一元一次方程中的數(shù)形結(jié)合思想

吳強(qiáng)

數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”在數(shù)學(xué)教學(xué)時，利用代數(shù)和幾何的雙面工具實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，可以揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，有利于我們準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)知識.

一、 用線形示意圖解決行程問題

線形示意圖通?？梢援嫵芍本€或環(huán)形圖，用線段的長或曲線的長來表示某些量，并根據(jù)這些線段或曲線的長度關(guān)系列出方程. 許多行程問題中的數(shù)量關(guān)系可以用線形圖表示.

例1 A、B兩地間的路程為360千米，甲車從A地出發(fā)開往B地，速度為72千米/小時，乙車從B地出發(fā)開往A地，速度為48千米/小時，兩車同時出發(fā)，多少小時后兩車相遇？

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

甲車行的路程+乙車行的路程=總路程.

解：設(shè)兩車同時出發(fā)后x小時相遇.

根據(jù)題意，得72x+48x=360.

解這個方程，得x=3.

答：兩車同時出發(fā)3小時后相遇.

【點評】 線形示意圖具有直觀性，可以清晰地反映事物的發(fā)展規(guī)律或變化趨勢.線形示意圖用線段表示數(shù)量，可根據(jù)線段的和或差找出相等關(guān)系.

變式一：若甲車出發(fā)30分鐘后乙車再出發(fā)，求乙車出發(fā)幾小時后兩車相遇.

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

甲車前30分鐘行的路程+甲車30分鐘后行的路程+乙車行的路程=總路程.

解：設(shè)乙車出發(fā)x小時后兩車相遇.

30分鐘=0.5小時.

根據(jù)題意，得72（x+0.5）+48x=360.

解這個方程，得x=2.7.

答：乙車出發(fā)2.7小時后兩車相遇.

變式二：兩車同時出發(fā)，幾小時后兩車相距60千米？

【分析】 兩車相距60千米要注意分為相遇前相距60千米和相遇后相距60千米兩種情況. 可以畫出線形示意圖：

情況一：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

甲車行的路程+乙車行的路程+60 km=總路程.

情況二：

根據(jù)線形示意圖我們可以找到這個問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

甲車行的路程+乙車行的路程-60 km=總路程.

解：情況一：設(shè)兩車同時出發(fā)x小時后兩車在相遇前相距60千米.

根據(jù)題意，得72x+48x+60=360.

解這個方程，得x=2.5.

情況二：設(shè)兩車同時出發(fā)x小時后兩車在相遇后相距60千米.

根據(jù)題意，得72x+48x-60=360.

解這個方程，得x=3.5.

答：兩車同時出發(fā)，2.5小時或者3.5小時后兩車相距60千米.

二、 用圓形示意圖解決工程問題

畫圓形示意圖時，用整個圓的面積表示工作量1. 先畫一個圓，再畫圓的幾條半徑，把圓分成幾個扇形，用扇形面積來表示有關(guān)工作量.

例2 用甲、乙、丙三部抽水機(jī)從礦井里抽水，單獨用一部抽水機(jī)抽盡，用甲需要24小時，用乙需要30小時，用丙需要40小時，現(xiàn)甲、丙同抽了6小時后，乙機(jī)加入，問從開始到結(jié)束，一共用了多少小時才能把井里的水抽完？

【分析】 可以畫出圓形示意圖：

根據(jù)圓形示意圖我們可以找到這個問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

甲、丙合作時完成的工作量+乙機(jī)加入后甲、乙、丙完成的工作量=總工作量.

工程中的等量關(guān)系是：

工作量=工作效率×工作時間.

如果把全部工作量看作1，那么甲單獨抽水1小時完成全部工作量的，乙單獨抽水1小時完成全部工作量的，丙單獨抽水1小時完成全部工作量的.

解：設(shè)從開始到結(jié)束，一共用了x小時才能把井里的水抽完.

根據(jù)題意，得

+×6+

+

+×（x-6）=1.

解這個方程，得x=12.

答：從開始到結(jié)束，一共用了12小時才能把井里的水抽完.

【議一議】 解上述問題時，小明列出的方程是

+×x+×（x-6）=1. 你能說出它的意義嗎？

【點評】 圓形示意圖可以表示出各部分?jǐn)?shù)量和總體的關(guān)系.

數(shù)與圖形作為數(shù)學(xué)這門學(xué)科的兩種重要載體與表達(dá)工具，彼此之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，對充分認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)涵有著重要作用. 數(shù)形結(jié)合思想便是對數(shù)與形之間聯(lián)系的形象表達(dá)，它作為一種重要的解題思想，在初中數(shù)學(xué)中有著重要的應(yīng)用.

（作者單位：江蘇省常州外國語學(xué)校）