具有Ivlev功能反應(yīng)的捕食－食餌模型在零解處的分歧

吳建華，楊文彬

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119）

本文主要討論以下反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng):

其中△表示Laplace算子，Ω是RN（N≥1）中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，u、v分別表示食餌和捕食者種群的種群密度.a（c）表示食餌（捕食者）種群的自然增長(zhǎng)率，d表示食餌轉(zhuǎn)化為捕食者的轉(zhuǎn)化率，γ表示捕食者捕殺食餌的效率.a、c、d和γ均為正常數(shù).系統(tǒng)（1）是一個(gè)具有食餌依賴(lài)關(guān)系的捕食 －食餌系統(tǒng)，這種依賴(lài)關(guān)系通過(guò)Ivlev型功能函數(shù)（1－e－γu）反映.這一功能函數(shù)單調(diào)遞增而且一致有界，最早由Ivlev在文獻(xiàn)［1］中提出.

數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家對(duì)Ivlev型的捕食－食餌系統(tǒng)有濃厚的興趣，同時(shí)也取得了重大的研究進(jìn)展，相關(guān)成 果 可 參 考 文 獻(xiàn) ［2-8］（ODE 型 ） 和 文 獻(xiàn)［9-11］（PDE型）.其中，文獻(xiàn)［2-5］主要致力于極限環(huán)的存在性和相圖的數(shù)值計(jì)算.文獻(xiàn)［6］討論了一類(lèi)脈沖模型正周期解的存在性、穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的持久性.文獻(xiàn)［7］討論了一類(lèi)脈沖模型的不穩(wěn)定性和系統(tǒng)持久性.文獻(xiàn)［8］研究了上（下）臨界Hopf分歧的存在性及時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響.齊次Neumann邊界條件下，文獻(xiàn)［9］通過(guò)數(shù)值計(jì)算討論了噪音和周期外力對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定性和震蕩與否的影響.在齊次Dirichlet邊界條件下，文獻(xiàn)［10］給出了系統(tǒng)正解存在的充分必要條件.文獻(xiàn)［11］利用Leray-Schauder度理論和分歧理論得到了系統(tǒng)（1）正解存在的充分條件，并討論了γ充分大時(shí)系統(tǒng)（正解）的多解性以及γ2（c＋d）≤2時(shí)系統(tǒng)正解的唯一性.但是，文獻(xiàn)［11］中并未討論發(fā)自零解的小的分歧正解的存在性和穩(wěn)定性.本文主要討論系統(tǒng)（1）發(fā)自零解的分歧正解的存在性和穩(wěn)定性.

1 分歧正解的存在性

引理1［11］如果系統(tǒng)（1）存在正解（u，v），那么

1）（a，c）滿(mǎn)足a＞λ1，c＋d＞λ1；

2）（u，v）滿(mǎn)足0＜u＜θa＜a，0＜v＜θc＋d＜c＋d，x∈Ω.進(jìn)一步，若c＞λ1，則v＞θc.

假設(shè)p＞N.定義Banach空間X和Y:

定義算子F:R×R×X→Y，

則系統(tǒng)（1）等價(jià)于非線性方程

則方程（2）變形為

記L的核空間為N（L），L的值域空間為R（L），L的伴隨算子為L(zhǎng)＊.容易驗(yàn)證 N（L）＝ N（L＊）＝span｛（φ1，0）T，（0，φ1）T｝.因此空間X和Y可以分解為

假設(shè)（u，v）∈X.由空間分解（4）可知，u和v可以表示為u＝α（φ1＋φ），v＝β（φ1＋ψ），α、β∈R，（φ，ψ）∈X2.因此，

其中

假設(shè)｜a－λ1｜、｜c(diǎn)－λ1｜、｜α｜、｜β｜＜δ0，并令＝α（φ1＋）＝β（φ1＋）.由投影P定義可知

顯然，T（λ1，λ1，0，0）＝0.類(lèi)似地，有

是系統(tǒng)（1）發(fā)自零解的分歧正解.

下面給出當(dāng)α、β＞0充分小時(shí)（α，β）（α，β）的線性近似表達(dá)式，將用在第2節(jié)判斷上述正解的漸近穩(wěn)定性.令

系統(tǒng)（1）發(fā)自零解的分歧正解可以表示為

將方程（7）的兩邊分別對(duì)α和β在（α，β）＝ （0，0）處求微分，得到

分別在（8）和（9）式的兩邊同時(shí)乘以φ1，然后在Ω上積分，由Green公式知

類(lèi)似地，有

由（10）和（11）式可知，當(dāng)α、β＞0充分小時(shí)，

于是，得到本節(jié)的主要定理.

定理1 系統(tǒng)（1）存在發(fā)自零解的分歧正解，而且當(dāng)α、β＞0充分小時(shí)可以參數(shù)化為

其中（α，β）（α，β）的表達(dá)式見(jiàn)（12）和（13）式，而且（λ1，λ1，0，0）＝0，（λ1，λ1，0，0）＝0.

2 分歧正解的穩(wěn)定性

通過(guò)線性化方法來(lái)判斷前述正解的穩(wěn)定性.假設(shè)α＝β?s.當(dāng)s＞0充分小時(shí)，發(fā)自零解的分歧正解（見(jiàn)定理1）可以由s參數(shù)化，即

系統(tǒng)（1）在（（s），（s））處的線性化系統(tǒng)為

則系統(tǒng)（15）變形為B（s）U（L＋M（s）＋N（s））U＝0，其中U＝ （u，v）T.系統(tǒng)（15）對(duì)應(yīng)的特征值問(wèn)題為

其中I是恒等算子.如果（16）式的所有特征值都位于右半復(fù)平面，那么（s），（s））漸近穩(wěn)定；如果（16）式存在位于左半復(fù)平面的特征值，那么（s），（s））不穩(wěn)定.

定理2 對(duì)于充分小的s＞0，系統(tǒng)（1）的分歧正解（（s），（s））漸近穩(wěn)定.

證明 尋找特征值問(wèn)題（16）的具有如下形式的特征函數(shù)（y，z）:

其中m是復(fù)數(shù)，〈φ1，wi〉2＝0，i＝1，2.

令ξ＝ （φ1，0）T，η＝ （0，φ1）T，w＝ （w1，w2）T∈X2.于是，特征值問(wèn)題（16）可以改寫(xiě)為

結(jié)合第1節(jié)中投影算子P、Q的定義，將Q作用于（18）式的兩端，有

結(jié)合（19）和（21）式，定義算子E:X2×C×C×R→Y2×C:

顯然，E（0，0；m，0）＝0.現(xiàn)在給出E（w，μ）（w，μ；m，s）在（0，0；m，0）處的Frechét導(dǎo)數(shù).通過(guò)計(jì)算，得到

由（12）和（13）式可知，

由（20）、（23）和（25）式可知

易知，方程（28）的所有根具有正實(shí)部，證畢.

3 數(shù)值模擬

這一節(jié)主要驗(yàn)證和補(bǔ)充上一節(jié)的理論分析結(jié)果.在一維空間區(qū)域模擬系統(tǒng)（1）對(duì)應(yīng)的拋物系統(tǒng).不失一般性，假設(shè)Ω＝ （0，2π），考慮系統(tǒng)

對(duì)系統(tǒng)（29）選擇合適的參數(shù)，借助Matlab軟件來(lái)模擬其解的情況（如圖1—3所示）.所有的圖形均在充分大時(shí)刻做出，可以將它理解為平衡態(tài)解.這里，a＝0.250 1.為描述不同的結(jié)果，其他參數(shù)c、d、γ＞0待定.具體數(shù)值結(jié)果如下:

圖1 系統(tǒng)（29）正平衡態(tài)解的存在性Fig.1 Existence of positive steady-state solution to system （29）

（1）已知a（c）表示食餌（捕食者）的自然增長(zhǎng)率.假設(shè)a＞λ1，c＋d＞λ1，如果｜a－λ1｜、｜c(diǎn)－λ1｜充分小，那么系統(tǒng)（29）存在正平衡態(tài)解.這與本文的分析結(jié)果一致.

（2）參數(shù)γ對(duì)系統(tǒng)（29）的正平衡態(tài)解存在性的影響（γ表示捕食者捕殺食餌的效率）.存在常數(shù)γ1、γ2＞0使得，當(dāng)γ＜γ1時(shí)系統(tǒng)（29）存在正平衡態(tài)解，當(dāng)γ＞γ2時(shí)系統(tǒng)（29）沒(méi)有正平衡態(tài)解.進(jìn)一步，當(dāng)γ→0＋時(shí)，系統(tǒng)（29）存在正平衡態(tài)解，而且趨向（θa，θc）.

圖2 參數(shù)γ對(duì)系統(tǒng)（29）的正平衡態(tài)解存在性的影響Fig.2 Effect ofγon the existence of positive steady-state solution to the system （29）

（3）參數(shù)d對(duì)系統(tǒng)（29）的正平衡態(tài)解存在性的影響（d表示食餌轉(zhuǎn)化為捕食者的轉(zhuǎn)化率）.存在常數(shù)d1、d2＞0使得，當(dāng)d＜d1時(shí)系統(tǒng)（29）存在正平衡態(tài)解，當(dāng)d＞d2時(shí)系統(tǒng)（29）沒(méi)有正平衡態(tài)解.這與捕食－食餌模型的生物意義是一致的.

圖3 參數(shù)d對(duì)系統(tǒng)（29）的正平衡態(tài)解存在性的影響Fig.3 Effect of don the existence of positive steady-state solution to the system （29）

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