“畫圖”學(xué)數(shù)學(xué)

[思考背景]

2010年，蔡金法教授主持新世紀高研班研修活動時提供了一道“帽子平均數(shù)”問題，并給出了3個學(xué)生的不同解題記錄（如下圖）。

蔡教授請67位學(xué)員們（教材編委、專家學(xué)者、30位高研班學(xué)員、部分優(yōu)秀教研員和骨干教師）對這3個學(xué)生的解題記錄進行評分。最高分4分，最低分是0分，按0、1、2、3、4五個等級來評分。評分結(jié)果統(tǒng)計如下：

蔡教授又出示了2002年對59名中國教師和52名美國老師做的評分對比（如下圖）。

這組數(shù)據(jù)中，兩國教師對A和C的態(tài)度都差不多，差異最大的是B，中國老師給出的平均值只有3.17（總分是4分），很多的中國老師都給2分或者是3分，個別的給1分。理由是這樣的解答不具備一般性，當數(shù)字變得很大時畫圖太麻煩了。蔡教授還提到他2003年來內(nèi)地講學(xué)時與老師們也討論過這道題目，老師們竟然大喊畫圖的B不是數(shù)學(xué)。

從相隔8年的前后兩次調(diào)查數(shù)據(jù)的對比中不難發(fā)現(xiàn)，新課程已經(jīng)讓中國教師在對待學(xué)生畫圖解決問題的態(tài)度上發(fā)生了很大的轉(zhuǎn)變。

2011年《數(shù)學(xué)課程標準》正式頒布使用后，相應(yīng)的教材編寫也都做了調(diào)整。第四版北師大數(shù)學(xué)教材就提供了很多學(xué)生畫圖解決問題的實例（如下圖），特別注重了對學(xué)生畫圖的關(guān)注。如：畫圖形表示數(shù)的大?。划媹D表示口算的過程；畫數(shù)線表示數(shù)的增減變化；把撥計數(shù)器的過程畫出來；點子圖做乘法；畫圖記錄平均分的過程；用圖幫助計算有余數(shù)除法；畫圖解決有關(guān)經(jīng)過時間的問題……

畫圖對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)究竟有哪些幫助呢？教師又該如何培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力呢？2014年4月，大慶市教師進修學(xué)院教研轉(zhuǎn)型，學(xué)科中心組成員引領(lǐng)著老師們做小課題研究。我?guī)е鴮Ξ媹D學(xué)數(shù)學(xué)的思考開始在自己的課堂上大膽嘗試，并在下校聽課中特別關(guān)注學(xué)生畫圖解決問題的情況，積累了一些案例。

[實踐案例]

1.借助圖示認識數(shù)學(xué)概念，理解意義。

案例1：大慶市祥閣學(xué)校劉娜老師執(zhí)教的三年級上冊“分一分“課上，問題是“把1個蘋果平均分給兩個人，每人分到多少？”“你能用自己的方式表示一半嗎？”學(xué)生在充分的合作交流后輪流展示成果。學(xué)生們的方法之多，讓任課老師及聽課教師都眼前一亮。一女生先板帖一張?zhí)O果圖被任意分成兩份的，并向全體學(xué)生提問：這樣分可以嗎？為什么？得到否定答復(fù)后，再出示分得一樣大小的“半個蘋果”（如下圖），幫助學(xué)生直觀理解分數(shù)是建立在平均分的基礎(chǔ)上的。

三年級只要求初步認識分數(shù)，不研究分數(shù)的基本性質(zhì)，可是學(xué)生卻提出了有關(guān)的問題：對用表示四份中的兩份提出質(zhì)疑（如右上圖）。這時，劉老師不急于釋疑，而是把問題交給學(xué)生去討論、去辨析。學(xué)生借助直觀的圖示明白了這其中的異同，也促進了對分數(shù)意義的理解，更對后續(xù)分數(shù)的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。

2.利用圖示解釋計算過程，明晰算理。

案例2：大慶市萬寶學(xué)校王麗艷老師的二年級下冊《撥一撥》課上，學(xué)生計算三位數(shù)減法時，有的畫數(shù)線計算，有的先用計數(shù)器撥一撥，又在圖上畫珠子表示“退位減”的過程。最后又把圖示與豎式筆算相對照，在溝通算法中理解“退一當十”的道理，幫助學(xué)生明晰算理，理解和建立十進位制。

3.利用圖示分析數(shù)量關(guān)系、解決問題。

案例3：我在教學(xué)三年級上冊《小熊購物》一課時，提出問題后，學(xué)生嘗試解答。有的分步計算，有的列出綜合算式，還有的同學(xué)畫出了示意圖（如下圖）。借助現(xiàn)實情境，明確要先算出4個面包的價錢再加上1個蛋糕的價錢。學(xué)生借助示意圖分析數(shù)量關(guān)系，看懂了綜合算式的每一步表示的意思，并結(jié)合圖示總結(jié)出乘加混合運算“先乘后加”的運算順序。

案例4：在大慶市祥閣學(xué)校白季老師的五年級下冊《分數(shù)混合運算（二）》課上，學(xué)生分享了利用線段圖解決問題的方法后，另一組學(xué)生又展示了畫統(tǒng)計圖解題的方法，這組學(xué)生制作的學(xué)具特有創(chuàng)意，先粘上一張小正方形紙片，用磁扣蓋住，講到“多”時，學(xué)生把磁扣拿開，把正方形小紙片翻轉(zhuǎn)下來，背面居然是綠色的，一下子突破了“多誰的”的難點（如下圖），真是讓老師自愧不如。

通過案例研究，我看到了畫圖對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值，為自己的執(zhí)著思考和大膽嘗試感到高興。同時，回顧整個研究的過程，我很樂于把自己的感受和體會分享給大家。

[經(jīng)驗分享]

1.重視畫圖價值，轉(zhuǎn)變觀念。

目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的畫圖意識很薄弱。造成這種現(xiàn)狀的原因更多的是在教師。很多教師要求學(xué)生在解決問題時要有解題過程，這個過程即“算式和得數(shù)”。而教師對于學(xué)生畫圖來解決問題的做法并不認可，讓學(xué)生形成了“唯算式”的定式思維。所以要想讓學(xué)生畫圖學(xué)數(shù)學(xué)，教師一定要轉(zhuǎn)變觀念，允許和鼓勵學(xué)生畫圖解決問題。

2.培養(yǎng)畫圖意識，養(yǎng)成習(xí)慣。

記得很多老師反映，在五年級須要畫線段圖解決復(fù)雜的分數(shù)問題時，學(xué)生不喜歡畫線段圖，也不會畫線段圖，導(dǎo)致弄不清數(shù)量關(guān)系，解決問題困難。畫圖能力不是一蹴而就的，須要從小培養(yǎng)，要養(yǎng)成看到問題就畫一畫的習(xí)慣。一年級學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)開始，就要讓學(xué)生用圖來表示數(shù)目；初學(xué)加減法，更要畫圖來表示數(shù)目的增減變化。長此以往，學(xué)生有了畫圖意識，形成了畫圖的習(xí)慣，五年級的線段圖就不再是可有可無、累贅的“附加品”，而是解決問題的得力“好幫手”了。

3.分享畫圖策略，積累經(jīng)驗。

最初，學(xué)生畫的圖五花八門，甚至和數(shù)學(xué)一點關(guān)系都沒有。但是，孩子們之間是能看懂的。所以我經(jīng)常讓學(xué)生在畫圖后同桌之間，小組內(nèi)部說一說，把自己的圖介紹給同學(xué)。在全班分享時，讓看懂別人的圖的同學(xué)來講一講。在相互交流分享中，學(xué)生欣賞、比較、借鑒、反思、調(diào)整著，畫圖意識增強了，經(jīng)驗也逐步地積累、豐富著。

4.指導(dǎo)畫圖方法，提升能力。

盡管畫圖要呈現(xiàn)學(xué)生的原始想法，但畫圖的方法還是有必要得到及時提升的。學(xué)生畫的圖可能光注重了美感，忽略了數(shù)學(xué)信息，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖示的“數(shù)學(xué)味”；隨著數(shù)量的變化，教師要提醒學(xué)生有時不必畫實物，可以用圖形代替實物；有時不必把所有數(shù)量都畫出來，只須配合上一個數(shù)字就可以了……要體現(xiàn)畫圖的“簡潔美”；隨著年級的升高和題目難度的變化，教師要提醒學(xué)生在畫圖時正確表達數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“關(guān)聯(lián)性”等等，逐步提升畫圖的能力。

5.形成畫圖思想，創(chuàng)新思維。

《數(shù)學(xué)課程標準》中新增了核心概念“創(chuàng)新意識”，并明確提出：“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中?！睂W(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。畫圖學(xué)數(shù)學(xué)能夠體現(xiàn)學(xué)生的獨立思考和學(xué)會思考，是創(chuàng)新的核心。給學(xué)生畫圖的機會，幫助學(xué)生形成畫圖思想，發(fā)展思維，讓創(chuàng)新成為可能。

（作者單位：大慶市萬寶學(xué)校）