時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局同步的滑?？刂品椒?/h1>

2014-12-23 07:14:42蔡國(guó)梁姜?jiǎng)偾?/span>

江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)訂閱 2014年3期 收藏

關(guān)鍵詞：時(shí)滯滑模全局

蔡國(guó)梁，姚 琴，2，姜?jiǎng)偾?/p>

(1.江蘇大學(xué)非線(xiàn)性科學(xué)研究中心，江蘇鎮(zhèn)江212013;2.江蘇物聯(lián)網(wǎng)研究發(fā)展中心，江蘇無(wú)錫224000)

1988 年，Leon O.Chua和 Yang Lin［1］提出了細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如今細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已漸漸發(fā)展成為自然科學(xué)的一門(mén)新的學(xué)科分支.1992年，在Chua和Roska描述了具有時(shí)間延遲的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之后，時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)取得了巨大發(fā)展，并逐漸成為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域里非常重要的分支.近年來(lái)，時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別和信號(hào)傳輸.尤其是隨著生物科學(xué)的迅猛發(fā)展，如今時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還擴(kuò)展到信號(hào)分析、聯(lián)想記憶和細(xì)胞模擬等方面.眾所周知，時(shí)間延遲會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定、分叉或者振動(dòng).因此，時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)分析就顯得尤為重要.許多關(guān)于細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有時(shí)滯獨(dú)立與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性［2-6］都被得到了證明，這些證明主要是基于Razumikhin技術(shù)、Lyapunov泛函和線(xiàn)性矩陣不等式等方法，而運(yùn)用滑?？刂品椒ǖ奈墨I(xiàn)不多見(jiàn).

近年來(lái)，滑模變結(jié)構(gòu)控制方法［7］因其所具有的優(yōu)良特性而受到越來(lái)越多的重視.該方法通過(guò)自行設(shè)計(jì)所需的滑模面和等效控制律，能快速響應(yīng)輸入的變換，而對(duì)參數(shù)變換和擾動(dòng)不敏感，具有很好的魯棒性，且物理制作簡(jiǎn)單.滑模變結(jié)構(gòu)控制方法逐漸引起了學(xué)者們的重視，其最大優(yōu)點(diǎn)是滑動(dòng)模態(tài)對(duì)加在系統(tǒng)上的干擾和系統(tǒng)的攝動(dòng)具有完全的自適應(yīng)性，而且系統(tǒng)狀態(tài)一旦進(jìn)入滑模運(yùn)動(dòng)，便快速地收斂到控制目標(biāo)，為時(shí)滯系統(tǒng)、不確定性系統(tǒng)的魯棒性設(shè)計(jì)提供了一種有效途徑，尤其是對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)具有良好的控制效果.在文獻(xiàn)［8］中，作者研究了具有時(shí)間延遲的異結(jié)構(gòu)混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題，考慮了系統(tǒng)具有復(fù)雜參數(shù)的情況，并且用滑模控制方法證明了相關(guān)結(jié)論.文獻(xiàn)［9］成功利用滑?？刂品椒?，考慮了具有多重時(shí)滯分布不對(duì)稱(chēng)Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局同步問(wèn)題.文獻(xiàn)［10］應(yīng)用滑?？刂品椒ㄑ芯苛司哂谢旌蠒r(shí)滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題.仿真實(shí)例最終也充分證明了滑模控制方法的有效性.

文中將用改進(jìn)的滑?？刂品椒▉?lái)研究具有多時(shí)滯和分布時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局同步問(wèn)題，時(shí)滯獨(dú)立和時(shí)滯相關(guān)的情況都將被考慮到.

1 模型描述與原理

文獻(xiàn)［11］考慮了具有多時(shí)滯和分布時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)特性，利用 Lyapunov函數(shù)和Young不等式技術(shù)，研究了如下網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性，其模型為

或者簡(jiǎn)寫(xiě)為

式中:xi(t)=［xi1(t)，xi2(t)，…，xin(t)］T∈Rn是第i個(gè)細(xì)胞神經(jīng)節(jié)點(diǎn)在時(shí)間t的狀態(tài)向量;D=(di)n×n表示各細(xì)胞神經(jīng)節(jié)點(diǎn)的自反饋;A=(aij)n×n是無(wú)時(shí)滯狀態(tài)細(xì)胞神經(jīng)節(jié)點(diǎn)的連接系數(shù)矩陣;Bj=(bij)n×1是具有多時(shí)滯狀態(tài)細(xì)胞神經(jīng)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)連接系數(shù)矩陣;激活函數(shù)f(xi)=0.5(|xi+1|+|xi-1|)是分段線(xiàn)性函數(shù)，且有界;τij(t)是多時(shí)滯，并且滿(mǎn)足1-˙τj≤1;Cj=(cij)n×1是分布時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)節(jié)點(diǎn)的連接權(quán)系數(shù);I=［I1，I2，…，In］T是外部常值輸入;核系數(shù)Kij:［0，∞)→［0，∞)在［0，∞)上分段連續(xù)并且滿(mǎn)足:

假定系統(tǒng)(1)的實(shí)際輸出同時(shí)取決于具有多時(shí)滯和分布時(shí)滯的狀態(tài)向量，滿(mǎn)足如下形式:

式中:z(t)∈Rm;E，M，Q∈Rm×n為已知常數(shù)矩陣.

假定系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，則響應(yīng)系統(tǒng)可以描述為

或者簡(jiǎn)寫(xiě)為

式中:y(t)∈Rn是響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u(t)是待定的滑?？刂破?

定義誤差為e(t)=x(t)-y(t)，下面的工作就是要設(shè)計(jì)一個(gè)合理的控制器，使得:當(dāng)t→∞時(shí)，‖e(t)‖=‖x(t)-y(t)‖→0.系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(5)的誤差系統(tǒng)為

可以得到

為文中證明需要，引用如下引理，該引理有別于文獻(xiàn)［8］-［10］中關(guān)于激活函數(shù)的假設(shè).

引理1［12］?x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］T，

y(t)=［y1(t)，y2(t)，…，yn(t)］T∈ Rn，存在正定矩陣P∈Rn×n，使得如下不等式成立:

利用引理不難得到下面的命題:

命題1 ?x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］T，y(t)=［y1(t)，y2(t)，…，yn(t)］T∈Rn，?Q為常數(shù)矩陣，滿(mǎn)足如下不等式:

證明 由引理1，有:

取P=I，可得

證畢.

2 滑?？刂圃O(shè)計(jì)

滑模控制設(shè)計(jì)的基本思想是:對(duì)于系統(tǒng)(2)，選取適當(dāng)?shù)幕？刂破魇沟?(i)滑動(dòng)模態(tài)是全局穩(wěn)定的;(ii)系統(tǒng)(2)的狀態(tài)軌跡全局達(dá)到滑模面并且持續(xù)保持在該滑模面上.

為了充分發(fā)揮實(shí)際輸出值z(mì)(t)的作用，設(shè)計(jì)如下的滑模面:

其中矩陣K∈Rm×n待定.由方程(6)可以得到:

把式(8)代入式(7)，可以得到:

式中e(0)是誤差系統(tǒng)(6)的初始值.

由滑?？刂评碚摽芍?，當(dāng)誤差系統(tǒng)達(dá)到滑模面后，滑模控制器是一個(gè)極強(qiáng)的非線(xiàn)性輸入，不利于分析.為使得分析更簡(jiǎn)單，用一個(gè)連續(xù)的等價(jià)輸入來(lái)代替切換輸入.當(dāng)誤差系統(tǒng)(6)的狀態(tài)軌跡進(jìn)入滑動(dòng)面時(shí)，S(t)=0并且(t)=0.于是，得到如下等價(jià)的滑?？刂破?

把式(9)代入式(6)，可以得到如下滑動(dòng)模態(tài):

研究系統(tǒng)(10)的穩(wěn)定性，分別考慮系統(tǒng)(10)在時(shí)滯獨(dú)立與時(shí)滯相關(guān)的情況下，全局穩(wěn)定的條件.有如下定理:

定理1 對(duì)于給定 τj＞0(j=1，2，…，n)，滑動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)(10)是全局穩(wěn)定的，如果下列條件之一成立:

1)(時(shí)滯獨(dú)立)存在實(shí)矩陣P=PT＞0，H1j=，若

式中*為對(duì)稱(chēng)矩陣，并且

2)(時(shí)滯相關(guān))存在實(shí)矩陣P=PT＞0，H1j=H1jT＞0，H2j=H2jT＞0，H3j=H3jT＞0，R=RT，并且r＞0，若

式中τj是時(shí)滯，矩陣K可分別由式(11)和式(12)得到，并且

計(jì)算式(13)沿著系統(tǒng)(10)的導(dǎo)數(shù)，得到:

證明 首先證明系統(tǒng)(10)在條件(i)下全局穩(wěn)定.設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù):V1(t)=V11(t)+V12(t)+V13(t)+V14(t)，其中:

由命題1，得到:

此時(shí)，取u=t-s，得

于是

同理可得

于是得到:

選擇合適的矩陣K，再由式(11)，得

因此，在系統(tǒng)時(shí)滯獨(dú)立的情況下，滑動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)(10)是全局穩(wěn)定的.

對(duì)于條件(ii)，文中設(shè)計(jì)如下的Lyapunov函數(shù):V2(t)=V11(t)+V12(t)+V13(t)+V14(t)+V15(t)，式中V11(t)，V12(t)，V13(t)，V14(t)與(13)中各項(xiàng)一致，并且

把式(15)-(19)代入系統(tǒng)(10)，得

選擇合適的矩陣K，再由式(12)得

因此，在系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)情況下，滑動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)(10)是全局穩(wěn)定的.

定理1考慮了系統(tǒng)(10)在時(shí)滯獨(dú)立與時(shí)滯相關(guān)條件下，系統(tǒng)都是全局穩(wěn)定的.此方法降低了保守性，在證明過(guò)程中，也運(yùn)用了引理1中的命題，并且文中結(jié)果充分保證了系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(4)的全局同步.對(duì)比文獻(xiàn)［9］，文中不僅解決了時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有多時(shí)滯的問(wèn)題，同時(shí)也完成了具有分布時(shí)滯問(wèn)題的分析.

3 到達(dá)能力分析

為了保證所設(shè)計(jì)的滑模面滿(mǎn)足達(dá)到條件，選擇合適的滑?？刂破魅缦?

定理2 考慮誤差系統(tǒng)(6)，假設(shè)滑模面由(7)給定，其中P，K，r為式(11)，(12)中合適的解，若常量θ＞0，設(shè)計(jì)如下滑?？刂破?

切換值ω(t)為

則誤差系統(tǒng)的軌跡可以全局達(dá)到滑模面S(t)=0.

證明 為了設(shè)計(jì)合理的滑?？刂破鱽?lái)使得滑模面滿(mǎn)足達(dá)到條件，由式(7)和(20)，有

考慮如下的Lyapunov函數(shù):

由式(21)得

這意味著對(duì)任何S(t)≠0，都有(t)＜0.于是，誤差系統(tǒng)(6)的軌跡全局達(dá)到滑模面并且持續(xù)保持在該平面上.因此，時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)與(4)達(dá)到全局同步.

文中設(shè)計(jì)的滑模控制器，可以視為由誤差反饋控制輸出來(lái)獲得高增益補(bǔ)償?shù)臏?zhǔn)則，用以處理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局同步問(wèn)題.并且，此方法可以應(yīng)用于其他復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

4 結(jié)論

文中研究了具有多時(shí)滯和分布時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局同步問(wèn)題.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用線(xiàn)性矩陣不等式技巧化簡(jiǎn)，用改進(jìn)的滑模控制方法解決了系統(tǒng)的全局同步問(wèn)題.定理1得到了誤差系統(tǒng)在時(shí)滯獨(dú)立與時(shí)滯相關(guān)情況下全局穩(wěn)定的充分條件.定理2設(shè)計(jì)的滑?？刂破鞅ＷC了誤差系統(tǒng)的軌跡全局達(dá)到滑模面并且保持在該滑模面上，進(jìn)而得到了具有多時(shí)滯和分布時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局同步.文中結(jié)果更具一般性且能更好地適應(yīng)實(shí)際應(yīng)用.

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