S型曲線加減速方法的研究

馮瑞玨

（華南理工大學(xué) 廣州學(xué)院，廣東 廣州 510800）

在數(shù)控機(jī)床加工中， 為了提高數(shù)控系統(tǒng)的加工精度以及加工效率，需要對(duì)機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸的輸出進(jìn)行加減速處理，因此機(jī)床加減速控制是計(jì)算機(jī)數(shù)字控制系統(tǒng)的重要組成部分[3]。 傳統(tǒng)的CNC 加減速方法主要有直線加減速、 指數(shù)加減速以及S 曲線加減速方法。使用直線加減速和指數(shù)加減速方法時(shí)，速度的變化相應(yīng)較快，但由于存在加速度突變從而產(chǎn)生沖擊，因此不適用于高速數(shù)控系統(tǒng)；而對(duì)于傳統(tǒng)普通的S 曲線加減速方法，其通過(guò)對(duì)加速階段以及減速階段進(jìn)行平滑處理來(lái)減少機(jī)床的沖擊， 然而其加減速階段存在突變以及加加速度并不連續(xù)， 從而使機(jī)床柔性受到限制。

為此，考慮到以上各種加減速方法的不足，本文對(duì)傳統(tǒng)S 型曲線加減速方法進(jìn)行改進(jìn)。 利用三角函數(shù)對(duì)加減速曲線的加減速段曲線進(jìn)行構(gòu)造，得到另一種加減速模式，實(shí)現(xiàn)加減速段的平滑過(guò)渡以及加加速段的連續(xù)。

1 基于三角函數(shù)構(gòu)造加減速階段的S 型曲線加減速方法

圖1 所示為基于三角函數(shù)構(gòu)造加減速階段的S 型曲線加減速方法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)S 型曲線加減速法）全過(guò)程的位置、速度、加速度以及加加速度曲線圖。 一共分為7 個(gè)階段：加加速段（區(qū)域a表示）、勻加速段（區(qū)域b 表示）、減加速段（區(qū)域c 表示）、勻速段（區(qū)域d 表示）、加減速段（區(qū)域e 表示）、勻減速段（區(qū)域f 表示）、減減速段（區(qū)域g 表示）。 在圖中，ti（i=1，2…7）為各個(gè)區(qū)域的過(guò)渡時(shí)間點(diǎn)；Vs 為起始速度，Ve 為終點(diǎn)速度，Vmax 為給定最大速度；Amax 為給定最大加速度絕對(duì)值。 由于S 型曲線加減速法的加速段和減速段相似， 因此接下來(lái)只分別對(duì)S 型曲線加減速法的加速階段和勻速階段進(jìn)行討論。

圖1 S 型曲線加減速法過(guò)程圖

1.1 加速階段

如圖1 所示，S 型曲線加減速法的加速階段由區(qū)域a、b 和c組成。 以加速度曲線為研究對(duì)象，假設(shè)加速階段的實(shí)際加速度為Aac1，利用三角函數(shù)cos 為基礎(chǔ)對(duì)區(qū)域a 進(jìn)行曲線構(gòu)造，結(jié)合待定系數(shù)法可得以下方程組：

解得：

由此可得區(qū)域a 加速度曲線函數(shù)為：

同理可得區(qū)域c 的加速度曲線函數(shù)為：

而對(duì)于區(qū)域b，由于此區(qū)域?qū)儆跈M加速段，其加速度保持為Aac1，由此得出區(qū)域b 的加速度曲線函數(shù)為：

利用公式（3）、（4）、（5）根據(jù)加速度對(duì)時(shí)間t 的微分關(guān)系，以及加速度、速度對(duì)時(shí)間t 的積分關(guān)系，可導(dǎo)出相應(yīng)的加加速度J（t）、速度V（t）和位移S（t）計(jì)算公式如下：

1.2 勻速階段

如圖1 所示，區(qū)域d 為S 型曲線加減速法的勻速階段，由于此時(shí)該區(qū)域的速度保持為Vmax， 由此可得區(qū)域d 的加加速度J（t）、加速度A（t）、速度V（t）和位移S（t）計(jì)算公式如下：

2 基于三角函數(shù)構(gòu)造加減速階段的S 型曲線加減速方法的討論

如圖1 所示，ti（i=1，2，……7）表示S 型曲線加減速各個(gè)階段的時(shí)間點(diǎn)，Ti（i=1，2，……7）表示各個(gè)階段的運(yùn)行時(shí)間。 一般情況下，S 型曲線加減速的加速階段和減速階段的加速度大小值將會(huì)被設(shè)為相同， 設(shè)Tac為加速階段運(yùn)行時(shí)間，Tde為減速階段運(yùn)行時(shí)間，根據(jù)圖1 可得出：

Tac和Tde的計(jì)算將和直線加速度方法一樣，即有：

根據(jù)加速度曲線的對(duì)稱(chēng)性，有：

對(duì)于加加速段（區(qū)域a 表示），由公式（3）可得出區(qū)域a 的加加速度曲線函數(shù)：J

由此可算出：

因此，區(qū)域a 的最大加加速度Jmax 可根據(jù)k 的相應(yīng)設(shè)定來(lái)確定。 這樣， 當(dāng)系統(tǒng)的最大給定速度Vmax、 最大給定加速度Amax 以及設(shè)定時(shí)間比例系數(shù)k 設(shè)定后，再根據(jù)具體代碼的長(zhǎng)度S、起始速度Vs 以及終止速度Ve 可確定整個(gè)S 型曲線加減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程。其中最大加速度反映了系統(tǒng)的最大運(yùn)動(dòng)能力，最大加速度放映了系統(tǒng)的最大加減速能力， 時(shí)間系數(shù)k 確定了系統(tǒng)的加加速度， 從而保證了系統(tǒng)的柔性。 當(dāng)時(shí)間系數(shù)k 設(shè)定為0 時(shí)，S型曲線加減速則退化為直線型加減速。 在實(shí)際運(yùn)用中，可以根據(jù)實(shí)際需要對(duì)時(shí)間系數(shù)k 進(jìn)行設(shè)定。

3 總結(jié)

本文對(duì)傳統(tǒng)的S 型曲線加減速法進(jìn)行了改進(jìn)， 對(duì)基于三角函數(shù)構(gòu)造加減速階段的S 型曲線加減速方法進(jìn)行了研究。 該方法計(jì)算得出的加減速曲線實(shí)現(xiàn)了平滑過(guò)渡， 速度曲線和位移曲線也保持了平滑的效果， 較好地解決了傳統(tǒng)S 型曲線加減法在加減速階段存在突變以及加加速度并不連續(xù)的問(wèn)題， 從而使得數(shù)控系統(tǒng)的柔性得到進(jìn)一步的提高， 是一種適用于高速切削的柔性加減速方法。

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