基于偏微分方程與邊緣檢測的圖像去噪算法

張 帆

（河南工程學(xué)院 計算機科學(xué)與工程系，河南 鄭州450053）

0 引 言

目前圖像去噪的方法有很多種，傳統(tǒng)的均值濾波、中值濾波等一些比較典型的空域去噪方法［1，2］，基于小波的去噪方法［3］。而近20年來，基于偏微分方程 （PDE）的方法在圖像去噪中也得到了廣泛的應(yīng)用［4］。Perona和Malik［5］首次提出了經(jīng)典的各向異性擴散P－M 模型，該模型由一個關(guān)于圖像梯度模值的擴散函數(shù)控制圖像的擴散程度，使圖像在梯度模值小的區(qū)域進行大規(guī)模地擴散，在梯度模值小的區(qū)域行小規(guī)模地擴散。自P－M 模型的提出，出現(xiàn)了大量的基于偏微分方程的各向異性擴散的圖像去噪方法研究［6－9］?；诙A偏微分方程的擴散模型可以達到很好的去噪效果，但是由二階偏微分方程處理得到的結(jié)果圖像中會產(chǎn)生很明顯的階梯效應(yīng)。該現(xiàn)象不僅會產(chǎn)生不良的視覺效果，而且會造成后續(xù)圖像處理工作中對圖像理解和分析的誤判斷。為了解決該問題，You和Kaveh首先提出了基于四階偏微分方程的Y－K 模型，該模型使圖像最終擴散為一個分段光滑的斜面，有效地避免了階梯效應(yīng)。盡管Y－K 模型不會產(chǎn)生階梯效應(yīng)，但該模型過度平滑圖像的高頻成份，包括邊緣細(xì)節(jié)，而且在結(jié)果圖中會產(chǎn)生孤立的脈沖噪聲，即所謂的 “斑點效應(yīng)”［10］。

梯度矢量場 （GVF）［11］是作為主動 輪廓模型［12，13］的 外力場提出來的，可以有效檢測圖像的輪廓邊緣。但GVF的抗噪能力很弱，因此Ghita［14］等人提出一種改進的GVF場（INGVF）邊緣檢測算法，并把INGVF 引入到P－M 模型中。雖然提出的基于INGVF 的P－M 模型能得到更好的去噪算法，但由于二階偏微分方程固有的階梯效應(yīng)，因此，本文將INGVF場引入到四階Y－K 模型中，提出了基于邊緣檢測的各向異性四階擴散模型，該模型不但消除了二階模型的階梯效應(yīng)，而且能夠使圖像在梯度方向的擴散小于在邊緣方向的擴散，從而在去除圖像噪聲的同時能更好地保留圖像的邊緣細(xì)節(jié)。實驗結(jié)果表明，新的四階PDE 模型不僅可以提高結(jié)果的峰值信噪比和平均結(jié)構(gòu)相似度，而且能更好地保持圖像的邊緣特征。

1 邊緣檢測模型和四階偏微分方程

1.1 INGVF邊緣檢測模型

INGVF是針對主動輪廓模型中的一種外力場——梯度矢量場 （GVF）做的改進。GVF是通過最小化能量方程

其中，f 是圖像的邊緣圖；μ 用來調(diào)節(jié)式中第一項和第二項作用范圍的權(quán)重。對式 （1）使用變分法得到對應(yīng)的Euler方程

其中，Δ代表拉普拉斯算子。盡管GVF可以得到較好的邊緣檢測能力，但是僅限于無噪聲或者噪聲很小的情況中。GVF場的噪聲魯棒性極低，當(dāng)圖像存在噪聲的時候，GVF模型會極大的受到噪聲影響而使檢測得到的邊緣很不準(zhǔn)確。另外GVF很難擴散到凹形區(qū)域，因此對凹形區(qū)域的邊緣檢測區(qū)域的邊緣檢測也極不準(zhǔn)確。針對這種情況，Ghita提出了一種新的GVF場，通過最小化能量方程

其中IN（I）定義為噪聲檢測算子

圖1顯示了GVF 和INGVF 在一幅噪聲圖像N（0，0，3），N（0，0，4）不同噪聲等級中的效果。

為了對比GVF 與INGVF 的效果，我們選取相同的GVF和INGVF參數(shù)：μ＝0.2，迭代次數(shù)都為80次。從圖中可以看出，INGVF可以能順利進入深度凹陷區(qū)域，對噪聲也很魯棒。

1.2 四階偏微分方程

為了得到較好的去噪效果并有效去除二階偏微分方程中出現(xiàn)的階梯效應(yīng)，You和Kaveh首先提出了基于四階偏微分方程的去噪模型。該模型的建立首先定義了一個關(guān)于圖像灰度拉普拉斯的能量函數(shù)

圖1 GVF和INGVF在噪聲圖像中效果

最小化該函數(shù)通過求解如下歐拉方程得到

該方程將圖像擴散為分段的光滑斜面，所以能有效地去除二階模型中的階梯效應(yīng)并能夠得到較好的去噪效果。但是該模型會過度平滑圖像中的邊緣，導(dǎo)致圖像的邊緣細(xì)節(jié)特征丟失。另外，在去噪過程中會在結(jié)果圖中產(chǎn)生一些孤立的脈沖噪聲，影響視覺效果。

2 基于邊緣檢測的四階擴散模型

首先，對于圖像引入其局部坐標(biāo)系 （η， ξ） ，其中η 代表梯度方向，ξ代表垂直于梯度方向，即邊緣方向。圖像的空間坐標(biāo)系 （x ，y） 與局部坐標(biāo)系 （η， ξ） 的對應(yīng)關(guān)系為

Y－K 模型是一個各向同性的擴散模型，它在梯度方向和邊緣方向進行同等程度的擴散。將INGVF 模型引入到Y(jié)－K 模型中，使得改進后的模型為各向異性擴散的模型。圖像I（x，y）在方向η和ξ 上求二階導(dǎo)數(shù)可得到

由方程 （6）和方程 （7）可以得出

因此，為了使Y－K 模型可以達到各向異性的特性，YK 模型可以改寫為

這就是本文提出的基于INGVF的各向異性擴散四階模型。由于INGVF場可以在去噪迭代之前計算出來，因此迭代求解方程（14）時只需要從圖像I中計算出單位梯度矢量，避免了計算二階導(dǎo)數(shù)Iηη所引起的誤差。該模型不僅具有各向異性的特性，而且其數(shù)值計算的穩(wěn)定性也得到了提高。

在方程 （14）中，c1和c2的選取也會影響到模型的去噪效果。當(dāng)c2＝0 時，則方程退化為原始Y－K 模型。當(dāng)c1＜c2時，會使圖像在整個梯度方向進行逆擴散，而在邊緣方向進行正向擴散，這樣進過多次的迭代后會破壞圖像的原始特征。因此，在圖像的整個區(qū)域，我們令c1＞c2，這樣可以保持圖像在整個區(qū)域都沿梯度方向和邊緣方向進行正向擴散，并保持沿著梯度方向的擴散小于沿著邊緣方向的擴散程度。從而達到保護邊緣的目的。因此，在本文中，我們?nèi)U散系數(shù)c1和c2為

可以通過調(diào)節(jié)k1，k2和m 值的大小來得到最佳的去噪效果。圖2給出了c1和c2隨梯度模的變化關(guān)系，其中，擴散系數(shù)c1和c2的參數(shù)選取為k1＝k2＝3，m＝0.5，這就決定了模型 （14）為各向異性擴散的四階濾波器。

圖2 c1 和c2 隨梯度模的變化關(guān)系

3 實驗結(jié)果

通過兩組實驗來展示模型 （14）的去噪效果和邊緣保護能力，并和Y－K 模型進行比較。模型中參數(shù)取為k1＝k2＝7，m＝0.4，模型 （14）的時間步長是0.03，迭代次數(shù)為300，Y－K 模型的時間步長是0.2，迭代次數(shù)為500。圖像去噪評價方法有很多種［15］，在本文中采用的是評價效果較好的PSNR 和MSSIM 兩種方法，PSNR 的計算公式為

MSSIM 的計算公式為

其中SSIM 是用來比較兩幅圖像的亮度，對比度和結(jié)構(gòu)的相似度，它的計算公式為

其中σx和σy代表圖像x和y的方差。σxy是x和y的協(xié)方差。C1＝ K1（ ）L2，C2＝ K2（ ）L2，其中K1＝0.01，K2＝0.03，L代表圖像灰度值的動態(tài)范圍 （灰度圖像L＝255）。計算結(jié)果的MSSIM 值越大，越接近1，代表去噪之后的圖像與原始無噪聲圖像的相似度越高，去噪效果越好；而MSSIM 值越小，則代表去噪效果較差。

圖3和圖4給出了兩個模型在Lena圖像和Boat上的結(jié)果。圖像大小均為512×512。圖3和圖4中第一行為整幅圖像的去噪結(jié)果，為了更清晰地顯示效果，我們截取了圖像中的一部分放大顯示在圖中的第二行。

圖像中的噪聲均為方差為20的零均值高斯噪聲。從圖3和圖4中均可以看到Y(jié)－K 模型的處理結(jié)果中邊緣細(xì)節(jié)很模糊，同時會有一些斑點噪聲的產(chǎn)生，整體視覺效果也較差。而經(jīng)過本文模型處理的結(jié)果中邊緣細(xì)節(jié)得到了更好地保留，比如在Lena圖像中的羽毛部分，以及Boat圖像中的字符 “LA2ORN”的邊緣都更加清晰。圖3 與圖4 的數(shù)值比較見表1。

圖3 Lena圖像實驗結(jié)果

圖4 Boat圖像實驗結(jié)果

表1 圖3、圖4的PSNR 與MSSIM 的比較

可以看出本文方法可以得到更高的峰值信噪比和平均結(jié)構(gòu)相似度。因此，從視覺效果和數(shù)值比較中都表明了本文模型比Y－K 模型具有更強的去噪效果和邊緣保護能力。

4 結(jié)束語

將邊緣檢測算法INGVF 場引入到四階Y－K 模型中，提出了基于邊緣檢測的各向異性四階偏微分方程的模型。因為INGVF場引入了噪聲監(jiān)測算子，因此具有更強的噪聲魯棒性，同時具有進入深度凹陷區(qū)域強的特點，所以提出的模型提高了抗噪聲和數(shù)值計算穩(wěn)定性。而且該模型具有各向異性擴散的特性，從而有利于保持圖像邊緣細(xì)節(jié)。與Y－K 模型相比，該模型不僅具有更好的去噪效果，而且圖像的邊緣特征保護能力也得到了提高。

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