考慮高階系統(tǒng)動力學滯后的最優(yōu)制導律研究

陳歡，劉蛟龍，尉建利，于云峰

(1.西北工業(yè)大學航天學院，陜西西安710072;2.北京航天自動控制研究所系統(tǒng)理論與仿真技術研究室，北京100854)

0 引言

導彈制導精度是導彈武器系統(tǒng)的重要戰(zhàn)術指標之一，提高導彈的制導精度不但可以有效地增強導彈攻擊效率，而且可以減輕導彈重量、提高導彈機動能力和突防能力［1-2］。

在實際應用過程中，經典比例導引律和增強型比例導引律使用最為廣泛。經典比例導引律沒有考慮制導系統(tǒng)動力學滯后和目標機動的情況［3-4］;增強型比例導引律考慮了目標機動情況，并對其進行了一定程度的有效補償。目前，基于二次型性能指標的一階最優(yōu)制導律的研究已經非常成熟［5］，不同于經典比例導引律，該制導律對目標的機動和導彈指令響應動力學滯后進行了一定程度的補償［6］，制導性能相對于比例導引律有了較大程度的提高。文獻［4，6-7］分別從不同的角度給出了基于最優(yōu)控制理論的一階最優(yōu)制導律推導過程，并通過仿真分析表明了其優(yōu)越性。文獻［3，5，8］已經考慮到了制導系統(tǒng)動力學階數對制導精度的影響。文獻［3］分析了制導系統(tǒng)動力學對制導系統(tǒng)的影響，并給出了相應的仿真結果;文獻［5］重點對三階和四階制導系統(tǒng)最優(yōu)制導律的形式、增益獲取途徑和仿真應用進行了理論研究。但總的來說，隨著測量狀態(tài)的增加和測量精度的提高，研究高階最優(yōu)制導律成為一種必然趨勢［5］。

本文基于文獻［2-3］中的典型五階制導系統(tǒng)模型，提出了一種高階最優(yōu)制導律，并給出了詳細的推導過程。通過與增強型比例導引律和一階最優(yōu)制導律進行比較，表明了所提出的制導律的優(yōu)越性。

1 模型的建立

1.1 彈-目之間簡化二維數學模型的建立

圖1為導彈與目標之間的二維線性化運動模型。在該簡化模型中，x為視線的基準方向;MT表示目標瞄準線;M為攔截導彈，T為目標，二者的速度分別為VM和VT，加速度分別為nL和nT。

圖1 彈-目簡化二維數學模型Fig.1 Two-dimensional missile-target engagement geometry

導彈與目標之間的相對加速度可以表示為:

一般β和λ都很小，因此上式可以近似為:

同樣，利用小角度假設，導彈與目標之間的相對距離y可以近似表示為:

在線性分析中，假設接近速度VC為常值，因此有:

式中，R為導彈與目標之間的相對距離;λ為目標視線角;tF為末制導時間。式(2)和式(5)組成了導彈與目標的相對運動方程。

1.2 考慮動力學滯后的制導系統(tǒng)模型的建立

本文介紹的最優(yōu)制導律為基于考慮五階動力學滯后的制導系統(tǒng)。根據文獻［2-3］中的介紹，此處將導引頭、噪聲濾波器等效為二階動力學環(huán)節(jié)。將飛控系統(tǒng)等效為典型的三階動力學滯后環(huán)節(jié)，即:

式中，nC為指令加速度;T為等效彈體時間常數。由以上數學模型，可得相應的導彈與目標制導系統(tǒng)數學模型結構圖，如圖2所示。

圖2 考慮五階動力學滯后的制導系統(tǒng)結構圖Fig.2 Fifth-order binomial guidance system

2 五階最優(yōu)制導律理論推導

2.1 最優(yōu)制導律推導過程

制導系統(tǒng)模型如圖2所示，系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為:

即:

式中，F為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;G為輸入控制矩陣。該狀態(tài)空間向量方程在末制導時刻的解為:

根據式(10)可得到表征導彈與目標碰撞時刻脫靶量y(tF)的表達式，簡化表述如下:

考慮到現代反導戰(zhàn)爭中目標的大機動飛行對導彈的需用過載要求不斷提高，高精度制導對導彈脫靶量也有很高的要求，設計制導律的首要考慮就是實現脫靶量為零，其次就是使用最少的燃料來實現第一個要求。

對于大氣層外飛行的導彈，通過側向發(fā)動機來實現導彈的機動運動，此時導彈需要充足的燃料來實現機動，進而控制導彈實現大氣層外的高精度攔截。通常情況下，用側向轉移速度ΔV來衡量導彈機動過程所需燃料的多少，ΔV又可進一步轉化為指令加速度:

由此可見，對達到零脫靶量使用燃料最少的限制，可歸結為對攔截彈需用過載的限制。由于積分在數學運算上比較復雜，一般情況下選取對nC的平方進行積分來代替直接求取ΔV。綜上，本文選取以 達到最小為約束條件來實現零脫靶量，即受限于最小的

當y(tF)=0時，由式(12)得:

由Schwartz不等式可得:

即:

根據Schwartz不等式的性質知，當且僅當nC(t)=kph2(t－t)時，等號成立，即取最小值。此

F時下式成立:

令x=tgo=tF－t，tgo表示剩余飛行時間。易求得:

將式(19)～式(21)帶入式(18)，即可得到考慮動力學滯后的最優(yōu)制導律為:

2.2 最優(yōu)制導律簡化分析

根據式(22)和式(23)可知，如果只考慮一階動力學滯后環(huán)節(jié)，即 x4=x5=0，且，此時五階最優(yōu)制導律可簡化為考慮一階動力學環(huán)節(jié)的最優(yōu)制導律，即:

如果不考慮高階系統(tǒng)動力學滯后，認為制導系統(tǒng)動力學響應速率可以無限快，即視等效彈體時間常數T無限趨近于零，那么有q→∞。此時，由式(22)和式(23)可得 N'→3，且

由此可見，考慮高階系統(tǒng)動力學滯后環(huán)節(jié)得到的最優(yōu)制導律式(22)退化為不考慮動力學滯后的經典的增強型比例導引律。此時如果目標不進行任何形式的機動，最優(yōu)制導律就是有效導航比為3的經典比例導引律。

2.3 剩余飛行時間估算改進

末制導過程中剩余飛行時間估計誤差較大，會導致制導精度嚴重降低，甚至會造成導彈脫靶。文獻［9-10］中給出一種常見的補償后剩余飛行時間的方法。由式(23)可知，剩余飛行時間直接影響到有效導航比N'，本文越過對剩余飛行時間的補償而直接補償有效導航比N'，通過反復驗證，得到不同補償值情況下脫靶量y(tF)的大小，如表1所示。

表1 不同補償值情況下脫靶量的大小Table 1 Miss distance of different compensation cases

根據表1，為實現高精度制導，取N^'=N'+1，N^'為補償后的有效導航比。

3 仿真結果及分析

本文仿真過程中考慮了對攔截彈過載能力的限制，在圖2的基礎上對基本制導回路引入過載飽和使之變成非線性制導系統(tǒng)。

仿真初始條件:末制導飛行時間tF=10 s，彈目接近速度VC=1 220 m/s，等效彈體時間常數T=1 s，目標機動過載nT=6，最大可用過載nCmax=6，9。

圖3～圖8分別為增強型比例導引律(APN)和一階最優(yōu)制導律(OPG1)在最大可用過載nCmax分別為6和9時與五階最優(yōu)制導律(OPG5)關于脫靶量和側向轉移速度的對比曲線。圖中，APN取有效導航比N'=4。

圖3和圖4為nCmax=6，當導彈機動能力與目標機動過載相等時，一旦考慮制導系統(tǒng)動力學特性，無論是APN和OPG都會導致攔截彈不同程度脫靶，這意味著要想實現直接碰撞需要攔截彈具備高于目標的機動能力。

圖3 APN與OPG5脫靶量對比Fig.3 Miss comparison for APN and OPG5

圖4 OPG1與OPG5脫靶量對比Fig.4 Miss comparison for OPG1 and OPG5

圖5 和圖6為nCmax=9時APN和OPG1與OPG5脫靶量的對比曲線。可以看出，APN在不考慮動力學特性情況下可以很快實現脫靶量為零;當考慮動力學特性后，隨著模型的細化，APN制導精度逐漸降低。OPG1應用于一階滯后系統(tǒng)制導精度較高，而應用于本文的五階動力學系統(tǒng)后幾乎不能實現對目標直接撞擊。本文所介紹的OPG5雖然在末制導時間較短時脫靶量較大，但是當7 s后可以實現零脫靶量的目標，制導精度明顯高于APN和OPG1。

圖5 APN與OPG5脫靶量對比Fig.5 Miss comparison for APN and OPG5

圖6 OPG1與OPG5脫靶量對比Fig.6 Miss comparison for OPG1 and OPG5

圖7 和圖8為nCmax=9時采用APN與OPG5導彈實現攔截所需側向轉移速度ΔV的大小。可以看出，在考慮制導系統(tǒng)動力學特性后，本文所述制導律OPG5能以較低的側向轉移速度實現對目標的精確撞擊。

圖7 APN與OPG5側向轉移速度對比Fig.7 Lateral divert comparison for APN and OPG5

圖8 OPG1與OPG5側向轉移速度對比Fig.8 Lateral divert comparison for OPG1 and OPG5

4 結束語

本文根據最優(yōu)控制理論，給出了考慮五階動力學滯后環(huán)節(jié)的最優(yōu)制導律詳細的推導過程。并與增強型比例導引律和一階最優(yōu)制導律進行了比較，給出了三種制導律在目標常值機動情況下脫靶量和側向轉移速度曲線。五階最優(yōu)制導律有效地降低了制導系統(tǒng)動力學特性對脫靶量的影響，同時，減小了攔截彈對側向轉移速度的需求。當導彈過載能力受到限制時，五階最優(yōu)制導律能在較短的末制導飛行時間內實現零脫靶量的要求。但是，本文所介紹的五階最優(yōu)制導律在工程使用上還有待進一步驗證，如何獲取精確的目標機動過載信息以及怎樣精確計算剩余飛行時間，仍需進行深入研究。

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