模糊環(huán)境下Stackelberg博弈的均衡利潤分析

晉盛武， 丁浩然

（合肥工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

博弈模型分析和考察了利益不盡相同的決策主體之間策略的相互影響及其均衡結(jié)果。文獻(xiàn)［1］提出所有數(shù)據(jù)和參數(shù)都必須是確定值的模型，稱為基于確定值的模型。斯坦克爾伯格（Stackelberg）模型就是市場上相互影響的廠商根據(jù)自己的利潤函數(shù)，以產(chǎn)量作為策略獨(dú)立進(jìn)行決策，尋求利益最大化的經(jīng)典確定值模型之一。然而在現(xiàn)實(shí)決策過程中，由于市場需求和廠商成本的波動導(dǎo)致信息不確定性的存在，或是由于人們對確定性因素的不確定性認(rèn)知，限制了確定值模型的實(shí)用性，因此，有必要對不確定值情況下應(yīng)用確定性的模型（如斯坦克爾伯格模型）進(jìn)行拓展，以增加博弈論經(jīng)典模型對現(xiàn)實(shí)問題的解釋力。

文獻(xiàn)［2］提出模糊集和模糊邏輯概念，為認(rèn)識界限不甚分明的事物提供了有效的測度工具；文獻(xiàn)［3］在每個(gè)參與者的計(jì)劃都是線性模糊的基礎(chǔ)上提出了模糊矩陣博弈；文獻(xiàn)［4］在具有模糊報(bào)酬的雙矩陣博弈下，定義了2種均衡策略的概念，并研究了它們之間的意義；文獻(xiàn)［5］在需求為隨機(jī)模糊變量的假設(shè)下，將經(jīng)典報(bào)童問題拓展為基于隨機(jī)模糊需求的自由分布報(bào)童模型。研究者利用加權(quán)質(zhì)心的思想，將模糊轉(zhuǎn)化為確定性估值進(jìn)行研究：文獻(xiàn)［6］利用質(zhì)心思想將模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為確定性估值，拓展了需求和供給是模糊線性函數(shù)條件下，市場均衡時(shí)的消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余；文獻(xiàn)［7］分析了模糊環(huán)境下的古諾模型，并利用三角模糊數(shù)求出了模糊環(huán)境下古諾模型中廠商的最優(yōu)產(chǎn)量，同時(shí)分析了反需求函數(shù)和成本函數(shù)中的模糊參數(shù)對廠商利潤的影響，利用加權(quán)質(zhì)心思想將模糊利潤和參數(shù)轉(zhuǎn)化為確定值，分析了參數(shù)質(zhì)心對廠商利潤及利潤變化幅度的影響。

本文在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上，提出了模糊需求和模糊成本下的斯坦克爾伯格博弈的均衡求解方法和相應(yīng)的均衡結(jié)果；采用文獻(xiàn)［8］的加權(quán)質(zhì)心WCoG方法，將每個(gè)廠商的模糊利潤函數(shù)轉(zhuǎn)化為確定性估值，每個(gè)廠商依據(jù)利潤函數(shù)的最優(yōu)解決策其產(chǎn)量，且在模糊均衡時(shí)都沒有動機(jī)去改變均衡的結(jié)果；利用文獻(xiàn)［9］的方差公式計(jì)算廠商模糊利潤函數(shù)的方差。為了方便計(jì)算，假設(shè)每個(gè)廠商的需求函數(shù)和成本函數(shù)都是含有三角模糊參數(shù)的線性代數(shù)式。

1 模糊斯坦克爾伯格模型

假設(shè)市場上只有廠商1和廠商2，其中廠商1為領(lǐng)導(dǎo)者，廠商2為追隨者。廠商i（i＝1，2）的模糊利潤記為，假設(shè)（Q）是模糊的逆需求函數(shù)，（qi）是廠商i的模糊成本函數(shù)，Q為雙寡頭廠商的總產(chǎn)量，即Q＝q1＋q2，則有：

由于廠商i的利潤表達(dá)的模糊性較難計(jì)算廠商的均衡解，本文以WCoG方法估計(jì)廠商的模糊利潤［8］，從而將模糊利潤轉(zhuǎn)化為確定性估值求解廠商的最優(yōu)產(chǎn)量。

定義模糊利潤函數(shù)的質(zhì)心為：

其中，g（πi）為考察對象πi的水平分量；μ（πi）為隸屬函數(shù)值；k為控制參數(shù)，區(qū)間為［1，＋∞）。

為簡單起見，假設(shè)逆需求函數(shù)和成本函數(shù)都是線性的，所有的參數(shù)都是三角模糊數(shù)，并假設(shè)所有模糊數(shù)都是非負(fù)值，于是得到產(chǎn)品價(jià)格（Q）的三角模糊數(shù)為：

為了簡化運(yùn)算，假設(shè)k＝1和g（x）＝x。由于每個(gè)廠商的模糊利潤函數(shù)都是三角模糊數(shù)，則WCoG（）能簡單地計(jì)算出來［8］，即

根據(jù)逆向歸納法求解博弈均衡，先假設(shè)廠商1的產(chǎn)量q1是確定的，則廠商2對模糊利潤的估值WCoG）對q2的一階導(dǎo)數(shù)為：

令（6）式等于0，則可求出廠商2利潤最大化時(shí)的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)，即廠商2產(chǎn)量q2與廠商1產(chǎn)量q1之間的關(guān)系為：

其中

將（7）式帶入廠商1的利潤函數(shù)中，可得：

2 參數(shù)變動的靈敏性分析

靈敏性分析考察參數(shù)變動對模型均衡結(jié)果的影響，從（9）式、（10）式可以看出，對于廠商i，其均衡產(chǎn)量不僅與其模糊參數(shù)的確定值有關(guān)，還與參數(shù)的模糊范圍有關(guān)。

2.1 參數(shù)質(zhì)心的影響

考慮三角模糊參數(shù)a的質(zhì)心，可得：

其他模糊參數(shù)的質(zhì)心為：

將（12）式、（13）式帶入（9）式、（10）式，得到廠商的均衡產(chǎn)量為：

由（14）可以看出，廠商的均衡產(chǎn)量與模糊參數(shù)的質(zhì)心ac、bc、和相關(guān)。廠商對市場需求函數(shù)的估計(jì)會影響均衡產(chǎn)量，模糊參數(shù)的質(zhì)心ac越大，廠商的均衡產(chǎn)量越大，而模糊參數(shù)的質(zhì)心bc越大，廠商的均衡產(chǎn)量越??；廠商邊際成本的質(zhì)心與自己的均衡產(chǎn)量成負(fù)向關(guān)系，與對方廠商的均衡產(chǎn)量成正向關(guān)系。并且，斯坦克爾伯格模型原有的先動優(yōu)勢在模糊環(huán)境下，其參數(shù)質(zhì)心必須滿足＞0的條件才可成立，即廠商1的先動優(yōu)勢必須滿足

由（14）式可得市場的總需求為：

在模糊環(huán)境下，廠商的均衡產(chǎn)量、均衡總產(chǎn)量和2個(gè)廠商模糊利潤的均衡質(zhì)心對模糊參數(shù)質(zhì)心的一階導(dǎo)數(shù)結(jié)果，見表1所列。

表1 模糊環(huán)境下均衡結(jié)果對不同模糊參數(shù)質(zhì)心的一階導(dǎo)數(shù)

通過一階導(dǎo)數(shù)考察參數(shù)模糊質(zhì)心變化對均衡結(jié)果的影響。

（1）廠商i的均衡產(chǎn)量是ac和的增函數(shù)，是bc和的減函數(shù)；廠商1對市場容量參數(shù)質(zhì)心和廠商2邊際成本質(zhì)心的反應(yīng)，要弱于廠商2對市場容量參數(shù)質(zhì)心和廠商1邊際成本質(zhì)心的反應(yīng)，因此，廠商2更在意競爭市場容量的大小和廠商1的邊際成本。

（3）廠商1的WCoG）是關(guān)于的增函數(shù)，關(guān)于bc的減函數(shù)。廠商2的是關(guān)于ac的增函數(shù)，關(guān)于的減函數(shù)。

在模糊環(huán)境下，古諾模型中市場需求、各個(gè)廠商的均衡產(chǎn)量及加權(quán)模糊利潤對模糊參數(shù)質(zhì)心一階求導(dǎo)結(jié)果［6］，見表2所列。

通過對比發(fā)現(xiàn)，在模糊環(huán)境下，參數(shù)ac對市場總需求Q、廠商i（i＝1，2）的均衡產(chǎn)量qi及加權(quán)利潤WCoG（）都有正效應(yīng)，而對于參數(shù)bc則都有負(fù)效應(yīng)。廠商i的邊際成本對市場總需求Q和競爭廠商j（j≠i）的均衡產(chǎn)量qj及加權(quán)利潤WCoG（）都有正效應(yīng)，而對自身的均衡產(chǎn)量qi及加權(quán)利潤WCoG）卻有負(fù)面效應(yīng)。

表2 模糊環(huán)境下Cournot模型中對不同模糊參數(shù)質(zhì)心的一階導(dǎo)數(shù)

2.2 模糊利潤的方差分析

模糊利潤的標(biāo)準(zhǔn)差［7］為：

將（18）式對ac一階求導(dǎo)，可得：

觀察ac與（）之間的關(guān)系，考慮（19）式右邊第2個(gè)多項(xiàng)式，它能被分解為，對廠商1進(jìn)一步簡化，可得：

同理可得：

其中

將（20）～（22）式帶入（19）式，可得：

同樣對于廠商2，可得：

其中

對于其他參數(shù)，分別對其一階求導(dǎo)，可得：

其中

因此，（23）～（27）式表示模糊利潤的標(biāo)準(zhǔn)差對于相應(yīng)的模糊參數(shù)質(zhì)心的變化率。不論是廠商1還是廠商2，其模糊利潤的標(biāo)準(zhǔn)差是ac的增函數(shù)，即隨著ac的增大，模糊利潤的波動幅度會隨之變大；而且都是bc的減函數(shù)，即隨著參數(shù)bc的增大，模糊利潤的波動幅度會隨之變小。同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)，廠商1和廠商2的模糊利潤標(biāo)準(zhǔn)差都是自身邊際成本的減函數(shù)，是競爭對手邊際成本的增函數(shù)。廠商自身的邊際成本對自身模糊利潤標(biāo)準(zhǔn)差的影響程度，大于競爭對手的邊際成本的影響。

通過分析可知，在模糊環(huán)境下的斯坦克爾伯格模型中，逆需求函數(shù)和成本函數(shù)中的模糊參數(shù)對于均衡下每個(gè)廠商的均衡產(chǎn)量和均衡利潤都有著重要的影響。

3 算例分析

通過廠商1和廠商2的最優(yōu)產(chǎn)量比較，在模糊環(huán)境下，可以肯定廠商1的先動優(yōu)勢依然存在。

由參數(shù)質(zhì)心公式，可以得到ac＝10.5，bc＝2.5＝1.1，＝1.3，并可以得到模糊環(huán)境下廠商的均衡產(chǎn)量、均衡總產(chǎn)量和2個(gè)廠商模糊利潤的均衡質(zhì)心對模糊參數(shù)質(zhì)心的一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果，見表3所列。

表3 對不同模糊參數(shù)質(zhì)心的一階導(dǎo)數(shù)結(jié)果

由廠商利潤函數(shù)方差分析，可以得到每個(gè)廠商利潤標(biāo)準(zhǔn)差對模糊參數(shù)質(zhì)心的求導(dǎo)結(jié)果，即

由結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，廠商1的利潤標(biāo)準(zhǔn)差對模糊參數(shù)質(zhì)心ac和bc比廠商2都更敏感，即ac和bc變動時(shí)，廠商1的模糊利潤的變動幅度會更大。

4 結(jié)束語

本文在模糊環(huán)境下，求解需求和成本都不確定情況下的斯坦克爾伯格博弈均衡利潤。為了計(jì)算方便，假設(shè)廠商需求和成本函數(shù)是含有模糊參數(shù)的線性函數(shù)。在設(shè)定模型中，可以得到廠商的均衡產(chǎn)量，進(jìn)一步研究模糊利潤的標(biāo)準(zhǔn)差，為決策者提供關(guān)于利潤變化的更多消息。通過靈敏性分析，檢驗(yàn)參數(shù)波動對每個(gè)廠商的均衡產(chǎn)量、模糊利潤的加權(quán)質(zhì)心以及總市場需求的影響，發(fā)現(xiàn)每個(gè)廠商的均衡產(chǎn)量對于本身參數(shù)的變動影響，大于其競爭對手參數(shù)的變動影響，其參數(shù)質(zhì)心控制著模糊參數(shù)的變動影響均衡產(chǎn)量的波動。

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