基于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的主動(dòng)約束層阻尼板振動(dòng)控制研究

張東東，鄭 玲

（重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400030）

主動(dòng)約束層阻尼(Active Constrained Layer Damping，ACLD)技術(shù)已被證明是一種有效的減振降噪技術(shù)[1-3]，它結(jié)合了傳統(tǒng)的約束層阻尼技術(shù)和主動(dòng)振動(dòng)控制的優(yōu)點(diǎn)，在較寬的頻段范圍內(nèi)都能夠很好地抑制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)噪聲。ACLD采用離散結(jié)構(gòu)時(shí)，其布置位置對抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)具有重要的影響。對ACLD的位置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以保證在主動(dòng)控制失效時(shí)，仍然有較好的減振降噪效果[4]。目前，采用ACLD技術(shù)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制時(shí)，對ACLD襯片布置位置的選擇多是基于某一單一的性能指標(biāo)[5-7]。但在工程應(yīng)用中，ACLD的配置優(yōu)化問題多為多目標(biāo)優(yōu)化問題，要求能夠同時(shí)有效抑制若干階模態(tài)的振動(dòng)，且考慮到實(shí)際的條件限制，還要求有備選方案。因此，研究基于ACLD襯片多目標(biāo)優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制，是十分必要的。

本文首先基于局部覆蓋ACLD片體的懸臂板有限元?jiǎng)恿W(xué)模型，建立了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。然后采用改進(jìn)的NSGA-II算法對4片ACLD襯片的布置位置進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，確定了基于Pareto最優(yōu)解理論的ACLD襯片的布置方案。最后選取3組ACLD襯片的布置方案，基于FxLMS算法設(shè)計(jì)了前饋控制器，研究了在同一外擾激勵(lì)下，采用不同的ACLD配置方案時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制效果。

1 ACLD板結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化模型

1.1 狀態(tài)空間模型

采用能量法和Hmilton原理，以及粘彈性材料的GHM模型[8]，建立了部分覆蓋ACLD板結(jié)構(gòu)的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型[9]，將其寫為狀態(tài)空間形式。

式中，fd為外激勵(lì)向量；fc為控制電壓；A為系統(tǒng)矩陣；Bd為外激勵(lì)輸入矩陣；Bc為控制力輸入矩陣；C為輸出矩陣；X為狀態(tài)變量；Y為輸出變量。

對系統(tǒng)矩陣A求解特征值，其特征值為一系列的共軛復(fù)數(shù)對，ri=αi±jβi，這里，可定義模態(tài)損耗因子為

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

2 改進(jìn)的NSGA-II算法

2.1 NSGA-II算法

NSGA-II是一種基于Pareto方法的多目標(biāo)進(jìn)化算法。該算法是Deb[10]等人在非支配排序算法（Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA）的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的。由于NSGA-II算法具有算法簡單、收斂速度較快和魯棒性較強(qiáng)的特點(diǎn)，已經(jīng)成為多目標(biāo)優(yōu)化算法的基準(zhǔn)算法之一。其基本流程圖如圖1所示。

2.2 對NSGA-II的改進(jìn)

本文采用全新的能夠處理整形變量的Laplace交叉算子和冪變異算子，對NSGA-II算法進(jìn)行改進(jìn)。

2.2.1 Laplace交叉算子

此時(shí)，對于子代中第2對變量的取值范圍已經(jīng)發(fā)生了改變，更新為

然后，對第2對變量執(zhí)行交叉算子，得到

類似地進(jìn)行操作，直到父代中的每對變量執(zhí)行完交叉操作，得到新的子代個(gè)體。

2.2.2 冪變異算子

變異后新個(gè)體的表達(dá)式為

3 FxLMS控制算法

FxLMS算法是一種易于實(shí)現(xiàn)的主動(dòng)振動(dòng)前饋控制算法，圖2是該算法用于振動(dòng)主動(dòng)控制時(shí)的原理圖。被控對象的控制輸出為

濾波器和自適應(yīng)算法是FxLMS控制器的兩個(gè)核心組成部分。文中采用了橫向?yàn)V波器（FIR），其基本原理如圖3所示，其輸出即為控制器輸出

式中，L為濾波器長度。濾波器的權(quán)向量w(k)采用LMS自適應(yīng)算法進(jìn)行更新。

式中，m為步長。

4 數(shù)值算例

以部分覆蓋ACLD的懸臂板為研究對象，如圖4所示，ACLD板由基層的鋁板、粘彈性層的ZN-1型粘彈材料以及約束層的P-5H壓電陶瓷組成。各層板的材料參數(shù)見表1。約束阻尼板一端約束，形成懸臂板，左端為約束端，將其單元?jiǎng)澐?×8個(gè)單元，則單元的優(yōu)化布置區(qū)間為[1，32]，單元編號如圖4所示。在下述的優(yōu)化過程中，選取布置4片ACLD襯片。

表1 材料參數(shù)

以上述的懸臂板的前兩階損耗因子最大化為優(yōu)化目標(biāo)，采用改進(jìn)后的NSGA-II算法對ACLD襯片的位置多目標(biāo)優(yōu)化計(jì)算。設(shè)置合適的遺傳算法參數(shù)，達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)時(shí)結(jié)束程序。各個(gè)目標(biāo)的進(jìn)化歷程如圖5所示，可以看出大約進(jìn)化10代左右，各個(gè)目標(biāo)的最大值已經(jīng)收斂。圖5是得到的Pareto前沿，對應(yīng)的9組ACLD襯片的優(yōu)化配置方案，即Pareto最優(yōu)解集，見表2。由圖6可知，Pareto前沿近似為一條曲線，但比較分散，這是由于設(shè)計(jì)變量為一離散的整數(shù)空間而導(dǎo)致的。從Pareto最優(yōu)解集中，挑選4組ACLD的配置，進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析，如圖7所示?？梢钥闯?，采用配置1時(shí)，第1階響應(yīng)最小，但第2階的響應(yīng)最大；采用配置9時(shí)，則反之。采用配置3和7時(shí)，第1階振動(dòng)響應(yīng)相對于配置9分別下降了5.6 dB和1.9 dB，第2階振動(dòng)響應(yīng)相對于配置1分別下降了6.2 dB和8.8 dB。與配置1和9相比時(shí)，配置3和7則能夠同時(shí)對前兩階的振動(dòng)響應(yīng)都具有較好的抑制，其中配置3的控制效果更好。

表2 兩目標(biāo)優(yōu)化時(shí)的Pareto解集及對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值

分別選取ACLD襯片的配置1、3和9，基于FxLMS控制算法，建立懸臂板的SISO振動(dòng)控制系統(tǒng)。此時(shí)，ACLD襯片作為作動(dòng)器，激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)如圖4中的點(diǎn)E。保持FxLMS控制器中橫向?yàn)V波器的長度L以及步長μ不變，同時(shí)，限制控制電壓為 100 V，在外激勵(lì)為 0.1sin(2πf1t)+0.1sin(2πf2t)的激勵(lì)下，（f1和f2分別為懸臂板結(jié)構(gòu)的第1、2階模態(tài)頻率），懸臂板結(jié)構(gòu)控制前后的響應(yīng)曲線如圖8所示。懸臂板第1階模態(tài)的振動(dòng)能量較第2階模態(tài)的振動(dòng)能量大，在同樣的激勵(lì)下，第1階振動(dòng)響應(yīng)就比較大。此外，配置9對第1階的振動(dòng)抑制較弱，因此，采用優(yōu)化配置9時(shí)，未控制的振動(dòng)響應(yīng)大于優(yōu)化配置1和3。在同樣的控制器參數(shù)和控制能量下，配置9的振動(dòng)響應(yīng)趨于發(fā)散，配置1和配置3都能夠有效抑制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，振動(dòng)響應(yīng)分別由2.05 mm和2.14 mm衰減到0.25 mm和接近于0 mm。圖9是ACLD不同襯片下的振動(dòng)響應(yīng)的頻域圖。在未施加控制時(shí)，頻響曲線與圖7的結(jié)果有同樣的趨勢。配置3對第1階和第2階振動(dòng)響應(yīng)都能夠很好地抑制，配置1則對第1階振動(dòng)響應(yīng)更有效。由此可以看出，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法，對振動(dòng)被動(dòng)控制時(shí)的ACLD襯片配置進(jìn)行優(yōu)化，并基于此設(shè)計(jì)振動(dòng)主動(dòng)控制器對結(jié)構(gòu)進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制時(shí)，都能夠有效地衰減懸臂板的前兩階振動(dòng)響應(yīng)，保證了ACLD技術(shù)用于主被動(dòng)模式時(shí)都具有較好的振動(dòng)抑制效果。

5 結(jié)論

本文基于主動(dòng)約束層阻尼結(jié)構(gòu)的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型，采用改進(jìn)的NGSA-II算法對ACLD襯片進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并基于優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果設(shè)計(jì)了FxLMS前饋控制器，對結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制情況進(jìn)行了仿真分析和研究。結(jié)果表明，當(dāng)ACLD結(jié)構(gòu)工作于被動(dòng)模式時(shí)，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法得到的ACLD配置能夠同時(shí)對結(jié)構(gòu)的前兩階振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行較好的抑制；工作于主動(dòng)模式時(shí)，基于優(yōu)化的ACLD配置設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)，具有更好的振動(dòng)抑制效果，這就保證了ACLD技術(shù)用于主被動(dòng)模式時(shí)都具有較好的振動(dòng)抑制效果。

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