圓筒旋轉(zhuǎn)水流單顆粒受差異旋轉(zhuǎn)慣性力數(shù)值模擬

張雪寧，牧振偉

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊830052)

從物理學(xué)角度考慮，差異旋轉(zhuǎn)慣性力與離心力一樣，都不是真實存在的力，而是慣性作用在非慣性系中的體現(xiàn)，同時也是在慣性參考系中引入的慣性力。只要存在差異旋轉(zhuǎn)就存在慣性力，對地球而言，旋轉(zhuǎn)運動受力為科氏力。地球是一個大尺度旋轉(zhuǎn)體，因地球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)力，稱之為地轉(zhuǎn)科氏力，地轉(zhuǎn)科氏力可以視為角速度等于地轉(zhuǎn)角速度的差異旋轉(zhuǎn)慣性力，是差異旋轉(zhuǎn)慣性力中的一個特例。沈曉陽、蘭州、牧振偉[1]等通過對排沙漏斗慣性力的分析推導(dǎo)出科氏慣性力與彎道水體壓差的關(guān)系式，闡述了科氏慣性力對形成徑向橫坡降、環(huán)流和強螺旋排沙渦流的作用和意義。張志雁、牧振偉、楊力行[2]進行了垂直和水平螺旋管道內(nèi)單顆粒懸浮運動試驗，分析顆粒受力規(guī)律，發(fā)現(xiàn)顆粒在懸浮運動過程中主要是受有效重力、阻力和旋轉(zhuǎn)科氏力的作用，旋轉(zhuǎn)科氏力在受力分析中不可忽略。張志雁[3]進而又對小尺度旋轉(zhuǎn)多相流進行了研究，采用模型試驗和數(shù)值模擬方法，得到了科氏力在各種工況下的量值及它與其他力之間的比值關(guān)系。馬明祥[4]在差異旋轉(zhuǎn)運動中慣性力作用的試驗研究中得到單顆粒在圓筒旋轉(zhuǎn)水流中運動物理模型試驗得到一定的證實，當固體單顆粒在旋轉(zhuǎn)圓筒水流中做離心運動時，受離心力比差異旋轉(zhuǎn)慣性力在量值上大一個數(shù)量級;而單顆粒在圓筒先旋轉(zhuǎn)后停止水流中做向心運動時，其所受差異旋轉(zhuǎn)慣性力比離心力在量值上大一個數(shù)量級，證實了差異旋轉(zhuǎn)慣性力在旋轉(zhuǎn)水流體系中不可被忽略。由于在物理模型實驗中不容易調(diào)節(jié)準確轉(zhuǎn)速，物理模型尺寸難以十分精確，難以得到不同轉(zhuǎn)速下不同力的對比關(guān)系，因此，僅通過物理試驗方法研究單顆粒在圓筒旋轉(zhuǎn)水流中的運動特性遠遠不夠，必須采用計算機數(shù)值模擬對單顆粒在圓筒內(nèi)運動情況進行模擬研究，探討圓筒內(nèi)單顆粒的運動特性與受力規(guī)律。

1 DPM模型選擇

DPM模型[5－6]原理是連續(xù)相離散相分別描述，連續(xù)相用求解N－S方程得到速度、壓力、溫度場。模擬方法采用歐拉－拉格朗日方法。粒子運動是按拉格朗日方法描述，連續(xù)流體計算按歐拉方法。離散相通過追蹤顆粒(可以是固體顆粒、氣泡、液滴等)運動，使用牛頓第二定律求解各項受力。離散相和連續(xù)相的相互影響(耦合)通過相間交換物質(zhì)動量和能量實現(xiàn)。DPM因為采用這個原理，只適合計算離散相體積分數(shù)小于10%的問題，而本文所要模擬的是單顆粒在旋轉(zhuǎn)圓盤水流中的運動，單顆粒遠遠小于總體積的10%，適用DPM模型條件，計算顆粒運動時每個時間步將顆粒位置更新一次。離散相控制方程如下:

式中:up為單顆粒的速度矢量;ρp為單顆粒的密度;ρ為水的質(zhì)量，為附加質(zhì)量力。

1.1 旋轉(zhuǎn)兩相流中顆粒受力分析

固體單顆粒在旋轉(zhuǎn)圓筒水流中的運動比較復(fù)雜，其二維情況下的運動方程符合牛頓第二定律，由于二維條件的限制，只考慮阻力FZ、附加質(zhì)量力FJ、離心力FL、差異旋轉(zhuǎn)慣性力

(1)單顆粒隨流體在流動過程中由于方向改變或速度改變所受到的流體阻力為:

式中:CD為阻力系數(shù)為單顆粒對連續(xù)相流體的速度分量;rp為單顆粒的半徑。固體單顆粒雷諾數(shù)ReD的定義為:

式中:d為顆粒的直徑;μ為連續(xù)相流體的動力粘滯系數(shù)。25℃ 時水的動力粘度μ =0.839 ×10－3(Pa·s)，水溫統(tǒng)一設(shè)置為25℃。根據(jù)單顆粒雷諾數(shù)計算結(jié)果可知 ReD在1～260范圍內(nèi)，其中B=lgReD，所以ReD與CD適用于表1中的關(guān)系式。

表1 ReD與CD關(guān)系表達式

(2)單顆粒所受質(zhì)量力FJ，當顆粒在流體中作加速運動時，由于流體有慣性，對顆粒產(chǎn)生的反作用力。其表達式為:

式中:uw為水流瞬時速度分量，Vd為單顆粒的體積。

(3)單顆粒在旋轉(zhuǎn)水流體系中所受離心力Fl為:

式中:m為固體單顆粒的質(zhì)量;vl為固體單顆粒的徑向速度;rl為顆粒質(zhì)心到參考原點的距離。

(4)單顆粒在旋轉(zhuǎn)系中所受差異旋轉(zhuǎn)慣性力FY為:

式中:ω為旋轉(zhuǎn)角速度;vd為固體單顆粒相對于連續(xù)相流體的徑向相對速度。

1.2 差異旋轉(zhuǎn)慣性力與離心力的力學(xué)分析

當固體單顆粒在旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中運動時，其徑向受力主要是差異旋轉(zhuǎn)慣性力和離心力[7－8]。從二者定義可知有差異旋轉(zhuǎn)慣性力存在必然有離心力的存在，因為只要物體做旋轉(zhuǎn)流動就會產(chǎn)生離心力，在此基礎(chǔ)上顆粒和旋轉(zhuǎn)體系之間有一定的速度差就能產(chǎn)生差異旋轉(zhuǎn)慣性力。因此可采用動力學(xué)方程來解決固體單顆粒運動的問題。

2 幾何模型建立

2.1 模擬方法與工況

運用ANSYS FLUENT建立數(shù)學(xué)模擬模型，采用DPM離散相模型捕獲單顆粒的運動軌跡，計算出顆粒在不同位置的運動速度，分析單顆粒在旋轉(zhuǎn)水流體系中的受力。根據(jù)單顆粒在水平轉(zhuǎn)動圓筒水流內(nèi)運動實驗[4]，即物理模型試驗中設(shè)置的工況，數(shù)值模擬采用相同工況的計算(見表2)。

表2 模擬工況

2.2 幾何建模和網(wǎng)格生成

按照固體單顆粒在圓筒旋轉(zhuǎn)水流中運動的試驗裝置，旋轉(zhuǎn)圓筒模型的直徑 d=0.14 m，采用 GAMBIT 13.0建成二維模型，劃分四邊形網(wǎng)格，如圖1所示。離散相顆粒在旋轉(zhuǎn)多相流中受力情況很復(fù)雜，由于研究的重點是離心力與差異旋轉(zhuǎn)慣性力等平面受力作用，此在豎向上的力忽略不計。

圖1 模型計算網(wǎng)格

2.3 邊界條件設(shè)置及求解方法

模擬采用單顆粒動力學(xué)模型，速度耦合方式采用SIMPLE算法，初始化流場在湍流 k－e模型、能量方程、DO模型穩(wěn)態(tài)計算收斂后，運用滑移網(wǎng)格技術(shù)計算非定常流場。流場初始化之后開啟DPM模型，設(shè)定單顆粒的入射位置及單顆粒相關(guān)參數(shù)。

2.3.1 液相及固壁的邊界條件

根據(jù)動力學(xué)邊界條件，當固體壁面不可滲透時，流體作用在固體壁面上任意一點處的應(yīng)力，與固體壁面在同一點處對流體作用的應(yīng)力大小相等、方向相反。液相設(shè)置溫度為 T=25℃，粘度為 n=0.001003 kg·m/s。

2.3.2 顆粒相的邊界條件

捕捉粒子運動需要用到非定常計算。當液相初始化流場計算完成之后，改為非定常計算并開啟DPM模型。如果捕捉不到粒子，調(diào)整步長，同時調(diào)整粒子入射參數(shù)。顆粒相邊界條件相關(guān)參數(shù)見表3。而為了驗證物理實驗結(jié)論，必須設(shè)置與物理模型實驗相同的參數(shù)，即密度為 ρp=937 kg/m3和質(zhì)量為m=0.03 g，固體單顆粒采用木質(zhì)顆粒，其直徑 d=0.004 m。

表3 顆粒相邊界條件

3 計算結(jié)果及分析

由于DPM模型中顆粒相速度很難直接讀出，所以剛捕捉到單顆粒時即對該單顆粒設(shè)置監(jiān)控，計算每迭代一定步數(shù)存儲一次單顆粒運動軌跡及相關(guān)參數(shù)。計算完成后再通過Animations Playback功能導(dǎo)出單顆粒運動軌跡動畫及連續(xù)動畫圖片。圖2為旋轉(zhuǎn)水流流場在計算完成后X－Y方向速度矢量圖，由于單顆粒在 X=0.05 m射入，而后隨水流運動，在0.05 m處速度矢量發(fā)生變化。模擬顆粒軌跡圖如圖3和圖4所示，每種工況列一組圖。工況一和工況二各測點速度見表4～表7。各工況受力計算見圖5和圖6。

圖2 流場計算完成后X－Y方向的速度矢量分布圖

圖3 單顆粒在ω=15.20 r/min做離心運動軌跡圖

圖4 單顆粒在ω=15.20 r/min做向心運動軌跡圖

表4 工況一ω=15.20 r/min情況下單顆粒運動參數(shù)

表5 工況一ω=21.42 r/min情況下單顆粒運動參數(shù)

表6 工況二ω=15.20 r/min情況下單顆粒運動參數(shù)

表7 工況二ω=21.42 r/min情況下單顆粒運動參數(shù)

圖5 工況一單顆粒離心運動受力情況

圖6 工況二單顆粒向心運動受力圖

根據(jù)表4和表5數(shù)據(jù)，在工況一不同轉(zhuǎn)動類型下，同一時間點單顆粒在 ω=15.20 r/min比 ω=21.42 r/min離心趨勢明顯，同一工況下隨著時間變化單顆粒的雷諾數(shù)越來越小。根據(jù)單顆粒運動動畫記錄圖3及圖5中單顆粒四項對比，當圓筒持續(xù)旋轉(zhuǎn)時，單顆粒均做離心運動，其所受的差異旋轉(zhuǎn)慣性力在數(shù)值上均小于離心力。由此推斷當單顆粒在持續(xù)旋轉(zhuǎn)圓筒中運動時，差異旋轉(zhuǎn)慣性力小于離心力時，單顆粒做離心運動。由圖5亦知流體阻力所占比例最大，其次是離心力、差異旋轉(zhuǎn)慣性力，虛假質(zhì)量力最小且趨近于0。流體阻力和離心力相差一個數(shù)量級，離心力與差異旋轉(zhuǎn)慣性力相差一個數(shù)量級，但是相差不大。

根據(jù)表6和表7數(shù)據(jù)，在工況二不同轉(zhuǎn)動類型下，單顆粒同一時間點ω=21.42 r/min比ω=15.20 r/min向心趨勢明顯，同一工況下隨著時間變化單顆粒的雷諾數(shù)越來越小。根據(jù)單顆粒運動動畫記錄圖4和圖6中單顆粒受力對比，當圓筒先旋轉(zhuǎn)后靜止時，單顆粒在圓筒中運動趨于向心，其所受差異旋轉(zhuǎn)慣性力在數(shù)值上均大于離心力。由此推斷當單顆粒在圓筒停止轉(zhuǎn)動后，差異旋轉(zhuǎn)慣性力大于離心力，單顆粒做向心運動。從圖6中亦可以看出流體阻力在數(shù)值上依然最大，差異旋轉(zhuǎn)慣性力、離心力其次，虛假質(zhì)量力最小且趨近于0。流體阻力在數(shù)值上大于差異旋轉(zhuǎn)慣性力一個數(shù)量級，差異旋轉(zhuǎn)慣性力在數(shù)值比離心力大一個數(shù)量級。

綜合兩種工況可知，差異旋轉(zhuǎn)慣性力在流體運動中起著很重要的作用，影響旋轉(zhuǎn)水流中物體的運動情況，這對于研究旋轉(zhuǎn)體系中物體的受力有著很重要的影響，在進行類似于這樣的研究時差異旋轉(zhuǎn)慣性力不可被忽略。

4 結(jié)語

采用DPM模型模擬單顆粒在旋轉(zhuǎn)圓筒水流中的運動，監(jiān)測單顆粒運動軌跡及各項參數(shù)，并錄制單顆粒運動動畫，運用單顆粒動力學(xué)模型對單顆粒運動進行受力分析，得到以下主要結(jié)論。

(1)所建模型可以描述單顆粒在旋轉(zhuǎn)水流中的運動情況，記錄單顆粒軌跡動畫，由軌跡可知旋轉(zhuǎn)體系中水流速度越小，單顆粒發(fā)生離心運動趨勢越快越明顯。

(2)在同一種模擬條件下，單顆粒在運動過程中所受到的流體阻力隨旋轉(zhuǎn)體系中水流速度的增大而呈減小的趨勢，差異旋轉(zhuǎn)慣性力及離心力則隨旋轉(zhuǎn)體系中水流速度增大而增大，虛假質(zhì)量力的值則很小，趨近于0，相較而言虛假質(zhì)量力可忽略不計。

(3)兩種工況中單顆粒所受差異旋轉(zhuǎn)慣性在數(shù)值上遠大于其運動所受虛假質(zhì)量力，與離心力在數(shù)值上相差不大，比流體阻力小一個數(shù)量級，對于旋轉(zhuǎn)體系中物體的運動趨勢影響較大。因此推斷在旋轉(zhuǎn)水流中，差異旋轉(zhuǎn)慣性力對旋轉(zhuǎn)水流中單顆粒運動趨勢有一定的影響。

(4)綜合動畫記錄及數(shù)據(jù)計算可知當單顆粒做離心運動時，其所受離心力在數(shù)值上比差異旋轉(zhuǎn)慣性力大1個數(shù)量級或同一個數(shù)量級但數(shù)值較大;當單顆粒做向心運動時，其所受離心力在數(shù)值上比差異旋轉(zhuǎn)慣性力小1個數(shù)量級或同一數(shù)量級但數(shù)值較大。當單顆粒在持續(xù)旋轉(zhuǎn)水流中運動時，做離心運動;當固體單顆粒在先旋轉(zhuǎn)后停止的水流中運動時，做向心運動。

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