一種實(shí)現(xiàn)LED均勻圓斑照明透鏡的自由曲面設(shè)計(jì)

張成亮

(合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院，安徽合肥 230009)

發(fā)光二極管(Light Emitting Diode，LED)是一種新型的綠色光源，與傳統(tǒng)光源相比，具有節(jié)能、高效、環(huán)保、性能穩(wěn)定、體積小、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)。近年來(lái)，隨著半導(dǎo)體芯片技術(shù)及封裝技術(shù)的發(fā)展，LED的發(fā)光效率得到不斷提高。2012年豐田合成在“第四屆新一代照明技術(shù)展”上公開(kāi)了170 lm/W的白色LED的產(chǎn)品化得以實(shí)現(xiàn)。在國(guó)內(nèi)LED的發(fā)光效率最高也可達(dá)到142 lm/W，遠(yuǎn)高于白熾燈。LED光源的光強(qiáng)分布為通常為朗伯型［1］，若直接用于照明，在目標(biāo)面上將呈現(xiàn)為中心強(qiáng)邊緣弱的圓形光斑，難以達(dá)到實(shí)際使用要求，這就需要對(duì)LED進(jìn)行2次配光［2］。由于LED的尺寸小，一般的芯片大小為1 mm×1 mm，所以在進(jìn)行配光時(shí)將LED視為點(diǎn)光源?？梢圆捎米杂汕嫱哥R設(shè)計(jì)的方法使LED發(fā)出的光均勻地分布在照射面上，目前常用的自由曲面設(shè)計(jì)方法［3］主要有微分方程法、劃分網(wǎng)格法、參數(shù)優(yōu)化法以及同步多曲面方法SMS(Simultaneous Multiple Surface)。參數(shù)優(yōu)化法主要依賴設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)，最終結(jié)果是經(jīng)過(guò)反復(fù)多次優(yōu)化得到的，因此不可避免地要花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間。SMS方法主要是針對(duì)擴(kuò)展光源而言的，微分方程法和劃分網(wǎng)格法是現(xiàn)有方法中較為有效的兩種方法，兩者都有各自的優(yōu)點(diǎn)。偏微分方程法獲得的自由曲面面型數(shù)據(jù)是通過(guò)求解偏微分方程得到的，無(wú)需采用試錯(cuò)法，目的性較強(qiáng)，且計(jì)算速度快，可在短時(shí)間內(nèi)得到自由曲面的面型數(shù)據(jù)，該方法要求設(shè)計(jì)人員具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以和熟練的編程能力;劃分網(wǎng)格法是根據(jù)能量守恒原理，利用光源到照明面所需光分布的映射，這種方法可以解決復(fù)雜的照度分布問(wèn)題，通過(guò)網(wǎng)格的細(xì)化來(lái)提高精確度，無(wú)需進(jìn)行誤差校驗(yàn)。本文將采用微分方程法對(duì)LED二次配光的透鏡自由曲面進(jìn)行設(shè)計(jì)。

1 LED的光源特性分析

LED光源的發(fā)光特性類似朗伯型，配光曲線可以用下面的表達(dá)式來(lái)描述

式中，φ是LED的發(fā)光方向和LED晶片平面法向之間的夾角;I0是LED法線方向的發(fā)光強(qiáng)度值。參數(shù)m由半角值 φ1/2決定，有光束角的定義，當(dāng) φ=φ1/2時(shí)，有I(φ)=I0/2，求解式(1)可得

當(dāng)m=1(φ1/2=60°)時(shí)，LED即可被視為理想朗伯體，此時(shí)LED的配光曲線為

LED發(fā)出的總光通量為

其中，φmax是LED出射光線的最大出射角，一般為90°。

2 自由曲面的構(gòu)造與求解

以光源所在位置為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示。這里透鏡的內(nèi)表面是以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心的球面，光線經(jīng)過(guò)內(nèi)表面時(shí)不改變方向，因此只需設(shè)計(jì)外表面即可。這里先考慮二維情況，以透鏡所在的xz切面為例。

Snell折反射定律的矢量形式可表示成

圖1 光源、透鏡的自由平面以及照明面在xz平面示意圖

其中，d x和d z分別是自由曲面分量在x和z方向的微分;H是光源到目標(biāo)面之間的垂直距離。

將式(6)代入式(5)可得

其中

為求解方程d z/d x=f(x，z，xd)還需附加一個(gè)條件xd=g(x，z)，由于是均勻照明故可設(shè)照度為定值E，照明目標(biāo)面的照射面積為S。因此，出射光線照到目標(biāo)面上的總光通量為

如果不考慮能量的損耗，光線傳播滿足能量守恒定律，光源發(fā)出的能量等于照明面接受的能量

圓形照明區(qū)域的半徑為R，則面積為

由式(4)、式(9)～式(11)可得

光源與z軸夾角φ內(nèi)的所有光線經(jīng)過(guò)透鏡后都照射到照明面上半徑為xd的圓形區(qū)域內(nèi)，有能量守恒定律可得

由式(12)和式(13)可得

即

其中

將式(15)～式(16)、式(8)代入式(7)進(jìn)行化簡(jiǎn)便可得到 dz/dx關(guān)于 x和 z的顯式表達(dá)式 dz/dx=f(x，z)。由于f(x，z)的表達(dá)式比較復(fù)雜，直接求解方程的解析表達(dá)式很困難，這里采用數(shù)值方法［4］進(jìn)行求解。

在這里將采用四階Runge－kutta方法［5］來(lái)求解該方程。四階經(jīng)典Runge－kutta格式為

其中，h為迭代步長(zhǎng)。

設(shè)自由曲面與z軸相交于點(diǎn)(0，0，z0)，經(jīng)過(guò)計(jì)算可得到自由曲面在xz平面的部分曲線，將得到的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周就能得到完整的自由曲面。

3 仿真與驗(yàn)證

設(shè)置光源到目標(biāo)照明面的距離為H=300 mm，照明半徑為R=500 mm，初始條件z0=5 mm。利用四階Runge－kutta方法并采用Matlab編程就可得到自由曲面在xz平面的曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。將Matlab編程得到的坐標(biāo)數(shù)據(jù)保存以擴(kuò)展名為.ibl的文件，用記事本程序打開(kāi)，并在第一行前加入如下代碼［6］:

open

arclength

begin section

begin curve

關(guān)閉記事本程序并保存。打開(kāi)Pro/E，新建實(shí)體，單擊“插入曲線”，選擇“自文件”，然后選擇坐標(biāo)系，選擇上述生成的.ibl文件，即可完成數(shù)據(jù)導(dǎo)入Pro/E擬合成一條曲線，再繞z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)即可得到自由曲面的透鏡模型，如圖2所示。

圖2 用Pro/E建立的透鏡模型

最后進(jìn)行驗(yàn)證，將此模型導(dǎo)入Tracepro，并設(shè)置好光源、透鏡材料、接受面等，選擇PMMA為透鏡材料(折射率為1.493 5)，光源用朗伯型1 mm×1 mm×1 mm的小立方體代替，這里設(shè)置1 200 000條光線進(jìn)行追跡便可得到照度分布圖，如圖3所示，光強(qiáng)曲線分布如圖4和圖5所示。

從生成的數(shù)據(jù)和圖中可得到產(chǎn)生了半徑為500 mm的圓形照明區(qū)域，光通量/發(fā)射光通量為87.261 lm，光能利用率為87.261%，照度均勻度＞90%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖所示，邊緣部分光照強(qiáng)度減小是因計(jì)算時(shí)將光源近似為點(diǎn)光源，但仿真時(shí)將光源設(shè)置為一個(gè)1 mm×1 mm×1 mm的小立方體，透鏡折射率按1.5計(jì)算，但仿真時(shí)所選材料的折射率為1.493 5，同時(shí)計(jì)算時(shí)假設(shè)點(diǎn)光源發(fā)出的所有光線都能通過(guò)自由曲面照射到照明區(qū)域，但實(shí)際上與LED晶片平面的法線夾角為90°附近的發(fā)射光線是較難通過(guò)透鏡照射到目標(biāo)照明區(qū)的［7－9］?？梢栽诜抡鏁r(shí)將光源尺寸設(shè)置得越小越好，步長(zhǎng)h設(shè)置盡可能小，同時(shí)在計(jì)算時(shí)可將透鏡折射率設(shè)置為1.493 5，從而可以得到更精確的自由曲面透鏡。

圖3 照度分布圖

圖4 極坐標(biāo)Candela分布圖

圖5 矩形Candela分布圖

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)Snell折反射定律和能量守恒定理建立了偏微分方程d z/d x=f(x，z)，利用四階Runge－kutta方法并采用Matlab編程，最終得到了透鏡在xz平面的曲線坐標(biāo)值，借助Pro/E可以得到所設(shè)計(jì)的自由曲面透鏡，最后用Tracepro對(duì)所設(shè)計(jì)的透鏡進(jìn)行了模擬驗(yàn)證，用實(shí)例仿真實(shí)現(xiàn)了LED在目標(biāo)平面的均勻照明，通過(guò)此方法可以快速有效地給LED配光。

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