模糊系統建模方法及其在微生物發(fā)酵中的應用

周 頔，孫 俊

（1.江南大學 數字媒體學院，江蘇 無錫214122；2.江南大學 物聯網工程學院，江蘇 無錫214122）

0 引 言

在實際的微生物發(fā)酵工程中，經常需要根據現有的發(fā)酵結果來預測其它不同實驗條件下相關微生物的產量。從節(jié)約成本的角度來說，最理想的方法應該是通過建立該種微生物發(fā)酵的模型來仿真整個發(fā)酵的過程，而不是通過不斷投入人力、物力、時間做真實的測試實驗。因為微生物發(fā)酵過程往往需要例如時間、溫度、Ph值、以及多種反應物的共同參與，也就是說建立起來的應該是一種具有多輸入變量的發(fā)酵模型。而輸入變量數量越多，對模型建立提出的難度要求就越高。

自適應模糊推理系統 （ANFIS）［1］，是結合了模糊控制與神經網絡形成的一種智能控制方法。這種方法基于T－S模糊模型［2，3］而建，用神經網絡模擬并求解模糊系統中的模糊化、模糊推理和反模糊化3 個基本過程。因此，ANFIS實際是用神經網絡的方法來完成模糊系統的功能。正因為ANFIS這樣的特點，使之既可以利用神經網絡的學習機制自動從輸入輸出數據中提取規(guī)則，又可以兼具有模糊系統清晰的語言表達能力。

為了進一步提高ANFIS建模的精度，并使之能應用到微生物發(fā)酵仿真中，本文將混合聚類算法與具有量子行為的粒子群算法引入傳統的ANFIS 建模過程中：在ANFIS系統的前件參數識別部分，采用混合型模糊聚類算法對輸入空間進行劃分，每個聚類分布都擬合為高斯函數，從而可以得到對應的初始隸屬度函數參數；通過具有量子行為的粒子群算法與最小二乘法相結合的策略迭代求解并優(yōu)化整個ANFIS的前件及后件參數，直至獲得符合精度要求的模糊系統模型。采用混合聚類算法的目的在于克服各種單一聚類算法［4－7］中需要事前指定聚類數目、聚類效果依賴聚類中心初始值等缺點。

1 核心算法

1.1 ANFIS

傳統的具有式 （1）、式 （2）兩條模糊規(guī)則的ANFIS，由圖1可見，其結構共分五層。

圖1 ANFIS結構

第一層：隸屬度函數層。該層的輸入x，y 為精確輸入值，輸出O1為隸屬度

三角函數、高斯函數等往往是這一層中隸屬度函數的較好選擇。這些函數中的參數 （例如高斯函數中的c和σ）即被稱為ANFIS的前件參數θ1

第二層：規(guī)則的權重計算層。該層輸入為隸屬度，輸出O2為隸屬度的乘積

第三層：規(guī)則的權重歸一化層

第四層：模糊規(guī)則輸出層。該層輸入為第一層中的輸入x，y，和第三層中的歸一化權重

wi，輸出為每條模糊規(guī)則的加權結果O4

這一層中的參數 ｛qi，pi，ri，｝ （i＝1，2）即被稱為ANFIS的后件參數θ2。

第五層：系統輸出層。該層是一個求和操作，輸出O5為精確值

因此，整個ANFIS系統建模的過程就是識別θ1和θ2的過程。通常來說，假設前件參數已確定為θ′1，式 （7）也可重寫為后件參數θ2的函數

此時若有一定規(guī)模的系統輸入輸出值，就可以很容易地根據最小二乘法得到系統后件參數θ2的最佳估計值θ′2

那么建立起來的ANFIS系統的實際輸出為

則對于一個輸入數據數目為n 的ANFIS系統來說，其實際輸出與目標輸出之間的差距可用均方根差E 來衡量

因此，ANFIS建模過程往往就是通過不斷嘗試確定前件參數θ2，并用最小二乘法確定此時的后件參數θ2，以及系統的均方根差E，然后通過調整θ1達到不斷降低E 直至E 達到一定容錯范圍之內的過程。

1.2 具有量子行為的粒子群算法QPSO

QPSO 算 法［8，9］是 一 種 將 傳 統 粒 子 群 算 法PSO 的 發(fā) 生環(huán)境轉移到量子空間中，從而使每個粒子的行為都符合量子動力學的高性能粒子群類優(yōu)化算法。QPSO 算法由波函數來描述粒子位置，并由薛定諤方程來決定粒子的狀態(tài)變化。每個粒子的位置迭代更新方程為

其中u～U（0，1），mbest為所有個體最優(yōu)位置的平均值，對于D 維空間來說，即

而qi則為局部吸引子

其中gbest為所有粒子的當前全局最優(yōu)位置，φ ～U（0，1）。因此β是QPSO 算法中唯一的參數，被稱為收縮擴張因子，用來控制整個算法的收斂速度。文獻 ［10］證明，當β＜1.782時，算法可保證收斂。因為QPSO 算法通過借鑒群體中所有粒子的位置建立了分布概率模型，然后通過隨機采樣完成對群體的更新，所以QPSO 的算法性能大大優(yōu)于PSO 算 法及很多遺 傳算法［11，12］。

1.3 混合聚類算法

為解決傳統模糊聚類算法FCM 中聚類數目需要事先指定、算法性能強烈依賴與初始聚類中心、聚類過程容易陷入局部最優(yōu)值等缺陷，本文將減法聚類的思想融入傳統FCM 算法中，將減法聚類算法確定出初始聚類個數和初始的聚類中心，作為初始值代入FCM 算法最終得到精確的聚類中心。這樣做，使提出的混合聚類算法既不要事先指定聚類數目及聚類中心，又具有較高的聚類精度。

提出的混合聚類算法以下述式 （16）為目標函數，模糊聚類的過程就是最小化Jm的過程

具體的混合聚類算法步驟流程如圖2所示。

圖2 混合聚類算法流程

2 具有量子行為模糊系統建模方法HQB－ANFIS

為了避免網格劃分輸入空間造成的維數災難問題，也同時為了減少整個ANFIS 模糊系統建模過程中的人工干預、并提高精度，本文提出一種融合混合聚類和QPSO 算法的新型ANFIS 模糊系統建模方法 （hybrid quantum behaved－ANFIS，HQB－ANFIS）：采用1.3節(jié)中提出的混合聚類算法對輸入空間進行自動劃分，每一個聚類通過高斯函數的擬合產生一個隸屬度函數，即完成ANFIS系統的前件參數——隸屬度函數參數的初始識別，然后通過QPSO 算法與最小二乘法優(yōu)化前件參數，直至達到停機條件，最終得到ANFIS的前件及后件參數。

用QPSO 實現ANFIS系統的參數識別過程中，每個粒子的維數即為ANFIS系統前件參數的個數，每一維都代表了ANFIS的一個前件參數，式 （12）即為整個算法的目標函數。

基于QPSO 算法的ANFIS參數優(yōu)化流程如下所示：

步驟1 初始化：粒子維數等于前件參數的個數，第i個粒子的位置設為Xi（t），迭代計數t＝1；

步驟2 對每一個粒子，根據式 （3）～式 （5）計算所有規(guī)則的權重wj和歸一化權重，（1＜＝j＜＝l，l為規(guī)則數），并由式 （9）根據輸入數據集和得出系數矩陣A；再由式 （10）計算出后件參數的最佳估計值θ′2；最后由式 （11）、式 （12）計算出此時ANFIS 的均方根差E，作為該粒子的當前目標函數值f（Xi（t））；

步驟3 根據式 （14）計算粒子群的平均最優(yōu)位置；

步驟4 判斷是否更新粒子的個體最優(yōu)位置Pi（t）：若f ［Xi（t）］＜f ［Pi（t－1）］，則Pi（t）＝Xi（t）；否則Pi（t）＝Pi（t－1）；

步驟5 計算群體當前的全局最優(yōu)位置Pg（t），g＝min｛f ［Pi（t）］｝；

步驟6 判斷是否更新群體的全局最優(yōu)位置Pg（t）：若f ［Pg（t）］＜f ［Pi（t－1）］，則Pg（t）＝Pg（t）；否則Pg（t）＝Pg（t－1）；

步驟7 根據式 （12）的進化公式計算粒子新的位置；

步驟8 重復步驟2～步驟7，直至達到一定的循環(huán)結束條件。

3 實 驗

為了驗證本文提出的HQB－ANFIS算法的有效性，將算法應用到時間序列的預測問題、以及抗壞血酸2－葡萄糖苷 （AA－2G）的發(fā)酵生產模型預測中，與傳統的基于標準網格劃分的BP－ANFIS、基于網格劃分和粒子群優(yōu)化算法改進的ANFIS （PSO－ANFIS）、以及這2 種算法在本文提出的混合聚類方法下的算法HBP－ANFIS、HPSO－ANFIS，還有采用標準網格劃分的QB－ANFIS算法進行對比實驗。在所有實驗中，QPSO 和PSO 中的粒子群個數均為50，QPSO 算法的α值從1遞減到0.5，PSO 算法中的參數ω＝0.7，c1＝1.5，c2＝1.5。所有算法中的迭代次數均取為2000次。所有實驗中的隸屬度函數均定為高斯函數。

3.1 Machey－Glass混沌時間序列預測

Machey－Glass時間序列由如下差分延遲方程產生

需要用時間序列中t時刻前的值來預測未來t＋p 內點的值。為了獲得每一個時間點的序列值，可用四階龍格－庫塔法求解，初始條件為x （0）＝1.2，τ＝1.7。按如下格式抽取1000個點作為系統的輸入數據： ［x（t－18），x（t－12），x（t－6），x（t）；x（t＋6）］。其中118≤t≤1117。前500組數據用于訓練，后500組用于測試。與非線性系統建模實驗，三組采用混合聚類的實驗中，判斷減法聚類是否停止的參數s均取為0.5，得到的聚類個數為10類。其它使用網格劃分的實驗中，對每個變量均取2 個隸屬度函數，即該系統有16條模糊規(guī)則。

對比實驗結果見表1，RMSEtrn為訓練均方誤差，RMSEchk為檢測均方根。從表1中可見，所有采用了混合聚類方法的算法都在只需要10條模糊規(guī)則的前提下，比對應的需要16條模糊規(guī)則的采用了標準網格劃分方法的算法能達到更高的精度。說明混合聚類算法對輸入變量較多的模糊系統識別十分有效。圖3為系統在x （124）～x （1124）的實際輸出與模糊系統在HQB－ANFIS算法下的輸出，從圖可見，兩者基本完全吻合。

表1 Machey－Glass時序預測實驗結果

圖3 Machey－Glass時序預測實驗的實際輸出與HQB－ANFIS方法下的系統輸出對比

3.2 抗壞血酸2－葡萄糖苷生產發(fā)酵模型中的應用

將提出的HQB－ANFIS模糊系統建模方法應用到抗壞血酸2－葡萄糖苷 （AA－2G）的發(fā)酵生產模型預測中?？箟难?－葡萄糖苷的產量與5個關鍵的輸入變量有關：時間、溫度、pH 值、vc濃度、環(huán)糊精濃度。表一是實際發(fā)酵過程中，50次不同實驗輸入變量下AA－2G 的產量，可以看到當這5個輸入變量中的任何一個有微小不同時也會影響最終的AA－2G 產量。

根據表2 中的50 組數據，分別采用HBP－ANFIS、HPSO－ANFIS和HQB－ANFIS建立抗壞血酸2－葡萄糖苷的生產模型。將反應的時間、溫度、pH 值、vc濃度、環(huán)糊精濃度這5個變量定為系統的輸入：x1、x2、x3、x4、x5，并將AA－2G的產量定為y。HQB－ANFIS中混合聚類算法步驟中參數s的取值為0.5，產生了15個聚類，根據一個聚類產生一條模糊規(guī)則的系統辨識方法，即可得到模糊系統的15條模糊規(guī)則。所有算法迭代次數均為2000 次。所有實驗中的隸屬度函數均定為高斯函數。

表2 50組實際試驗的AA－2G 產量數據

3種算法建立出的模糊系統的輸出預測值、以及與真實值之間的誤差列于表3中，（－＊代表－ANFIS，例如：HBP－＊即表示HBP－ANFIS）?？梢悦黠@看出HQB－ANFIS模糊系統的精確度最高，誤差最小。圖4為HQB－ANFIS模糊系統對這50組數據的輸出誤差。從圖4 （a）以及圖4 （b）中均可看出，除了對序號為12、16、24、31、35這5個樣本的預測誤差較大外，其余45個樣本的誤差均在10－4左右，對實際工業(yè)微生物發(fā)酵生產中，完全可以忽略不計。

表3 3種對比算法得出的產量預測值及誤差

圖4 HQB－ANFIS模糊系統輸出誤差

4 結束語

本文提出了HQB－ANFIS算法，采用一種混合型模糊聚類算法來對模糊系統的輸入空間進行劃分，每一個聚類通過高斯函數的擬合產生一個隸屬度函數，即完成ANFIS系統的前件參數——隸屬度函數參數的初始識別，然后通過具有量子行為的粒子群算法QPSO 與最小二乘法優(yōu)化前件參數，直至達到停機條件，最終得到ANFIS的前件及后件參數，從而得到滿意的模糊系統模型。并將HQB－ANFIS算法應用到實際微生物發(fā)酵模型的建立中，通過50組實驗數據的對比表明，提出的HQB－ANFIS與傳統的基于BP算法或PSO 算法的ANFIS模型建立方法相比，具有更高的精確度，達到了實際應用的需求。

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