基于橢球假設的三軸加速度計誤差標定與補償*

劉艷霞，方建軍，楊清梅

（北京聯(lián)合大學自動化學院電氣與控制工程系，北京 100101）

0 引言

加速度計是果蔬采摘機器人控制必不可少的傳感器。機器人借助加速度計掌握姿態(tài)信息（橫滾、俯仰），控制姿態(tài)，保持平衡，并做出相應的動作。果蔬采摘機器人采用霍尼韋爾生產(chǎn)的QA—160T型石英撓性加速度計，它具有機械性能穩(wěn)定、內(nèi)耗小、遲滯小、漂移小、價格低等優(yōu)勢，成為一種十分有發(fā)展前景的撓性加速度計。文獻［1］對石英加速度計的動態(tài)性能進行了測試，結(jié)果表明:加速度計的輸出曲線中包括常值偏差、周期振蕩誤差和白噪聲。文獻［2］利用16位置翻轉(zhuǎn)法對加速度計誤差進行標定和補償。真實加速度采用不同位置時重力加速度在三軸上的投影，利用這16組投影數(shù)據(jù)和加速度計的16組輸出值，通過最小二乘法求解誤差模型參數(shù)，對加速度計誤差進行補償。該方法對不同位置時姿態(tài)角精度要求較高，姿態(tài)誤差會大大影響加速度計誤差參數(shù)計算和補償精度。

本文提出一種基于橢球假設的三軸加速度計誤差標定和補償方法，數(shù)據(jù)采集時只需要傳感器姿態(tài)在三維空間大致均勻分布即可。

1 加速度計誤差模型

三軸加速度計由于制造工藝的限制存在零位誤差、靈敏度誤差和三軸不正交誤差。零位誤差指無加速度輸入時，因制造誤差加速度計也會有一定非零伏的輸出電壓［3］，可表示為

其中，g0x，g0y，g0z分別為三軸加速度計在x軸、y軸和z軸的零位偏差。

靈敏度誤差是當被測加速度在x，y和z軸的分量相等時，三軸加速度計靈敏度不一致，輸出和標稱值之間出現(xiàn)偏差，可表示為

其中，Sx，Sy，Sz分別為加速度計x，y，z3 個測量軸的實際靈敏度，Sn為靈敏度的標稱值。

理想情況下，加速度計的3個軸是完全正交的，但即便是經(jīng)過廠商精密加工，其敏感軸通常也會偏離正交坐標系微小的角度［4］，輸出產(chǎn)生三軸不正交誤差。假設加速度計z軸和正交坐標系pm的z軸完全重合，其它兩軸與正交坐標系的夾角分別為α，β和γ，如圖1所示。

圖1 三軸加速度計不正交誤差Fig 1 Nonorthogonal error of three-axis accelerometer

不正交誤差可表示為

通常，廠商提供的三軸加速度計不正交誤差角度小于0.5°，為計算方便，可以對式 （3）中的三角函數(shù)進行化簡。綜合考慮以上三軸加速度計的各種制造誤差，真實加速度ge和三軸加速度計測量值gm之間的關系如下

共6個獨立的誤差參數(shù)，加上3個零點偏差，式（5）中共9個未知參數(shù)。

2 橢球假設校準法

理想三軸加速度計在同一地點旋轉(zhuǎn)時，重力加速度幅值不變，三軸輸出軌跡為圓球面，但受誤差影響輸出軌跡會產(chǎn)生畸變。對式（5）取ge模的平方可得到

整理為曲面的二次型形式

因三軸加速度計不正交誤差一般小于0.5°，誤差矩陣C嚴格對角占優(yōu)［5］。由此可知矩陣LTL嚴格對角占優(yōu)，為正定實對稱矩陣，式（7）為二次型橢球面方程，寫成二次曲面一般方程有

其中，σ =［a，b，c，d，e，f，p，q，r，s］T為橢球系數(shù)向量。另外，由式（6）可以很容易得到

3 橢球擬合問題

擬合的原理就是找到一個理想橢球使得測量數(shù)據(jù)點到該橢球面的代數(shù)距離平方和最小

也可表示為矩陣形式

一旦確定了橢球系數(shù)，就可以利用解析法得到誤差校準矩陣L和零位偏差g0。

橢球擬合問題就轉(zhuǎn)化為求約束下的條件極值?？梢酝ㄟ^奇異值分解，求（DTD，C）的廣義特征值λi和對應的廣義特征向量σi。文獻［7］中證明式（14）的特征值中有且僅有一個為正，該特征值對應的特征向量即為待定的橢球系數(shù)向量σ。根據(jù)橢球系數(shù)，利用解析的方法即可求出誤差參數(shù)（其中，‖ge‖取當?shù)刂亓铀俣?，?.8 m/s2）

由這些誤差參數(shù)即可求出誤差矩陣C和校準矩陣L，結(jié)合橢球系數(shù)p，q，r進一步得到橢球球心坐標g0。把L和g0代入式（5），即可實現(xiàn)對三軸加速度計的誤差補償。

4 實驗結(jié)果與分析

為驗證上述橢球假設法標定的誤差補償效果，將三軸加速度計固定在三自由度轉(zhuǎn)臺上，為獲得最佳的橢球擬合效果，標定位置的姿態(tài)應盡量均勻分散在圓球表面的各個方向［8］。根據(jù)文獻［8］中的等夾角均勻分布公式，當不同俯仰角時，使轉(zhuǎn)臺沿順時針方向旋轉(zhuǎn)1周，在不同航向角位置采集三軸加速度數(shù)據(jù)（姿態(tài)角不需要太精確，大致均勻分布即可）。

采集的數(shù)據(jù)組成第3節(jié)中提到的設計矩陣D，利用最小二乘法可實現(xiàn)橢球擬合;然后根據(jù)擬合后的橢球系數(shù)解算出誤差參數(shù)，對加速度計誤差進行補償，補償結(jié)果如圖2所示。

圖2 三軸加速度計44組數(shù)據(jù)誤差補償Fig 2 Error compensation results of 44 groups of datas of three-axis accelerometer

圖2中加速度計最大最小絕對誤差由校準前的0.2241 m/s2減小為0.0027 m/s2，均方根誤差由校準前的0.0950 m/s2下降到6.2547 ×10-4m/s2。

圖3和圖4分別為另外2次24組數(shù)據(jù)和80組數(shù)據(jù)的誤差補償實驗。

圖3中加速度計最大最小絕對誤差由校準前的0.4608 m/s2減小為 0.002 7 m/s2，均方根誤差由校準前的0.1540 m/s2下降到6.6795 ×10-4m/s2。

圖4 三軸加速度計80組數(shù)據(jù)誤差補償Fig 4 Error compensation results of 80 groups of datas of three-axis accelerometer

圖4中加速度計最大最小絕對誤差由校準前的0.4071 m/s2減小為 0.004 0 m/s2，均方根誤差由校準前的0.1153 m/s2下降到8.6051 ×10-4m/s2。

5 結(jié)論

利用橢球假設法，把加速度計誤差標定問題轉(zhuǎn)化為求橢球約束下的條件極值，實現(xiàn)三軸加速度計誤差補償。該方法對傳感器標定時姿態(tài)角精度要求不高，大致均勻分布即可，操作簡單易行。實驗結(jié)果表明:橢球假設法補償后，加速度計最大最小絕對誤差可以減小100倍左右，精度達到10-3m/s2，補償效果顯著。3次誤差補償實驗結(jié)果也證明了實驗具有重復性。這種補償方法還可推廣應用于陀螺加速度計等慣性器件。

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