基于帝國競(jìng)爭(zhēng)算法的變截面少片鋼板彈簧優(yōu)化設(shè)計(jì)

【摘要】帝國主義競(jìng)爭(zhēng)算法是一種新型的啟發(fā)式搜索算法，具有收斂速度快、求解精度高的特點(diǎn)。本文設(shè)計(jì)了一種帝國競(jìng)爭(zhēng)算法的約束處理方法，進(jìn)而成功地將該算法應(yīng)用在了汽車懸架中的變截面少片鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中。在某算例上的求解實(shí)驗(yàn)證明，該方法可以得到比其他算法更優(yōu)良的結(jié)果，為少片鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種新的方法。

【關(guān)鍵詞】帝國競(jìng)爭(zhēng)算法；少片鋼板彈簧；約束處理

引言

少片鋼板彈簧是指只有1～4片的變截面鋼板彈簧，相比于多片鋼板彈簧，少片鋼板彈簧用材較少、重量更輕、所需裝配空間小、噪音小，平順性更好，因此在汽車懸架系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。目前因制造工藝等限制，少片變截面彈簧多采用等寬度、厚度沿長度方向呈直線形變化的變厚截面彈簧，且各片葉片尺寸相同，以利于系列化生產(chǎn)。近年來，受車輛輕量化的發(fā)展需求，鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題也越來越引起研究者的重視。由于該問題涉及的參數(shù)和約束條件較多，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)大多采用試湊法，即根據(jù)經(jīng)驗(yàn)初步選定各參數(shù).然后代入公式進(jìn)行驗(yàn)算，反復(fù)進(jìn)行一直到各約束條件全部滿足為止，往往耗費(fèi)時(shí)間特別長，且不容易獲得最佳設(shè)計(jì)結(jié)果[1-2]。目前，使用最優(yōu)化策略來進(jìn)行鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)已成為一種流行的方法，已經(jīng)成功應(yīng)用的優(yōu)化策略有matlab優(yōu)化工具箱[2]、遺傳算法[3-4]、粒子群算法[5-6]等。

帝國主義競(jìng)爭(zhēng)算法（Imperialist Competitive Algorithm， ICA）是由Atashpaz-Gargari和Lucas受人類社會(huì)歷史進(jìn)程的啟發(fā)，于2007年提出的一種新的元啟發(fā)式優(yōu)化算法[7]，近年來在諸多問題上得到了成功應(yīng)用，表現(xiàn)出了優(yōu)秀的求解能力。

本文采用ICA算法，結(jié)合自行設(shè)計(jì)的約束處理方法，對(duì)少片鋼板彈簧參數(shù)優(yōu)化問題進(jìn)行了研究，并在某算例上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。對(duì)比其他文獻(xiàn)中的方法，可以發(fā)現(xiàn)，本文得到的結(jié)果更優(yōu)，證明采用ICA進(jìn)行鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種非常有效的方法。

1、鋼板彈簧的優(yōu)化問題

1.1設(shè)計(jì)變量

少片鋼板彈簧的結(jié)構(gòu)是左右對(duì)稱的，圖1給出了一半彈簧的結(jié)構(gòu)示意圖。

少片鋼板彈簧的設(shè)計(jì)參數(shù)包括以下幾部分：長度尺寸l、l1、l3，厚度尺寸h1、h2，葉片寬度b和葉片數(shù)n。其中，l3部分用于U型螺栓的裝夾，寬度b取決于整車布置空間和所用的彈簧扁鋼的尺寸規(guī)格，葉片數(shù)n一般小于或等于4片，在設(shè)計(jì)時(shí)，這三個(gè)參數(shù)均可視為常數(shù)。因此，實(shí)際的待優(yōu)化的變量有4個(gè)，即

1.3目標(biāo)函數(shù)

在本問題中，優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在滿足鋼板彈簧性能要求的前提下，盡量減小其質(zhì)量。因此，把鋼板彈簧的質(zhì)量作為目標(biāo)函數(shù)，即：

式中ρ為鋼板彈簧材料的密度。

1.4 約束條件

該優(yōu)化問題是一個(gè)多約束的問題，其主要約束來源于彈簧的裝配空間要求、剛度、強(qiáng)度等性能要求以及制造工藝等方面的要求，常用的一組約束條件如下[2，3，8]：

1）需保證彈簧卷耳處具有足夠的強(qiáng)度，端部等厚部分的厚度h1需大于最小的允許厚度H1，即：

2）彈簧材料要保證淬透性，彈簧中間部分的最大厚度h2不能超過許用厚度H2，即：

3）彈簧厚度h1和h2不相等，且h2至少比h1要大1mm，即：

4）卷耳具有一定的尺寸，即：

5）l的長度必須小于允許長度L的一半，否則彈簧無法裝配，即：

6）彈簧剛度K與設(shè)計(jì)要求的剛度KC的誤差應(yīng)小于某個(gè)精度值Ke，以保證車輛的平順性，即：

彈簧剛度K計(jì)算如下：

其中：ζ是修正系數(shù)，取0.92；E為彈性模量。

7）考慮到彈簧的應(yīng)力分布和彈簧在l1段內(nèi)的強(qiáng)度，最大應(yīng)力應(yīng)小于允許應(yīng)力[σ]1，即：

8）按彈簧強(qiáng)度要求，彈簧在載荷的作用下，其計(jì)算應(yīng)力應(yīng)小于材料的許用應(yīng)力[σ]2。根據(jù)最大應(yīng)力的位置不同，得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

其中，P為載荷。

綜上，少片變截面鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)4維、8個(gè)不等式約束的單目標(biāo)優(yōu)化問題。

2、使用ICA進(jìn)行彈簧參數(shù)優(yōu)化

2.1ICA尋優(yōu)的一般過程

與其他優(yōu)化算法類似，ICA開始于在搜索空間內(nèi)隨機(jī)生成的一定數(shù)目的初始解。每一個(gè)初始解都被稱為一個(gè)國家，由優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)來評(píng)價(jià)這些國家的優(yōu)劣程度。其中一定數(shù)目的最優(yōu)秀的國家被視為帝國主義國家，其他國家被視為殖民地國家，并且被隨機(jī)分配給帝國主義國家，一個(gè)帝國主義國家及其下屬的殖民地國家組成一個(gè)帝國集團(tuán)。

在分配殖民地國家給帝國主義國家時(shí)，每個(gè)帝國主義國家分配到的殖民地國家的數(shù)目與它的優(yōu)秀程度成正比，為此，定義每個(gè)帝國主義國家的標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)力為

其中，

上式中，Cn和cn分別表示第n個(gè)帝國主義國家的標(biāo)準(zhǔn)代價(jià)函數(shù)值和代價(jià)函數(shù)值；Nimp表示初始帝國主義國家的數(shù)目。

第n個(gè)帝國主義國家分配到的殖民地國家的數(shù)目為：

其中表示初始殖民地國家的總數(shù)目。分配時(shí)，在所有殖民地國家中，隨機(jī)選取個(gè)，分配給第n個(gè)帝國主義國家。

殖民地國家的劃分產(chǎn)生了一定數(shù)目的帝國集團(tuán)。在每個(gè)帝國集團(tuán)中，殖民地國家開始以如圖2所示的方式向所隸屬的帝國主義國家移動(dòng)（同化過程，對(duì)現(xiàn)實(shí)中帝國主義國家向其殖民地施行同化政策的一種簡單模擬），圖2中的d為殖民地國家和所屬帝國主義國家之間的距離，而x和θ都是服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，且

通常β和γ分別取2和π/4（rad）。

如果某殖民地國家向帝國主義國家移動(dòng)后，其新位置比帝國主義國家更優(yōu)秀，則需要互換該殖民地國家和帝國主義國家的位置。

各個(gè)帝國集團(tuán)之間會(huì)以競(jìng)爭(zhēng)的形式爭(zhēng)奪殖民地國家，從而壯大自身的勢(shì)力。該過程如下：首先，計(jì)算每個(gè)帝國集團(tuán)的總勢(shì)力（該集團(tuán)中帝國主義國家的勢(shì)力與所有殖民地國家勢(shì)力的平均值的一部分之和），然后，當(dāng)前勢(shì)力最弱的帝國內(nèi)部的最弱的殖民地國家將被置為自由狀態(tài)；所有的帝國集團(tuán)通過競(jìng)爭(zhēng)來獲取該自由殖民地國家。勢(shì)力越大的帝國集團(tuán)，成功率也越大。隨著競(jìng)爭(zhēng)過程不斷進(jìn)行，勢(shì)力強(qiáng)的帝國集團(tuán)占有越來越多的殖民地國家，而勢(shì)力弱的帝國集團(tuán)逐漸失去其所有的殖民地。最終，失去所有殖民地國家的帝國集團(tuán)將被覆滅。當(dāng)算法迭代一定的次數(shù)之后，將只剩下一個(gè)帝國，該帝國中的帝國主義國家所代表的解即為算法找到的最優(yōu)解。

2.2約束處理辦法

ICA算法是針對(duì)無約束問題設(shè)計(jì)的，用來優(yōu)化彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)，必須對(duì)問題中的約束條件進(jìn)行處理。在此，我們假設(shè)每個(gè)可行解都要優(yōu)于任何非可行解，人為賦予非可行解更大的目標(biāo)函數(shù)值，同時(shí)假設(shè)違背約束條件越多的國家，其代表的解也越劣。在算法迭代過程中，檢測(cè)每個(gè)國家與前述約束條件的符合程度。假設(shè)某個(gè)國家違背了N個(gè)約束，則將該國家的目標(biāo)函數(shù)值設(shè)定為N*Mnumber.這里，Mnumber為一個(gè)數(shù)值很大的數(shù)，在我們的實(shí)驗(yàn)中，取99999。

3、求解實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了檢驗(yàn)本文提出的方法的可行性，并與其他方法進(jìn)行對(duì)比，我們選用了文獻(xiàn)[2]中的算例進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算實(shí)驗(yàn)和分析。

該問題中各個(gè)參數(shù)如下（各參數(shù)含義如前述）：P=16170N， b=90mm，L=1720mm，l3=40mm，H1=8mm，H2=15mm，KC=176N/mm，Ke=0.008， [σ]1=350MPa，[σ]2=500MPa。ρ=7.8×10-6kg/mm3，E=2.1×105N/mm。分別在彈簧片數(shù)取為3片和4片進(jìn)行優(yōu)化。

算法程序在MATLAB環(huán)境下運(yùn)行。初始國家數(shù)目設(shè)置為200，初始帝國數(shù)目設(shè)置為3，最大迭代次數(shù)設(shè)置為400次。對(duì)于片數(shù)為3和4兩種情況，分別進(jìn)行20次實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中獲得的最優(yōu)結(jié)果如表1所示。由于文獻(xiàn)[2]中并未提供[σ]1和[σ]2的值，在表1中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為采用文獻(xiàn)1中提供的參數(shù)結(jié)果，根據(jù)前述公式計(jì)算而得。

從表1中可以看出，當(dāng)鋼板彈簧片數(shù)取為3時(shí)，采用ICA算法得到的結(jié)果要優(yōu)于文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果，彈簧質(zhì)量減少了約2.4%，同時(shí)，兩種算法得到的應(yīng)力[σ]2大致相等，但I(xiàn)CA得到的應(yīng)力[σ]1降低了約23.2%；當(dāng)鋼板彈簧片數(shù)取為4時(shí)，文獻(xiàn)[2]中給出的參數(shù)結(jié)果并不能滿足應(yīng)力[σ]2的約束要求，而本文的結(jié)果滿足許可應(yīng)力的要求。同時(shí)根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的數(shù)據(jù)，原設(shè)計(jì)中彈簧質(zhì)量為40.9kg，本文得到的結(jié)果為35.3363kg，比原設(shè)計(jì)減少了13.6%。

4、結(jié)論

本文提出了一種應(yīng)用帝國主義競(jìng)爭(zhēng)算法進(jìn)行汽車變截面少片鋼板彈簧優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，實(shí)驗(yàn)表明，該方法可行且十分有效。該方法可以使汽車懸架的設(shè)計(jì)更加合理，在保證良好的形式穩(wěn)定性、平順性的同時(shí)，更大限度地降低鋼板彈簧的質(zhì)量，具有較好的實(shí)用價(jià)值。