例談平移思想在初中幾何中的運用

施純長

[內(nèi)容摘要]平移是初中數(shù)學(xué)幾何變換的常用方法之一，它是圖形的一種變換，在這種變換中圖形的形狀和大小都不改變（不變性），只是改變了圖形的位置（改變性）。利用平移的不變性和改變性，對解決零散圖形的求值問題特別有效，利用平移的思想可以把復(fù)雜的問題簡單化，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在幾何問題中有著廣泛應(yīng)用，同樣也是中考的熱點。

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);平移;運用;證明

平移是將幾何圖形中的各頂點沿它們所在的一組平行線向同一方向移動相同的距離，這種幾何變換的方法叫平移變換。平移變換有如下性質(zhì)：平移后的圖形與原來圖形連結(jié)對應(yīng)點的線段平行（或在同一條直線上）且相等;對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等;對應(yīng)角相等;圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。平移變換只改變圖形的位置，而不改變圖形的大小和特征，但是它可以將線段和角平移到一個新的位置，從而把比較分散的已知條件集中到一起，使問題得以解決。平移包括以下三個方面的應(yīng)用：第一，集中分散的條件;第二，將復(fù)雜圖形變得簡單明了;第三，轉(zhuǎn)換題目的形式。下面筆者通過具體的例題來說明平移思想在初中數(shù)學(xué)中的運用。

一、平移在三角形相關(guān)題目運算和證明中的運用

1.利用平移證明角之間的關(guān)系

例：已知三角形ABC，利用平移說明∠A+∠B+∠C=180°。

分析：如圖，將AB平移到CD，并將BC延長，得到∠B=∠DCE，∠A=∠ACD，即∠A+∠B+∠C=∠ACD+∠DCE+∠ACB=180°。

2.利用平移求三角形邊長

例：如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯的表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少米？

分析：由勾股定理可知AC= =4m，將樓梯平行于BC的邊都平移到BC上，平行于AC的邊都平移到AC上，因此地毯的長度等于AC+BC=7米。

二、平移在梯形相關(guān)題目運算和證明中的運用

初中階段在學(xué)習(xí)與梯形有關(guān)的幾何證明和運算中，平移思想的運用幾乎涵蓋了大半題型，因此這也成為我們在講授與梯形有關(guān)內(nèi)容時必須重視的地方。

1.平移一腰或兩腰

平移一腰或兩腰時，注意把握以下要領(lǐng)：平移一腰，使之經(jīng)過梯形的另一個頂點或另一條腰的中點;或者同時移動兩腰使它們交于一點。

例：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

分析：過點E分別作EH∥AB、EG∥CD，分別交BC于H、G。

由于EH∥AB、AD∥BC，從而四邊形ABHE是平行四邊形，同理可得四邊形CDEG是平行四邊形，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到EH=EG，推導(dǎo)得出四邊形ABCD是等腰梯形，故∠B=∠C。

題目需要證明的幾條線段是分散的，通過平移變換可以將AB、EF、DC集中到一起。此時，各個條件都能很好地得以應(yīng)用。

2.平移對角線

平移一條對角線，使之經(jīng)過梯形的另一個頂點，構(gòu)造平行四邊形，利用有關(guān)平行線的性質(zhì)解決問題。

三、利用平移求面積

由于圖形的平移不改變圖形的形狀和大小，因此在求一些圖形的面積時，利用圖形的平移可以巧妙地將這些原本很難直接解決的數(shù)學(xué)問題變得簡單。

例：如圖a，在一個長方形的草坪上有兩條等寬且互相垂直的長方形小路（長度單位：m），那么草坪的面積為 ? ? ? ? m2。

分析：將兩條小路分別作如圖b所示的平移，則草坪的面積就是空白部分（長方形）的面積，即（50-2）×（30-2），為1344m2。如果用傳統(tǒng)方法求面積，計算過程相對繁瑣，學(xué)生容易把中間的重疊部分重復(fù)計算，從而使計算產(chǎn)生錯誤，利用平移方法求幾何圖形的面積，使圖形又變成一個矩形，計算十分方便、準(zhǔn)確。

總之，平移可以將一些復(fù)雜的問題通過簡單的平移轉(zhuǎn)換題目的形式，使題目由復(fù)雜變簡單，使題目得以解決。一些看似棘手的問題常常可以通過平移及平移的性質(zhì)獲得巧解，對于某些幾何計算題，在不改變面積的前提下，采用平移的方法適當(dāng)改變圖形的形狀或位置，可以更好地解決問題。我會在今后的教學(xué)中更加重視平移思想的滲透，讓學(xué)生更多地了解平移的使用價值。

（責(zé)任編輯 馮 璐）