［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2007，18（1）：20-22.
［5］曹惟慶.連桿機(jī)構(gòu)的分析與綜合［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.
［6］李樹軍，杜立群.運(yùn)動(dòng)鏈和機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦约捌湫阅茉u(píng)價(jià)［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，18（6）：671-675.
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0 引言
八桿機(jī)構(gòu)的鏈型數(shù)目較多，所以在機(jī)構(gòu)分析時(shí)對(duì)鏈型的選擇比較困難，為此研究和掌握基本鏈型的拓?fù)涮匦跃惋@得非常重要。機(jī)構(gòu)鏈型的拓?fù)涮匦詢H與構(gòu)件和運(yùn)動(dòng)副數(shù)目及其連接情況有關(guān)，而不涉及構(gòu)件尺寸和運(yùn)動(dòng)副的相互位置。因此，拓?fù)涮匦圆⒉坏扔趯?shí)際機(jī)構(gòu)的特性，但它卻反映了運(yùn)動(dòng)鏈的固有屬性［1，2］。本文對(duì)單自由度八桿機(jī)構(gòu)鏈型的機(jī)械利益、緊湊性、剛性和動(dòng)態(tài)靈敏度等拓?fù)涮匦赃M(jìn)行了比較深入的研究。
1 機(jī)械利益
機(jī)械系統(tǒng)的輸出力與輸入力的比值反映了系統(tǒng)傳遞力的性能，因此把這個(gè)比值定義為機(jī)械系統(tǒng)的機(jī)械利益。假設(shè)在理想的機(jī)械系統(tǒng)中輸入功與輸出功相等，即：
其中：F（i），F(xiàn)（u）分別為輸入力和輸出力；ΔX，ΔY分別為輸入位移和輸出位移。則機(jī)械利益M為：
根據(jù)M的表達(dá)式可知，輸入、輸出之間為非線性關(guān)系的運(yùn)動(dòng)鏈，可以用較小的輸出位移以及較大的輸入位移和較小的輸入力來獲得理想的機(jī)械利益，得到較大的輸出力。獲得較高的機(jī)械利益跟運(yùn)動(dòng)鏈的非線性運(yùn)動(dòng)潛力有關(guān)，潛力越大得到的機(jī)械利益也就越高。
連桿機(jī)構(gòu)中最常見的是四桿機(jī)構(gòu)，在四桿的基礎(chǔ)上增加一桿即變?yōu)槲鍡U機(jī)構(gòu)，依此類推得到六桿、七桿以及八桿機(jī)構(gòu)等等。所以八桿機(jī)構(gòu)是在四桿機(jī)構(gòu)上增加桿件得到的。為更好地研究八桿機(jī)構(gòu)的機(jī)械利益，先了解四桿、五桿和六桿鏈型機(jī)構(gòu)的機(jī)械力益。
圖1為四桿、五桿、六桿鏈型。圖1（a）為四桿鏈型（自由度為1），以桿1為機(jī)架，桿2為輸入，桿4為輸出，θ2為輸入角位移，θ4為輸出角位移，θ4＝f（θ2，l2，l3，l4）。圖1（b）為五桿鏈型（自由度為2），以桿1為機(jī)架，桿2和桿5為輸入，桿4為輸出時(shí)，θ2和θ5為輸入角位移，θ4為輸出角位移，θ4＝f（θ2，θ5，l2，l3，l4，l5）。圖1（c）為六桿鏈型（自由度為1），以桿1為支架，桿2為輸入，桿6為輸出，θ2為輸入角位移，θ6為輸出角位移，θ6＝f（θ2，l2，l3，l4，l5，l6）。根據(jù)得到的參數(shù)表達(dá)式發(fā)現(xiàn)六桿基本鏈型和五桿基本鏈型都有6個(gè)自變量參數(shù)，那么產(chǎn)生的非線性的潛力相當(dāng)，并且可以看出六桿、五桿基本鏈型的非線性潛力比四桿基本鏈型的更大。
圖1 四桿、五桿、六桿鏈型
根據(jù)顏氏創(chuàng)造性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)［3］可以得到16種單自由度八連桿鏈型，從中選取的10種單自由度八桿機(jī)構(gòu)鏈型如圖2～圖4所示。從以上機(jī)械利益的理論可判斷出圖2（d）機(jī)構(gòu)鏈型（含有3個(gè)五桿閉環(huán)）非線性運(yùn)動(dòng)的潛力相對(duì)較高，也就是其機(jī)械利益最大；圖2（b）機(jī)構(gòu)鏈型（含有3個(gè)四桿閉環(huán)）非線性的潛力相對(duì)較低，即機(jī)械利益最小。
圖2 4個(gè)三副桿和4個(gè)二副桿鏈型
2 緊湊性
緊湊性是指系統(tǒng)的靜態(tài)性能較好并且占有較小的空間。在運(yùn)動(dòng)鏈中，不考慮桿件的長(zhǎng)短尺寸，判斷桿件機(jī)構(gòu)的緊湊性時(shí)，認(rèn)為桿件和運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目越少時(shí)其緊湊性越好；當(dāng)桿件機(jī)構(gòu)的桿件和運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目相等時(shí)，就由桿件之間兩桿隔開的最少運(yùn)動(dòng)副的個(gè)數(shù)來判斷緊湊性的優(yōu)劣。為了分析的方便，可以給每個(gè)桿以及運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行編號(hào)，圖2（a）鏈型進(jìn)行編號(hào)后如圖5所示。
圖3 1個(gè)四副桿，2個(gè)三副桿以及5個(gè)二副桿鏈型
圖4 2個(gè)四副桿和5個(gè)二副桿鏈型
由上述緊湊性的定義，得到圖2（a）鏈型的距離矩陣L：
矩陣L中，元素lij是選定一桿i與任意桿j兩桿之間最少運(yùn)動(dòng)副的個(gè)數(shù)，其中l(wèi)ii＝0。把矩陣L中各元素相加，得到的值越小則運(yùn)動(dòng)鏈就越緊湊。依此類推得到所有機(jī)構(gòu)鏈型的矩陣，并將矩陣中各元素相加，得到每個(gè)鏈型的緊湊性值，見表1。從表1中可以看出鏈型圖2（d）和圖4（a）緊湊性較好。
圖5 編號(hào)后的圖2（a）
表1 八桿鏈型的緊湊性值
3 剛性
桿的實(shí)際剛性主要取決于桿的尺寸、彈性以及支承情況。對(duì)于圖2～圖4中所有的運(yùn)動(dòng)鏈，不考慮桿件的尺寸，僅將各連桿視為彈性體，定義每個(gè)桿的運(yùn)動(dòng)副數(shù)就等于桿的支承點(diǎn)數(shù)目，并且用剛度矩陣K來表示運(yùn)動(dòng)鏈的剛性，矩陣中的元素kij可按下式計(jì)算：
其中：ci，cj，cs分別為桿i，j，s的運(yùn)動(dòng)副數(shù)。選定桿i和任一桿j，桿i到桿j之間的路徑必須是串聯(lián)連接的桿，桿s為桿i與桿j之間串聯(lián)的桿。如果存在多條串聯(lián)路徑，則選擇桿件的運(yùn)動(dòng)副數(shù)最少的路徑。由上述定義可得圖2（a）機(jī)構(gòu)鏈型的剛性矩陣為：
在矩陣K中，把每一行的各元素相加，得到的值即為鏈型中對(duì)應(yīng)桿的剛度。圖2（a）中桿1～8的剛度值分別為14.46，13.91，14.46，14.46，14.56，14.46，13.91，13.91，從而得到桿5的剛性比較大。把矩陣中每個(gè)元素相加得到的值表示為整個(gè)鏈型的剛性，其剛度值大小為114.16。同樣，可以得到圖2～圖4中所有機(jī)構(gòu)鏈型的剛度值，見表2，可以看出圖2（d）鏈型剛度值較好。
表2 八桿鏈型的剛度值
4 動(dòng)態(tài)靈敏度
對(duì)于機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)性能，可以用動(dòng)態(tài)靈敏度表示。為了反映每個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)鏈的動(dòng)態(tài)靈敏度，不考慮其桿件的尺寸、大小、質(zhì)量，通過機(jī)構(gòu)鏈型中的某運(yùn)動(dòng)副與機(jī)架隔開的最少運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目來判斷其動(dòng)態(tài)靈敏度的高低。再根據(jù)靈敏度的高低來判斷整個(gè)機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)性能，靈敏度越低的機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)性能也就越好，反之則越差。
用矩陣D來表示整個(gè)機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)靈敏度。矩陣D中的任意元素dij是選擇其中一桿作為機(jī)架并依次判斷鏈型中的每個(gè)運(yùn)動(dòng)副j與機(jī)架桿i之間最少的運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)。圖2（a）鏈型的靈敏度矩陣如下：
在機(jī)構(gòu)鏈型中，桿i為機(jī)架時(shí)其動(dòng)態(tài)靈敏度指數(shù)為（dimax－1）。其中，dimax為矩陣D的第i行元素中的最大值。計(jì)算得到的圖2（a）鏈型中桿1～8依次為機(jī)架時(shí)的動(dòng)態(tài)靈敏度指數(shù)為（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，（2－1）＝1，將其各值相加得到了整個(gè)機(jī)構(gòu)鏈型的靈敏度值為8。同理，可以得到的圖2～圖4中所有運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)鏈型的動(dòng)態(tài)靈敏度指數(shù)，見表3?？芍獔D4（b）鏈型的靈敏度值最低，其動(dòng)態(tài)性能最好。
表3 八桿鏈型的靈敏度值
5 結(jié)語
本文對(duì)機(jī)構(gòu)鏈型為單自由度八連桿機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦赃M(jìn)行了研究、分析、計(jì)算，比較了八桿機(jī)構(gòu)的10種鏈型結(jié)構(gòu)，為設(shè)計(jì)者進(jìn)行八桿機(jī)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)選擇合適鏈型提供參考。
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