改進(jìn)的基于位平面的圖像加密算法

徐 超，張雪鋒

（西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安710061）

0 引 言

在當(dāng)前的通信媒介中，數(shù)字圖像因其存儲方便、傳輸快捷且能給人以視覺直觀感受等優(yōu)勢已成為信息傳輸?shù)闹饕问?，并廣泛應(yīng)用于個(gè)人電子相冊、醫(yī)學(xué)圖像傳輸、軍用圖像傳輸?shù)葓龊?。但同時(shí)這也為不法分子利用網(wǎng)絡(luò)獲取未授權(quán)數(shù)據(jù)提供了渠道。圖像合法擁有者為了保護(hù)自身的利益，就需要可靠的圖像數(shù)據(jù)加密技術(shù)。也正是因?yàn)槿绱?，圖像加密技術(shù)是目前研究最為廣泛的領(lǐng)域之一。當(dāng)前圖像加密的技術(shù)可謂種類繁多，總的歸結(jié)為以下幾類：像素置亂，像素置換，以及以上兩種方法的綜合使用。每種加密方法都具有其各自優(yōu)缺點(diǎn)，近年來如文獻(xiàn) ［1］中所采用的基于位平面的圖像加密算法因其具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)被很多學(xué)者廣泛研究。

本文給出一種改進(jìn)的基于位平面的圖像加密算法，在采用文獻(xiàn) ［1］所提出算法將圖像按位面劃分并對行列分別進(jìn)行排序處理后，作為改進(jìn)，本文給出一種作用于各位平面的置亂處理算法，本算法的改進(jìn)在于不僅使用了傳統(tǒng)置亂處理中的擴(kuò)散思想，并在置亂過程中引入了混沌元素以增加加密算法的密鑰空間。其基本思路為將各位平面等分為4份，然后將每個(gè)部分的值分別采用固定的方法擴(kuò)散到整個(gè)位平面中去，同時(shí)定義出4 個(gè)集合與4 種排序方法，引入混沌序列后用加入的混沌元素來控制擴(kuò)散排序方法。相比于文獻(xiàn) ［1］中對各位平面采用貓臉變換，本文所采用的算法在密鑰空間上具有較強(qiáng)的優(yōu)勢，具有較強(qiáng)的抗窮舉攻擊能力，以此使得窮舉攻擊理論上不再可能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法具有較好的抗統(tǒng)計(jì)攻擊和窮舉攻擊的能力，同時(shí)具有較強(qiáng)的抗剪切攻擊的能力。

1 算法基礎(chǔ)

1.1 混沌系統(tǒng)

1.1.1 Logistic映射

由于混沌序列的一些特性，使得其很適合來被用作序列加密。到目前為止，已經(jīng)有很多種混沌系統(tǒng)被人們所發(fā)現(xiàn)，這里首先描述一下Logistic混沌系統(tǒng)的形式。其標(biāo)準(zhǔn)形式見式 （1）

其中，當(dāng)0＜μ ＜4 時(shí)，x0∈［0，1］，μ ∈（3.5699456，4］時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，生成的序列具有對初始值和參數(shù)敏感的特性，適合用來做序列加密的序列生成。

1.1.2 Chebyshev映射

與Logistic映射類似，Chebyshev映射具有以下形式

其中，當(dāng)xn∈［－1，1］且K ＞2時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，同樣可被用來進(jìn)行序列加密。

1.1.3 Arnold變換

Arnold變換是V.J.Arnold在研究環(huán)面上的自態(tài)時(shí)提出的，俗稱貓映射。為了將其方便地使用到圖像加密中并且保留其一些有用的特性如混合性質(zhì)和對初始參數(shù)敏感的性質(zhì)，常常在使用前對其進(jìn)行離散化處理，經(jīng)處理后的貓映射表達(dá)式見式 （3）

其中，N 為正方形圖像的長或?qū)挘鴓 和q 則可以作為加密密鑰來保存，mod N 表示對N 取余數(shù)。貓映射為混沌映射，它具有非常典型的產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)特性：拉伸和折疊，除此之外它還有可逆性和周期性，由于貓映射的混沌運(yùn)動(dòng)的特性，使它比較適合于二維數(shù)字圖像的置亂處理。

1.2 圖像加密的基本流程

引言中已經(jīng)提到當(dāng)前常用圖像加密算法主要分為3類，一些傳統(tǒng)的如貓映射，面包師變換等均屬于像素置亂加密算法。由于單純置亂處理僅對圖像各點(diǎn)像素的位置進(jìn)行保密規(guī)則的置亂處理而并不改變其像素值因此有較低運(yùn)算復(fù)雜性的優(yōu)勢，但是其缺點(diǎn)也是很明顯的，歸結(jié)為一下3類：

（1）由于像素置亂處理并不改變各點(diǎn)像素值，因此其并不改變原始圖像的直方圖信息，因此在抵抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊時(shí)其效果不好；

（2）由于傳統(tǒng)置亂算法的特性所決定，其具有周期性的特點(diǎn)，即對圖像迭代使用該置亂算法后會(huì)在固定輪次后得到原始圖像；

（3）傳統(tǒng)像素置亂算法密鑰空間不足，如貓映射中密鑰p 和q 均為整形數(shù)類型，其抗窮舉攻擊的能力較弱。

作為彌補(bǔ)以上所述不足，往往將像素置換處理配合置亂處理來進(jìn)行加密。由于像素置換處理能改變各點(diǎn)的像素值，且能夠配合置亂處理來克服以上所提到的3 種不足，因此在加密處理中被廣泛的使用。目前一些常見的置換處理基本思路為由密鑰控制來生成若干序列 （包括偽隨機(jī)序列和混沌序列等），并由這些序列通過與原始像素值進(jìn)行XOR，ADD 等操作來改變各點(diǎn)的像素值。然而，由于傳統(tǒng)像素置換處理所采用的操作特性，其對計(jì)算機(jī)操作而言是一個(gè)很耗時(shí)的過程。時(shí)間復(fù)雜度也是對一個(gè)加密算法的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，為了克服傳統(tǒng)置換處理的一些缺陷，文獻(xiàn) ［1］提出了一種基于位平面的像素置換算法，該算法包括兩個(gè)部分，即對原始圖像擴(kuò)展后得到的位平面分別進(jìn)行行和列的排序操作以及排序完后再分開為8個(gè)位平面和分別對各位平面進(jìn)行的保積混沌映射置亂處理。第一部分的大概步驟如下：

步驟1 通過密鑰控制來生成一組混沌序列 （文獻(xiàn) ［1］中使用Chebyshev映射），并去掉其前面若干項(xiàng)記為X。

步驟2 將所得到的混沌序列按大小進(jìn)行升序排列，得到一組新的序列記為Y。

步驟3 將開始得到的序列X 中的確定數(shù)目的項(xiàng)與原始圖像擴(kuò)散后的位平面的行一一關(guān)聯(lián)，并將各行按照對應(yīng)的屬于序列X 中的各項(xiàng)在重新排序后的序列Y 中所處的位置關(guān)系進(jìn)行重新排序。

步驟4 對位平面的各列也同樣按照上述方法通過另一個(gè)混沌序列的8＊N 項(xiàng)來控制進(jìn)行排序，N 為原始圖像像素的列數(shù)。

文獻(xiàn) ［1］中加密算法的第二步對各層進(jìn)行保積混沌映射變換主要采用上節(jié)所介紹到的貓映射變換，通過8組各不相同的密鑰來控制貓映射變換對各層位平面進(jìn)行置亂處理。

由于本節(jié)開始已經(jīng)分析到，傳統(tǒng)的貓映射變換具有固有的缺點(diǎn)，為了克服其在圖像置亂處理操作中密鑰空間較小以及具有較小周期的缺陷，本文給出一種改進(jìn)的置亂方法，將其替代貓映射變換應(yīng)用到文獻(xiàn) ［1］加密算法的第二步中。

1.3 改進(jìn)的置亂算法

本文以圖像分塊置亂為基本思想，給出一種改進(jìn)的算法，為傳統(tǒng)置亂操作加入了混沌序列元素以改善其性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所給出置亂算法較傳統(tǒng)如貓映射變換和面包師變換等算法具有更大的密鑰空間及更好的加密效果。作為改進(jìn)，在不改變傳統(tǒng)算法中分塊，穿插和擴(kuò)散的總體思路的基礎(chǔ)上，可以采用以下辦法，即每輪都對分塊擴(kuò)散后的點(diǎn)進(jìn)行不同的排序方法，如圖1所示。

圖1 4種排序方法

為了增加密鑰空間以及讓算法具有更好的加密效果，可以先將排序后的每一個(gè)位平面的按照圖2分割為4等份后按照所處位置進(jìn)行擴(kuò)散，擴(kuò)散后的點(diǎn)采用何種排序方法可以由一個(gè)特定的混沌序列來控制，具體控制方法為：生成一個(gè)混沌序列，獲取從某一項(xiàng)開始的4個(gè)項(xiàng)，這4個(gè)項(xiàng)分別與該位平面的4個(gè)等分相對應(yīng)，定義4個(gè)等大小的集合，將這4個(gè)混沌序列值判定到4個(gè)等大小的集合內(nèi)，該4個(gè)集合又與圖1中提到的4種排序方法相對應(yīng)，位平面每輪擴(kuò)散后采用的排序方法為與其相擴(kuò)散前所處位置對應(yīng)的混沌序列所判定到的那個(gè)集合相關(guān)聯(lián)的那個(gè)排序方法。直到將位平面中所有像素進(jìn)行按規(guī)則擴(kuò)散及排序后開始第二輪置亂，使用混沌序列中第一輪置亂所使用的4個(gè)項(xiàng)之后的連續(xù)4個(gè)項(xiàng)做為參數(shù)，與第一輪置亂后的位平面再劃分的4等份一一關(guān)聯(lián)，同樣適用第一輪置亂的方法判定后置亂，以此方法迭代置亂各位平面。

集合劃分法的基本思路為：每次迭代置亂將選取Logistic混沌序列中上輪置亂所使用的序列值的之后連續(xù)4項(xiàng)乘以256后取整，即可將其劃分到以下4個(gè)集合中的某一個(gè)。

進(jìn)行排序處理后的位平面的分割及擴(kuò)散方法如圖2所示，框圖代表整個(gè)位平面。

圖2 分割及擴(kuò)散方法

對每一個(gè)位平面的置亂算法的具體步驟如下：

步驟1 利用Logistic混沌系統(tǒng)生成一個(gè)混沌序列，由加密者控制選取該混沌序列中的某一項(xiàng)開始的4個(gè)連續(xù)值設(shè)為a（1），a（2），a（2），a（4），作為第一輪置亂使用。

步驟2 如式 （4）劃分4個(gè)集合，將這4個(gè)集合與圖1中的4種排序方法相關(guān)聯(lián)。如A 與方法一項(xiàng)關(guān)聯(lián)，B與方法二項(xiàng)關(guān)聯(lián)等。

步驟3 將該輪置亂所用的4個(gè)混沌值乘以256以后劃分到式 （4）所示4個(gè)集合中。

步驟4 如圖2所示方法，將上一輪置亂后的位平面分為4個(gè)等份，分別記為f1（x，y），f2（x，y），f3（x，y），f4（x，y），與本輪置亂所用混沌序列的4 個(gè)項(xiàng)一一關(guān)聯(lián)起來，如a（1）關(guān)聯(lián)于f（1）1（x，y），a（2）關(guān)聯(lián)于f（1）2（x，y），等。

步驟5 將該位平面進(jìn)行擴(kuò)散及排序，每一塊的擴(kuò)散方法如圖2所示，排序方法由該點(diǎn)所處位置與步驟4所述相關(guān)聯(lián)的混沌值來決定，該混沌值處于式 （4）中的哪一個(gè)集合，就對該點(diǎn)采用步驟2中所述該集合所相關(guān)聯(lián)的方法來排序。直到整個(gè)位平面上的點(diǎn)都進(jìn)行移位為止。

步驟6 生成本輪置亂所用混沌序列值之后的連續(xù)4個(gè)混沌值，重復(fù)步驟3到步驟5的過程直到加密者設(shè)定的迭代次數(shù)。

該算法相應(yīng)解密過程是加密過程的逆過程，同樣需要定義集合與引入混沌序列元素，這里就不再詳細(xì)講述。

2 安全性分析

一個(gè)加密算法的好壞主要是從其一些性能上得以分析，本節(jié)給出一些對出幾個(gè)關(guān)于圖像加密算法的優(yōu)劣的評定方法，對本文給出的改進(jìn)算法的性能進(jìn)行討論。

2.1 密鑰空間分析

所謂密鑰空間就是指所有可以被用做各個(gè)密鑰來進(jìn)行加／解密的數(shù)字的空間。一個(gè)好的加密算法，其為了保證有足夠的抗強(qiáng)行攻擊的能力，其密鑰空間一定要足夠大。

分析本文所給出的算法的密鑰空間，可以看出其包含兩個(gè)方面的密鑰：①位平面排序過程中所采用的兩個(gè)混沌序列的初始值和參數(shù)。②對各層位平面進(jìn)行置亂處理時(shí)采用的混沌序列的初始值和參數(shù)。若按照文獻(xiàn) ［1］中所述方法在位平面排序過程中采用Chebyshev map.來生成混沌序列，分別控制對行和列進(jìn)行排序，參照式 （2），兩個(gè)混沌序列則需要兩個(gè)初始值x0和y0，以及兩個(gè)參數(shù)k和v 來進(jìn)行控制，其4個(gè)值均為浮點(diǎn)型。同時(shí)，在對排序后各位平面進(jìn)行置亂操作中，分別對各層使用不同參數(shù)與初始值的Logistic序列。參照式 （1），每一個(gè)Logistic序列包括μ 和初始值x0兩個(gè)參數(shù)來控制生成。8個(gè)位平面則包含8＊2個(gè)浮點(diǎn)型數(shù)字可以來作為密鑰。同時(shí)根據(jù)需要，每一個(gè)混沌序列生成后從哪一位開始選取也可以作為一個(gè)整形密鑰來，每一個(gè)位平面進(jìn)行置亂處理時(shí)的迭代次數(shù)也是可以作為一個(gè)整形密鑰來輔助使用，以加強(qiáng)整體加密算法的抗攻擊能力。相比較于文獻(xiàn) ［1］中對各平面采用貓臉

變換時(shí)為整形密鑰，本文所給出算法具有更強(qiáng)密鑰空間，因此具有更強(qiáng)抵抗攻擊能力。

2.2 統(tǒng)計(jì)分析

在上一章的分析中已經(jīng)提到，為了能夠抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊，一個(gè)好的加密算法必須具有足夠的魯棒性來面對各種形式的基于統(tǒng)計(jì)理論的攻擊方法。本節(jié)我們將從直方圖，相鄰像素相關(guān)性以及信息熵3個(gè)方面對本文所給算法的抵抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊的能力進(jìn)行分析。

在接下來的實(shí)驗(yàn)中，我們分別將基于混沌序列的位平面排序時(shí)使用的兩個(gè)Chebyshev映射的初始值和參數(shù)分別標(biāo)記為x0和y0以及k和v，同時(shí)將排序操作后的8個(gè)位平面在置亂處理時(shí)分別采用的8個(gè)Logistic映射的初始值和參數(shù)分別記為x10，x20，x30，x40，x50，x60，x70，x80以及μ1，μ2，μ3，μ4，μ5，μ6，μ7，μ8。（最低一位的平面對應(yīng)x10和μ1，第二低位的平面對應(yīng)使用x20和μ2，以此類推）。最后將位平面置亂時(shí)的統(tǒng)一迭代次數(shù)記為M。

基于以上分析，我們按照表1～表3中的參數(shù)使用本文所給加密算法對原始圖像進(jìn)行加密。

表1 Logistic映射的初始值

表2 Logistics映射的參數(shù)

表3 Chebyshev映射初始值和參數(shù)

2.2.1 直方圖

對于灰度圖像，直方圖就是該圖像中所有像素點(diǎn)的像素值的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。攻擊者可以通過對加密圖像的直方圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方式獲取明文圖像的相關(guān)信息，因此，一個(gè)好的加密算法必須使得加密圖像的直方圖相比原始圖像的直方圖發(fā)生較大的改變。

在使用表1～表3中參數(shù)進(jìn)行直方圖實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 直方圖分析

圖3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在采用本文所給出的加密算法后加密圖像的直方圖較加密前有了較大的改變，僅從加密后的圖像中很難獲取原始圖像的有用信息，而且加密后的圖像的直方圖相比于待加密圖像的直方圖更加接近于均勻分布，無法從加密后圖像當(dāng)中獲取任何有效的統(tǒng)計(jì)信息。綜上所述，本加密算法具有較好的抗統(tǒng)計(jì)分析的安全性能。

2.2.2 相鄰像素相關(guān)性

由于所有的圖像都攜帶有視覺內(nèi)容，其相鄰像素的灰度值一定存在很高的相關(guān)性，這種相鄰包括水平相鄰，垂直相鄰以及對稱軸相鄰。在對圖像的這一項(xiàng)屬性進(jìn)行定量分析的時(shí)候，往往使用式 （5）

通過式 （5），我們隨機(jī)選取1000組相鄰點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算分析可以得到加密前后圖像相鄰像素值的相關(guān)系數(shù)見表4。

表4 相鄰像素相關(guān)系數(shù)

以下我們用統(tǒng)計(jì)圖像來分別展示原始圖像和加密圖像的相鄰像素值的相關(guān)性，這里只選取垂直相鄰像素來做以展示，如圖4所示。

圖4 垂直相鄰像素相關(guān)性

通過以上實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)和圖像可見，本文所給出加密算法能夠較好地改變原始圖像相鄰像素間的相關(guān)性，因此在此方面具有較好的加密效果。

2.2.3 信息熵

在信息論中，信息熵被用來作為一個(gè)極其重要的屬性來描述信息的不可預(yù)見性。為了方便統(tǒng)計(jì)信息熵，常使用以式 （6）

式中：si——每一個(gè)可能的取值，P（si）——可能取si的概率，N——可能取值的總數(shù)。經(jīng)過計(jì)算后得到原始圖像及加密圖像的信息熵見表5。

表5 原始圖像及加密圖像信息熵

對于本實(shí)驗(yàn)中采用的灰度值為256 的原始圖像，其最理想的信息熵的值應(yīng)該為8，使用本文給出加密算法所得到的信息熵很接近最理想值?？梢姳舅惴ň哂休^強(qiáng)的抵抗信息熵攻擊的能力。

2.3 密鑰敏感性

一個(gè)好的加密算法應(yīng)該對密鑰有良好的敏感性，具體說來，其表現(xiàn)為，當(dāng)解密密鑰即使非常接近于正確加密密鑰時(shí)，解密圖像也與原始圖像具有很大的差別，以確保該算法具有抗暴力攻擊的能力。為了對本文所給出的加密算法的密鑰敏感性做以評估，在對排序后的8個(gè)位平面采用表1～表3中所示數(shù)據(jù)分別加密后，我們將每一個(gè)位平面上某一個(gè)密鑰做微小改動(dòng) （其它的不變）進(jìn)行錯(cuò)誤解密 （具體數(shù)據(jù)改動(dòng)見表6），然后將錯(cuò)誤解密位平面與對應(yīng)的排序后位平面進(jìn)行異或運(yùn)算，最后統(tǒng)計(jì)其不相同點(diǎn)的比例，結(jié)果見表7。

表6 錯(cuò)誤密鑰值

表7 錯(cuò)誤解密相差比例

如表7中可以看出，對于每一個(gè)位平面，只要在解置亂過程中某一密鑰發(fā)生微小改變，錯(cuò)誤解密位平面將會(huì)與原始位平面各點(diǎn)的值發(fā)生較大差錯(cuò)，通過對兩個(gè)不相關(guān)二值圖像進(jìn)行同樣分析可發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)50%已屬于不相關(guān)，因此該位平面置亂方法具有較好的密鑰敏感性。

2.4 抗剪切攻擊

由于本文所給出加密算法中的位平面置亂環(huán)節(jié)的基本思想是將各位平面分塊后穿插組合再多次迭代，使得本來相鄰很遠(yuǎn)的點(diǎn)有機(jī)會(huì)變?yōu)猷徑c(diǎn)，同時(shí)把相鄰的點(diǎn)分散開來，這樣就使得加密后的圖像具有一定的抗剪切攻擊的能力。

為了驗(yàn)證本文所給出加密算法的抗剪切能力，以下實(shí)驗(yàn)?zāi)M加密后圖像被非法獲取者剪切攻擊，在合法獲取者得到剪切后的加密圖像后用正確的密鑰解密圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 剪切14%以后的恢復(fù)效果

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，圖5為加密圖像被攻擊者進(jìn)行剪切攻擊掉一定比例后用正確密鑰解密所得圖像，所得圖像具有較好的恢復(fù)效果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本加密算法具有較好的抗剪切攻擊能力。

3 結(jié)束語

本文給出一種改進(jìn)的圖像加密算法。參照文獻(xiàn) ［1］中加密算法基于位平面加密的主體思路及結(jié)構(gòu)，作為改進(jìn)，將其對位平面的處理時(shí)采用了一種改進(jìn)的置亂算法，該種圖像置亂算法與傳統(tǒng)的貓臉變換等算法相比較，在密鑰空間方面具有較大改進(jìn)，同時(shí)具有一定的抗剪切攻擊能力。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文所給出加密算法具有較好像素置換效果，加密后的圖像較原始圖像直方圖有了較大改變。另一方面本算法具有較大的密鑰空間，并且對密鑰具有較強(qiáng)的敏感性。同時(shí)由于加密算法中采用改進(jìn)的像素置亂算法所具有的擴(kuò)散穿插作用，使得算法具有了一定的抗剪切攻擊的能力。

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