基于變換的線性約束斜投影波束形成算法

湯 辰， 徐 亮， 畢傳興

（合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

自適應(yīng)波束形成技術(shù)是陣列信號(hào)處理的重要組成內(nèi)容，它通過(guò)對(duì)傳聲器陣列輸出進(jìn)行空域?yàn)V波，來(lái)達(dá)到增強(qiáng)有用信號(hào)、抑制干擾的目的［1－2］。線性約束最小方差（linearly constrained minimum variance，簡(jiǎn)稱(chēng) LCMV）算法［3－5］是自適應(yīng)波束形成的主要算法之一，它在保證對(duì)期望信號(hào)方向增益為一定值的條件下，計(jì)算最優(yōu)權(quán)向量使陣列輸出功率最小。在線性約束條件中，零點(diǎn)約束可以用來(lái)抑制非平穩(wěn)干擾［6－7］，廣義的基于特征空間的波 束 形成器 （generalized eigenspace－based beamformer，簡(jiǎn)稱(chēng)GEIB）把線性約束和特征空間技術(shù)結(jié)合起來(lái)運(yùn)用到波束形成中［8］，該波束形成器將LCMV算法的權(quán)向量向修正的信號(hào)子空間投影，使權(quán)向量的范數(shù)變小，具有較快的收斂速度和較強(qiáng)的穩(wěn)健性。但該波束形成器需要計(jì)算修正的信號(hào)子空間，因而容易產(chǎn)生計(jì)算上的不穩(wěn)定，并且在零點(diǎn)約束方向與干擾方向接近時(shí)性能急劇下降?；谧儞Q的線性約束特征干擾相消器和基于變換的線性約束正交投影算法［9］可以解決在特定干擾角度上數(shù)值穩(wěn)定性下降和約束零點(diǎn)損失問(wèn)題，但它們只適用于陣列數(shù)據(jù)不含期望信號(hào)（如自適應(yīng)雷達(dá)）時(shí)的情況。基于變換的廣義特征空間波束形成器（transformation－based GEIB，簡(jiǎn)稱(chēng)T－GEIB）［10］可在保留與GEIB相同的零點(diǎn)約束情況下，不需要計(jì)算修正的信號(hào)子空間，因此具有較高的數(shù)值穩(wěn)定性。然而，該波束形成器是以GEIB為基礎(chǔ)的，由于GEIB完全舍棄噪聲子空間，只保留了信號(hào)子空間的分量，因此當(dāng)期望信號(hào)相對(duì)干擾信號(hào)較大時(shí)，該方法非常有效；當(dāng)期望信號(hào)相對(duì)干擾信號(hào)較小時(shí)，直接舍棄權(quán)向量在噪聲子空間的分量會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，此時(shí)得到的權(quán)值不是最優(yōu)權(quán)值，它將導(dǎo)致輸出的信干噪比下降，波束畸變，從而造成抗干擾能力的下降。

以上算法都要求期望信號(hào)與干擾信號(hào)是不相干的，而在實(shí)際環(huán)境中，由于多徑傳播現(xiàn)象的影響，相干信號(hào)是普遍存在的，因此探索一種既適用于不相干又適用于相干環(huán)境下的信號(hào)目標(biāo)方位估計(jì)算法很重要。本文將斜投影方法運(yùn)用到自適應(yīng)波束形成中，提出一種基于變換的線性約束斜投影波束 形 成（transformation－based linearly constrained oblique projection beamforming，簡(jiǎn)稱(chēng)TLCOBPB）算法，該算法首先采用變換矩陣對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行變換，然后將LCMV算法的靜態(tài)權(quán)向量向信號(hào)子空間作斜投影得到自適應(yīng)權(quán)向量，從而實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)波束形成。為驗(yàn)證本文方法的有效性和優(yōu)越性，在低信噪比、低快拍數(shù)和相干信源情況下對(duì)該方法的波束形成性能進(jìn)行數(shù)值仿真研究，并與現(xiàn)有的LCMV算法和T－GEIB進(jìn)行比較。

1 陣列信號(hào)模型

考慮一M元均勻線陣列，有J＋1個(gè)窄帶信號(hào)入射，包括1個(gè)期望信號(hào)和J個(gè)干擾信號(hào)，則陣列接收信號(hào)可表示為：

其中，Si（t）為信號(hào)的復(fù)包絡(luò)；a（θi）為信號(hào)的導(dǎo)向矢量；N（t）為背景噪聲，假設(shè)它為空間白噪聲且與信號(hào)不相關(guān)；A為方向矩陣；S（t）為信源向量。設(shè)i＝1時(shí)為期望信號(hào)，i＝2，…，J＋1時(shí)為干擾信號(hào)，則方向矩陣A＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θJ＋1）］，信源向量S（t）＝［S1（t），S2（t），…，SJ＋1（t）］T。

接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣表示為：

其中，E［］表示期望，上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置；Rs為信號(hào)復(fù)包絡(luò)的協(xié)方差矩陣為噪聲功率；I為單位陣。假設(shè)信號(hào)源數(shù)目J＋1＜M，對(duì)R進(jìn)行特征分解可得：

其中，λ1≥λ2≥…≥λJ＋1≥λJ＋2＝…＝λM＝為相應(yīng)的M個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征矢量分別為ei，i＝1，2，…，M。

2 T－GEIB

由以上的線性約束可得LCMV算法的自適應(yīng)權(quán)向量為：

因?yàn)楸Ａ舻木€性約束為固定零點(diǎn)約束，所以需保留的線性約束可表示為

T－GEIB結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1中，變換矩陣T為Cp的正交補(bǔ)，（t）＝THX（t）LCMV對(duì)變換后數(shù)據(jù)的最小方差波束形成器可表示為如下最小化問(wèn)題：

（10）式的解為：

某型號(hào)為N300-16.7/537/537-8的300 MW機(jī)組于2006年3月投產(chǎn)。機(jī)組有3個(gè)臨界轉(zhuǎn)速，分別為1370 r/min、1688 r/min、1750 r/min。該機(jī)組于2017年9月大修時(shí)配套進(jìn)行節(jié)能升級(jí)改造，更換了高中壓缸隔板汽封、高中壓缸前后汽封、高中壓缸過(guò)橋汽封，所有汽封間隙全部按技術(shù)規(guī)范下限調(diào)整。

圖1 T－GEIB結(jié)構(gòu)圖

其中，的列向量張成的信號(hào)子空間，的列向量張成的噪聲子空間，將LCMV向變換域的信號(hào)子空間作投影可得：

則T－GEIB的自適應(yīng)權(quán)向量為：

由（14）式可知，T－GEIB的自適應(yīng)權(quán)向量位于Cp的正交補(bǔ)空間內(nèi)，從而T－GEIB的自適應(yīng)權(quán)向量滿足（9）式的零響應(yīng)約束，與GEIB方法相比，TGEIB不需要計(jì)算修正的子空間，即不需進(jìn)行Gram－Schmidt正交化過(guò)程，因此具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性，并且計(jì)算量也大大減少。

3 T－LCOBPB算法

T－GEIB雖然摒棄了GEIB計(jì)算上的缺點(diǎn)，減小了計(jì)算量并使得數(shù)值穩(wěn)定性上升，但該波束形成器是基于GEIB發(fā)展起來(lái)的，因此它從原理上保留了GEIB的缺點(diǎn)。首先，GEIB要求期望和干擾信號(hào)是不相關(guān)的，當(dāng)期望和干擾是相干信號(hào)時(shí)，不能區(qū)分2種信號(hào)；其次，該波束形成器在期望信號(hào)相對(duì)干擾信號(hào)較大時(shí)非常有效，當(dāng)期望信號(hào)相對(duì)干擾信號(hào)較小時(shí)，由其得到的權(quán)值將導(dǎo)致輸出的信干噪比性能下降，波束畸變，抗干擾的能力下降。本文針對(duì)T－GEIB波束形成原理上的不足，在自適應(yīng)波束形成中引入斜投影方法，進(jìn)而提出T－LCOBPB算法，斜投影可有效消除相干干擾，從而提高波束形成的魯棒性。

3.1 斜投影基礎(chǔ)原理

正交投影通常運(yùn)用到聲源估計(jì)和定位中，而斜投影是另一種投影方法。在陣列信號(hào)處理中，斜投影算子用來(lái)將某個(gè)值（如測(cè)量聲壓）沿著與任意一子空間的斜向方向投影到一個(gè)低秩子空間，落在該低秩子空間里的成分被認(rèn)為是研究者感興趣的信號(hào)，子空間之外的被認(rèn)為是干擾或者噪聲，通過(guò)這種方式能有效去除干擾信號(hào)，并使干擾產(chǎn)生零陷，從而增強(qiáng)輸出期望信號(hào)［13－15］。

設(shè)矩陣H∈Cn×m（n≥m），它的投影算子為PH（共軛、對(duì)稱(chēng)），與其正交的空間〈A〉＝〈H〉⊥，則PH＝H（HHH）－1HH，PA＝I－PH；它的斜投影算子為EHS（冪等、非對(duì)稱(chēng)），其零空間為〈S〉，則

其中，為空間〈S〉的零導(dǎo)向算子，它有以下性質(zhì)：EHSH＝H，EHSS＝0。

若定義B＝［H，S］，則

由（15）式可知矩陣B的投影矩陣PB可表示為2個(gè)斜投影矩陣之和。

3.2 T－LCOBPB算法

本文提出的LCOBPB算法將LCMV算法的靜態(tài)權(quán)向量C（CH）－1f（對(duì)應(yīng)線性約束）向信號(hào)子空間作斜投影得到自適應(yīng)權(quán)向量，其權(quán)向量為

根據(jù)斜投影算子定義，可得

其中，B（θi）＝［a（θ2），…，a（θJ＋1）］為干擾信號(hào)的方向矩陣。（17）式表明斜投影算子需要知道期望信號(hào)和所有干擾信號(hào)的方向矢量，這在實(shí)際中很難滿足。由文獻(xiàn)［16］可知，斜投影矩陣也可以表示為：

為了保留原有的固定零點(diǎn)線性約束，需要在自適應(yīng)算法之前先進(jìn)行固定零點(diǎn)的阻塞，TLCOBPB算法流程如圖2所示。

圖2 T－LCOBPB算法流程圖

圖2中，變換矩陣T為Cp的正交補(bǔ)，（t）＝THX（t），LCOBPB算法對(duì)變換后數(shù)據(jù)的權(quán)向量為：

其中

4 數(shù)值仿真與性能分析

為驗(yàn)證提出的T－LCOBPB算法在低信噪比、低快拍數(shù)和相干信源下的有效性和優(yōu)越性，下面通過(guò)在幾種不同情況下的數(shù)值仿真對(duì)其進(jìn)行性能分析，每一個(gè)仿真結(jié)果都由100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)結(jié)果平均得到。試驗(yàn)中采用12元的均勻線陣列，陣元間隔為半波長(zhǎng)。

（1）在低信噪比下的干擾抑制能力。仿真中采用了2個(gè)信源，其中期望信號(hào)的方向?yàn)?°，1個(gè)與期望信號(hào)不相干的窄帶干擾信號(hào)來(lái)自－30°，干噪比為20dB，有1個(gè)零點(diǎn)約束，其約束方向?yàn)?0°，快拍數(shù)為500，分別給出了 SNR 為5、－20dB情況下的波束形成方向圖，如圖3、圖4所示。

從圖3中可以看出，在SNR＝5dB情況下，LCMV算法雖然能正確指向期望信號(hào)方向，但旁瓣較高；T－LCOBPB算法和T－GEIB的波束形成性能相當(dāng)，它們主瓣都對(duì)準(zhǔn)了期望信號(hào)的方向，但T－GEIB在干擾方向的增益略大于T－LCOBPB算法。

從圖4中可以看出，在SNR＝－20dB情況下，T－GEIB在期望信號(hào)方向處的主瓣有所偏移，而且抗干擾性能?chē)?yán)重惡化；LCMV算法波束形成性能較好，但其旁瓣還是略高于T－LCOBPB算法；T－LCOBPB算法效果很穩(wěn)定，與SNR＝5dB時(shí)的波束形成性能幾乎一致，表明在低信噪比情況下，T－LCOBPB算法有著比T－GEIB更好的干擾抑制能力。

（2）在低快拍數(shù)條件下的性能研究。取快拍數(shù)為5，SNR＝5dB，其他仿真條件同上，3種算法的波束形成方向圖如圖5所示。從圖5可以看出，LCMV算法在期望信號(hào)點(diǎn)處產(chǎn)生零陷，不能達(dá)到增強(qiáng)期望信號(hào)的目的；T－GEIB和T－LCOBPB算法在固定零點(diǎn)處都產(chǎn)生了零陷，但TLCOBPB算法的波束形成性能要好于T－GEIB，它在干擾方向的增益小于后者，而且旁瓣水平相比于T－GEIB較低，表明在低快拍數(shù)條件下，TLCOBPB算法有著更好的干擾抑制能力。

圖3 SNR＝5dB時(shí)3種算法的方向圖比較

圖4 SNR＝－20dB時(shí)3種算法的方向圖比較

圖5 快拍數(shù)為5時(shí)3種算法的方向圖比較

（3）在相干信源條件下的波束形成性能研究。仿真中，期望信號(hào)與干擾信號(hào)相干，SNR＝10dB，快拍數(shù)為500，其他仿真條件同上，3種算法的波束形成方向圖如圖6所示。從圖6可以看出，在期望信號(hào)與干擾信號(hào)相干情況下，LCMV算法和T－GEIB都產(chǎn)生了1個(gè)主瓣和1個(gè)柵瓣，不能區(qū)分期望信號(hào)和干擾信號(hào)，且旁瓣水平高于T－LCOBPB算法；而 T－LCOBPB算法有著較好的波束形成性能，既成功地去除了相干干擾聲源的影響，又有著較低的旁瓣水平。

（4）同時(shí)存在2個(gè)干擾信號(hào)和2個(gè)零點(diǎn)約束的情況。仿真中，期望信號(hào)來(lái)自0°，SNR＝10dB，2個(gè)與期望信號(hào)相干的窄帶干擾信號(hào)分別來(lái)自－30°和－20°，干噪比都為20dB，有2個(gè)零點(diǎn)約束，其約束方向?yàn)?0°和27°，快拍數(shù)為500，其波束形成方向圖如圖7所示。

圖6 信號(hào)相干情況下3種算法的方向圖比較

圖7 干擾和固定零點(diǎn)不重合時(shí)的方向圖比較

由圖7可以看出，T－LCOBPB算法和 TGEIB在2個(gè)固定零點(diǎn)處都產(chǎn)生了零陷，T－GEIB在期望信號(hào)的主波瓣有所偏移，在干擾方向－30°和－20°處幾乎形成了2個(gè)柵瓣，不能區(qū)分期望和干擾信號(hào)，且旁瓣水平也較高；T－LCOBPB算法成功地增強(qiáng)了期望信號(hào)，且在2個(gè)干擾方向處的增益很小，有著很好的相干干擾抑制能力。

（5）1個(gè)干擾信號(hào)與固定零點(diǎn)重合的情況。2個(gè)窄帶干擾信號(hào)分別來(lái)自27°和－20°，其他仿真條件同上時(shí)，其生成的波束形成方向圖如圖8所示。從圖8可以看出，T－GEIB和T－LCOBPB算法在2個(gè)固定零點(diǎn)處都產(chǎn)生了零陷，但TGEIB在期望信號(hào)的主波瓣還是有所偏移，在干擾方向－20°處形成了柵瓣，不能區(qū)分期望信號(hào)和干擾信號(hào)，且其他旁瓣水平也高；T－LCOBPB算法的主波瓣準(zhǔn)確地指向了期望信號(hào)的方向，且成功地抑制了干擾，有著較好的波束形成性能。

圖8 干擾和1個(gè)固定零點(diǎn)重合時(shí)的方向圖比較

5 結(jié) 論

本文針對(duì)T－GEIB在低快拍數(shù)、低信噪比和相干信源條件下波束形成性能下降這一問(wèn)題，將斜投影運(yùn)用到自適應(yīng)波束形成中，提出T－LCOBPB算法，該算法用變換矩陣對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行變換后，將LCMV算法的靜態(tài)權(quán)向量向信號(hào)子空間作斜投影得到自適應(yīng)權(quán)向量，斜投影可有效消除干擾，進(jìn)而提高波束形成的魯棒性。仿真結(jié)果表明：T－LCOBPB算法在高、低信噪比條件下均能生成穩(wěn)定的波束形成方向圖，且在低快拍數(shù)和相干信源條件下也能生成較好的波束形成方向圖；該算法有著比T－GEIB更好的干擾抑制能力。

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