可靠性分析的FORM和SORM組合法

郭 彪， 顧德華， 董玉革， 吳方應(yīng)

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.合肥晟泰克汽車電子有限公司，安徽 合肥 230601）

可靠性分析中失效概率的計算最常用的近似算法為一階可靠性方法（first order reliability method，簡稱FORM）［1］。FORM 沒有考慮原極限狀態(tài)函數(shù)的非線性，多數(shù)情況會存在較大的誤差。因此，人們提出二階可靠性方法（second order reliability method，簡稱 SORM）［2－8］，即將極限狀態(tài)函數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中距離原點最近的點進(jìn)行二次展開，考慮極限狀態(tài)函數(shù)的非線性，得到比FORM更為準(zhǔn)確的可靠性計算結(jié)果。

存在多個極值點的極限狀態(tài)函數(shù)，可以在各極值點分別用FORM計算失效概率，然后將其組合起來得到原可靠性分析問題的失效概率，一般可稱之為 MFORM（multipoint first order reliability method）［9－11］；或用 SORM 計算失效概率，然后將其組合起來，可稱之為 MSORM（multipoint second order reliability method）［12－13］。文獻(xiàn)［12－13］討論了2個極值點的 MSORM。2個極值點的情況，其組合失效概率的計算比較簡單，但文獻(xiàn)［12－13］的方法難以用于3個或3個以上極值點的情況?，F(xiàn)有文獻(xiàn)也未討論將FORM和SORM組合起來進(jìn)行失效概率的計算。

本文根據(jù)極限狀態(tài)函數(shù)的特點，分別選擇FORM或SORM計算極值點處的失效概率，然后根據(jù)SORM的計算結(jié)果，將二次展開極限狀態(tài)函數(shù)近似用線性極限狀態(tài)函數(shù)替代，實現(xiàn)FORM和SORM的組合，獲得較準(zhǔn)確的失效概率計算結(jié)果。

1 SORM簡介

與FORM在設(shè)計點處對極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行線性展開不同，SORM在設(shè)計點處對極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行二次展開后，完成可靠性的計算。SORM一般比FORM具有更高的計算精度，有多種算法可完成SORM 的具體計算［2－8］，本文采用文獻(xiàn)［4］的方法。

Koyluoglu方法計算二維情況下失效概率的公式可表示為［4，6］：

其中，Pf為原可靠性問題的真實失效概率；Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)；φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)；βF為按FORM計算的可靠性指數(shù)；κ為與二維失效曲面在設(shè)計點處的曲率有關(guān)的參數(shù)，κ可正可負(fù)。

設(shè)極限狀態(tài)方程為g（u1，u2）＝0，將其改寫為u2＝f（u1），則κ的計算公式為：

在用SORM計算可靠性時，必須考慮曲線在展開點處，是彎向失效區(qū)，還是彎向安全區(qū)。因此，κ的大小按（2）式計算，而其正負(fù)則按下述方法處理：若曲線彎向失效區(qū)，則κ≥0；若曲線彎向安全區(qū)，則κ＜0（參見圖1的點和）。多維情況下的失效概率計算，可參考文獻(xiàn)［4］。

2 失效概率計算的組合法

在進(jìn)行可靠性分析時，需分析極限狀態(tài)函數(shù)的特點，考慮采用什么方法進(jìn)行失效概率的計算。若在極值點處幾乎呈線性，則可采用FORM計算失效概率；若在極值點處具有較高的非線性，則采用SORM計算失效概率；若極限狀態(tài)函數(shù)具有多個極值點，且在某個極值點幾乎呈線性，某個極值點具有較高的非線性，則可采用FORM和SORM的組合進(jìn)行失效概率的計算。

為了完成FORM和SORM的組合，將SORM的二次極限狀態(tài)函數(shù)用線性極限狀態(tài)函數(shù)替代，替代的條件是：用替代的線性極限狀態(tài)函數(shù)計算的失效概率或可靠性指數(shù)與SORM計算的失效概率或可靠性指數(shù)相同，且替代的線性極限狀態(tài)函數(shù)所表示的直線與該極值點處用FORM得到的線性極限狀態(tài)函數(shù)所表示的直線平行。為表示區(qū)別，將按SORM獲得的可靠性指數(shù)記為βS，按FORM獲得的可靠性指數(shù)記為βF。

設(shè)g（u1，u2）＝0，U＝｛u1，u2｝為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機向量。在第j個極值點處，由FORM獲得的可靠性指數(shù)為βFj，則得到的線性極限狀態(tài)為：

其中，gj′為第j個線性極限狀態(tài)，與gj′對應(yīng)的失效區(qū)記為Vj′；αj為在點處的負(fù)梯度。

設(shè)用SORM在該極值點獲得的可靠性指數(shù)為βSj，則替代的線性極限狀態(tài)為：

其中，gj″為第j個替代的線性極限狀態(tài)，對應(yīng)的失效區(qū)為Vj″。

在多個極值點處，可根據(jù)極值點處的非線性程度，分別用FORM和SORM得到線性極限狀態(tài)gi′（i＝1，2，…，m）和替代的線性極限狀態(tài)gj″（j＝m＋1，m＋2，…，n）。因此，復(fù)雜極限狀態(tài)函數(shù)的可靠性計算問題轉(zhuǎn)化為線性極限狀態(tài)gi′和替代的線性極限狀態(tài)gj″組合的可靠性計算問題。若記線性極限狀態(tài)gi′（i＝1，2，…，m）對應(yīng)的失效區(qū)為Vi′（i＝1，2，…，m），替代的線性極限狀態(tài)gj″（j＝m＋1，m＋2，…，n）對應(yīng)的失效區(qū)為Vj″（j＝m＋1，m＋2，…，n），則一般地，原可靠性問題的失效區(qū)可近似表示為：

原可靠性問題的失效概率可表示為：

（6）式的失效概率計算，可用（7）式得到其上下界［14－16］：

其中，｛A｝＋＝max｛0，A｝。

當(dāng)n比較小時，如本文算例中，n＝3，可以簡單而準(zhǔn)確地計算（6）式右邊的部分，如m＝1，n＝3，（6）式即為：

根據(jù)（8）式，失效概率的計算可轉(zhuǎn)化為V1′、V2″和V3″聯(lián)合失效區(qū)概率的計算，即計算P（V1′∩V2″）、P（V1′∩V3″）、P（V2″∩V3″）和P（V1′∩V2″∩V3″）。對P（V1′∩V2″）、P（V1′∩V3″）和P（V2″∩V3″），可以采用二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行計算，也可采用近似方法進(jìn)行計算［17－19］，本文采用的近似計算方法如下［19］：

其中，βi和βj為按FORM或SORM計算的可靠性指數(shù)。

對P（V1′∩V2″∩V3″）的計算，可以進(jìn)行如下處理［17］：

（1）獲取所有線性極限狀態(tài)函數(shù)或替代的線性極限狀態(tài)函數(shù)兩兩之間的交點，如第1個和第2個線性極限狀態(tài)函數(shù)的交點d12（參見圖1）。

（2）若交點不在聯(lián)合失效區(qū)，則剔除；若在，則保留（圖1中，保留的點有d23）。

按上述方法，可知，P（V1′∩V2″∩V3″）可簡化為：

3 算 例

算例1 設(shè)極限狀態(tài)函數(shù)為：

其中，u1和u2為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量。

通過計算知，距離坐標(biāo)原點最近的點＝（0，1.99）。按FORM，應(yīng)以為設(shè)計點計算可靠性，易得到可靠性指數(shù)為βF1＝1.99，因此失效概率為Pf≈PfF＝Φ（－βF1）＝Φ（－1.99）＝0.023 295 5。用 Monte Carlo 方 法 得Pf≈0.068 279 6，模擬次數(shù)為107次。

可見，對該極限狀態(tài)函數(shù)，用FORM進(jìn)行一次展開計算失效概率的誤差太大，不宜采用。

本文的極限狀態(tài)曲面到坐標(biāo)原點的距離還有2個極值點，即＝（2.126 555 0，0.005 189 2），＝（－2.126 555 0，0.005 189 2），如圖1所示，可用SORM進(jìn)行二次展開、計算失效概率。

圖1 算例圖示

在極值點處的曲率極小，可用FORM計算失效概率。根據(jù)（2）式計算得極值點和處的曲率為κ2＝κ3＝－0.088 864 9。根據(jù)和的對稱性，在和點處，用（1）式計算得失效概率為PfS2＝PfS3＝0.018 570 9，相應(yīng)的可靠性指數(shù)為βS2＝βS3＝2.084 201 0。

可見，用本文的方法提高了失效概率計算的精度。本文方法計算失效概率產(chǎn)生誤差的主要原因如下：①FORM和SORM組合的計算失效區(qū)與原失效區(qū)之間仍不相同；② 用SORM計算極值點處的失效概率仍有誤差；③ 用近似方法計算聯(lián)合失效概率的誤差。本例產(chǎn)生誤差最主要的是第1個原因。

算例2 設(shè)極限狀態(tài)函數(shù)為：

其中，u1和u2為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量。

該極限狀態(tài)函數(shù)的圖像與圖1類似，極值點＝（0，1.99）＝（1.888 533 0，0.004 394 4），＝（－1.888 533 0，0.004 394 4），距離坐標(biāo)原點最近的點為或。按FORM，只在或點處進(jìn)行線性展開，得到βF2＝1.888 558 4，或βF3＝1.888 558 4。因此，失效概率用βF2或βF3表示為Pf≈Φ（－βF2）＝Φ（－βF3）＝0.029 475 5。用Monte Carlo方法進(jìn)行107次模擬得到Pf≈0.095 351 90，因此，無論是用極值點，還是用極值點來計算失效概率，計算精度都很低。

同算例1，在極值點處用FORM，在極值點和處用SORM，然后將其按（8）式進(jìn)行組合，得失效概率為Pf≈0.079 933 8。

4 結(jié) 論

（1）根據(jù)極限狀態(tài)函數(shù)的實際情況，分別選擇FORM或SORM計算極值點處的失效概率，再將其組合，獲得了較準(zhǔn)確的失效概率計算結(jié)果。

（2）FORM和SORM計算失效概率的誤差主要在于實際的計算失效區(qū)與原失效區(qū)差別可能過大，如算例1和算例2。本文方法計算失效概率雖然也會產(chǎn)生誤差，但是通過多點線性和二次展開及其組合，能夠提高失效概率計算的精度，因此在提高可靠性計算準(zhǔn)確性方面，具有普遍的理論意義和工程應(yīng)用價值。

（3）采用何種方法進(jìn)行可靠性的計算，建議對極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行必要的分析，如極值點的數(shù)量，在極值點處的非線性程度等等，以提高失效概率的計算精度。

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