具有給定測地線的三次三角Bézier曲面的構(gòu)造與拼接

郭清偉， 張官升

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

在日常生活中會(huì)遇到許多需要構(gòu)造曲面的問題，特別是在服裝設(shè)計(jì)、鞋制造業(yè)等行業(yè)，通常要求設(shè)計(jì)者在給定的曲線上設(shè)計(jì)出需要的曲面，而給定的曲線是不允許改變的，但可以通過修改其他地方來滿足人們的審美要求。將給定的曲線作為所要構(gòu)造的曲面的測地線越來越受到設(shè)計(jì)者的青睞，而測地線就是曲面上測地曲率處處為0的曲線。

以給定的曲線為邊界測地線構(gòu)造曲面一直受到國內(nèi)外研究者的關(guān)注。文獻(xiàn)［1］利用Frenet標(biāo)架研究了以給定曲線為邊界測地線的曲面構(gòu)造問題，所構(gòu)造的曲面為直紋面，給出了所構(gòu)造曲面以給定曲線為邊界測地線的充要條件；文獻(xiàn)［2］對給定的三次Bézier曲線，利用所構(gòu)造曲面的切平面與所給曲線的法平面之間所應(yīng)滿足的關(guān)系，研究了以給定的三次Bézier曲線為邊界測地線的曲面構(gòu)造問題，避免了利用Frenet標(biāo)架和曲線的弧長參數(shù)化，所構(gòu)造的曲面也是直紋面；文獻(xiàn)［3］把以給定多項(xiàng)式曲線為邊界測地線的曲面構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為插值問題；基于Hermite插值方法，文獻(xiàn)［4］研究了以給定的2條空間曲線為邊界測地線的曲面構(gòu)造問題；文獻(xiàn)［5－6］討論了給定空間4條多項(xiàng)式或有理Bézier曲線構(gòu)成的曲邊四邊形，構(gòu)造張量積Bézier曲面，使所構(gòu)造的曲面以給定的曲線為邊界測地線的問題；文獻(xiàn)［7］討論了以給定的空間曲線為邊界測地線構(gòu)造三角Coons曲面片的問題；文獻(xiàn)［8］討論了以給定的空間三次多項(xiàng)式Bézier曲線為邊界測地線的可展曲面的構(gòu)造及G1連續(xù)性問題。

本文利用一條曲線為所在曲面的測地線當(dāng)且僅當(dāng)其從切面與該曲面在這條曲線上的切平面重合這一論斷，對給定的三次Bézier曲線構(gòu)造三次三角Bézier曲面，使該曲面以給定的曲線為其邊界測地線，給出了用給定曲線的控制頂點(diǎn)表示所構(gòu)造曲面的控制頂點(diǎn)的表達(dá)式；討論了具有公共測地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面的C1和G1連續(xù)性；為了說明所給方法的有效性，給出了幾個(gè)數(shù)值實(shí)例。

1 背景知識(shí)

定義2 設(shè)Pij∈R3（i＝0，1，…，m；j＝0，1，…，n），稱參數(shù)曲面

為m×n次張量積Bézier曲面。其中，（u）和（u）為m和n次Bernstein基函數(shù)。

定義3 設(shè)Pi，j，k∈R3（i，j，k≥0，i＋j＋k＝n），稱曲面

為n次三角Bézier曲面，其中

稱為二元n次Bernstein多項(xiàng)式。

曲面上的測地線是曲面上一類重要的曲線，被稱為“曲面直線”。關(guān)于測地線有如下引理。

引理1 設(shè)曲面S：r＝r（u，v）上一曲線C：u＝u（t），v＝v（t）（t為參數(shù)），其主法向量為N，曲面S在C上的法向量為n，則曲線C為測地線的充要條件為：N∥n［9］。

2 給定測地邊界線的三角Bézier曲面構(gòu)造

證明 由定理?xiàng)l件顯然有P（u，0，w）＝P（u），u∈［0，1］，w＋u＝1。下證P（u，0，w）為曲面P（u，v，w）的邊界測地線。因?yàn)?/p>

所以由（2）式、（3）式可得：

由Pi，0，3－i＝Pi（i＝0，1，2，3）和（1）式可得曲面P（u，v，w）在邊界P（u，0，w）上關(guān)于u和v的偏導(dǎo)數(shù)分別為：

對（6）式關(guān)于μ進(jìn)行一次升階得：

由（2）式、（4）式、（5）式、（7）式得曲線P（u）＝P（u，0，w）的主法向量與三次三角 Bézier曲面P（u，v，w）在邊界P（u，0，w）上的法向量滿足：

由引理1可知P（u，0，w）為曲面P（u，v，w）的邊界測地線。

由定理1可得如下推論。

3 2個(gè)三次三角Bézier曲面的連續(xù)性

和

構(gòu) 造 三 次 三 角 Bézierr曲 面P（u，v，w）＝（u，v，w），u，v，w≥0，u＋v＋w＝1和（u，v，w）＝（u，v，w），u，v，w≥0，u＋v＋w＝1，則有：① 曲線P（u）為三次三角Bézier曲面P（u，v，w）和（u，v，w）的公共邊界測地線；② 當(dāng)β＝－α?xí)r，P（u，v，w）和（u，v，w）是C1連續(xù)的；③ 當(dāng)β≠－α，但αβ＜0時(shí)，P（u，v，w）和（u，v，w）是G1連續(xù)的。這里α、β為非零常數(shù)。

（11）式中的α與（12）式中的β異號是為了確保P（u，v，w）和（u，v，w）在公共邊的兩側(cè)。

證明 （1）由定理1可得曲線P（u）＝P（u，0，w）＝（u，0，w），且為三次三角 Bézier曲面P（u，v，w）和（u，v，w）的邊界測地線。

（2）由定理?xiàng)l件可得：

當(dāng)α＝－β時(shí)有：

同理可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，由（13）～（15）式知三次三角Bézier曲面P（u，v，w）和（u，v，w）在公共邊界是C1連續(xù)的。

（3）當(dāng)β≠－α，但αβ＜0時(shí)，由定理?xiàng)l件可得：

同理可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，由（13）式和（17）～（19）式知三次三角Bézier曲面P（u，v，w）和（u，v，w）在公共邊界是G1連續(xù)的。

4 數(shù)值實(shí)例

圖1所示為按定理1當(dāng)α取不同值，而P0，3，0、P0，2，1、P1，2，0取相同值時(shí)所構(gòu)造的具有公共測地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面；圖2所示為按定理2當(dāng)α、β取不同值，P0，3，0、P0，2，1、P1，2，0取不同值時(shí)所構(gòu)造的具有公共測地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面。

圖1 按定理1當(dāng)α取不同值時(shí)所構(gòu)造的具有公共測地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面

圖2 按定理2當(dāng)α、β取不同值時(shí)所構(gòu)造的具有公共測地線的2個(gè)三次三角Bézier曲面

5 結(jié)束語

本文利用一條曲線為所在曲面的測地線的充要條件是其從切面與該曲面在這條曲線上的切平面重合，給出以給定的三次Bézier曲面為邊界測地線的三次三角Bézier曲面的構(gòu)造方法，得到了用所給曲線控制頂點(diǎn)表示所構(gòu)造曲面的控制頂點(diǎn)的表達(dá)式，討論了具有給定公共測地線的組合三次三角Bézier曲面的連續(xù)性。將進(jìn)一步研究對給定的n次（n≥4）Bézier曲線，如何構(gòu)造以給定曲線為邊界測地線的n次三角Bézier曲面，以及如何構(gòu)造2條邊界或3條邊界均為所構(gòu)造的三角Bézier曲面的邊界測地線的曲面構(gòu)造問題。

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