相位激光測距中相位測量與誤差分析

鄒孟成

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071)

由于激光具有較好的單色性、方向性、相干性和高亮度等特點，利用激光進行測距可以實現(xiàn)高精度測量。根據(jù)測量原理的不同，激光測距系統(tǒng)可分為脈沖式激光測距儀和相位式激光測距儀兩類。脈沖式激光測距儀應(yīng)用時間較早，在有合作目標配合的情況下可以實現(xiàn)較大距離的測量。但這種方法存在測量精度低的缺點。相位式激光測距儀通過測量連續(xù)幅度調(diào)制信號在待測距離上往返傳播所產(chǎn)生的相位差，間接地測量信號傳播時間，進而確定傳輸距離。這種方法通常具有很高的精度，可以達到毫米級［1］。

1 相位法激光測距的原理

相位法測距是通過測量相位差，間接測量傳輸時間t和傳輸距離L的兩者關(guān)系［2］如下

其中

將式(2)帶入式(1)得

式中，c為光波在空氣中的傳播速度;φ為調(diào)制信號經(jīng)過L距離產(chǎn)生的相位差;f為調(diào)制信號的頻率;N為正整數(shù)，表示調(diào)制信號波長的整數(shù)倍;Δφ為不足一個周期的相位差;λ為調(diào)制信號的波長。

在式(3)中，N不能通過單一頻率的調(diào)制信號確定，在被測距離的情況下，可以確定N=0，此時

由式(4)可以看出，在調(diào)制信號頻率f一定的情況下，Δφ的精度直接影響L的精度。

在激光測距系統(tǒng)中使用單片機A/D直接測量高頻信號的相位比較困難，并且測量精度不高。為確保Δφ的精度，一般采用差頻測相的方法［2，5］，將高頻信號與一個頻率相近的信號進行混頻，可以得到一個低頻信號。對低頻信號的相位測量比較容易，所測結(jié)果的精度也較高［5］。

2 差頻信號相位測量原理

信號相位的獲取一般方法是使用離散傅里葉變換(DFT)將時域信號轉(zhuǎn)化到頻域進行分析［3，9，11］，在變換后的結(jié)果中選取特定點可以得到此離散頻率下相位的正切值。再通過反正切函數(shù)就可以得到所需頻率的相位值。此種方法還可以通過快速傅里葉變換(FFT)進行優(yōu)化，以減少運算量和計算時間［5］。

上述方法具有通用性，在不要求精度和系統(tǒng)資源充裕的環(huán)境下可以直接應(yīng)用，并且存在大量的資料指導(dǎo)設(shè)計。此方法同樣可以用于激光測距的相位檢測中，但考慮到激光測距系統(tǒng)的特點:所測信號的頻率固定，較少的系統(tǒng)資源，本文將根據(jù)以上特點對以上方法進行優(yōu)化和改進。

由于激光測距系統(tǒng)是在固定頻率f下進行相位測量，因此通過調(diào)整激光測距系統(tǒng)的抽樣頻率fs，使兩者滿足如下關(guān)系

其中，m，k0為正整數(shù);N為采樣點數(shù)。

此時頻域只有在點m，N－m處有值，其余部分為0。因此只需進行第 m 點運算［3－5］。

在激光測距系統(tǒng)中，相對于整數(shù)運算，進行浮點運算和三角函數(shù)運算需要更多的時鐘周期。因此在滿足系統(tǒng)精度的前提下，將范圍內(nèi)的正弦和余弦值進行量化［5］，并保存在程序中，需要時通過查表求得，避免重復(fù)運算。

相位的提取一般使用反正切函數(shù)，數(shù)學(xué)庫提供的反正切函數(shù)都具有較高的精度和較好的錯誤處理機制，但資源的消耗也是巨大的［6］。C標準庫中反正切函數(shù)在單片機上運行將耗費幾千個時鐘周期，并且容易導(dǎo)致堆棧溢出的錯誤。因此必須重新設(shè)計反正切函數(shù)，使其在滿足精度的情況下，消耗更少的資源。

反正切函數(shù)必須能處理(－∞，+∞)范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，利用下式可以將處理范圍縮小到［－1，1］。

反正切函數(shù)可以使用多項式逼近，包括泰勒級數(shù)，切比雪夫多項式和歐拉反正切公式［6］。為得到計算速度較快的反正切函數(shù)，必須使用收斂速度較快的多項式。泰勒級數(shù)收斂速度較慢，給定誤差ε=10－4，泰勒級數(shù)需要展開5 000項，因此泰勒級數(shù)不適合在激光測距系統(tǒng)中使用，而切比雪夫多項式和歐拉反正切公式都具有較快的收斂速度［6］。

歐拉反正切公式［7］

切比雪夫多項式［8］

圖1 切比雪夫多項式與歐拉反正切公式逼近結(jié)果對比

如圖1所示，歐拉反正切公式在絕對值接近于1時誤差顯著增大，而切比雪夫多項式在［－1，1］范圍內(nèi)誤差均＜8×10－4rad，具有更平穩(wěn)的誤差分布。同時相比于切比雪夫多項式，歐拉反正切公式需要進行更多的運算。因此，選用切比雪夫多項式作為反正切函數(shù)的實現(xiàn)是較好的選擇。根據(jù)實際需求，通過增加或減少切比雪夫多項式的次數(shù)可以控制逼近結(jié)果的精度。圖2所示為切比雪夫多項式取不同數(shù)目項進行逼近結(jié)果的對比，從圖中的對比結(jié)果可以看出，每增加一項，逼近結(jié)果的精度可以提高一個數(shù)量級。通過以上仿真結(jié)果分析可以得到如下結(jié)論:對比其他方法，使用切比雪夫多項式進行逼近，可以獲得更快的收斂速度，并且在［－1，1］范圍內(nèi)，誤差的分布更加平穩(wěn)。

圖2 切比雪夫多項式取不同項數(shù)逼近結(jié)果對比

3 差頻信號相位測量實現(xiàn)

圖3所示是相位測量的流程。在激光測距儀系統(tǒng)中A/D模塊完成對數(shù)據(jù)的采集和量化后，通過中斷調(diào)用完成離散傅里葉變換第k點值的計算。根據(jù)計算結(jié)果求得相位的正切值。

圖3 差頻信號相位測量流程圖

在激光測距過程中，信號相位是在［0，2π］連續(xù)變化的，而反正切函數(shù)的值域為，因此必須根據(jù)DFT的結(jié)果對反正切函數(shù)進行修正［10］。首先對絕對值＞1的正切值應(yīng)用式(7)或式(8)，并調(diào)用反正切函數(shù)完成對相位的計算。然后根據(jù)DFT實部和虛部的符號判斷相位所在的象限，完成對正切值的修正。使得到的相位值在［0，2π)連續(xù)變化，避免在處相位的躍變。

4 結(jié)束語

圖4為利用本文所提方法得到的相位值與理論值之間的誤差，由本方法得出的結(jié)果在不同相位值上的誤差呈現(xiàn)一種震蕩的形式，總體維持在8×10－4rad以下的水平。

圖4 仿真結(jié)果與理論值在不同相位處誤差

通過仿真驗證，利用本文所提方法在消耗較少資源的情況下，得到滿足精度需求的結(jié)果。從仿真結(jié)果看，相位的最大誤差＜8×10－4rad，在測尺為1 m的情況下，距離測量的精度可達0.8 mm，可以滿足一般情況下高精度測量。同時，使用不同測尺進行組合，可以提高測量的最大距離［1，4－5，10］。

［1］孔東.相位法激光測距儀的研究［D］.西安:西安電子科技大學(xué)，2007.

［2］徐恒梅，付永慶.相位法激光測距系統(tǒng)［J］.應(yīng)用科技，2010(6):20－22.

［3］史林，趙樹杰.數(shù)字信號處理［M］.北京:科學(xué)出版社，2011.

［4］張嘯.手持式激光測距儀的研究與設(shè)計［D］.合肥:合肥工業(yè)大學(xué)，2010.

［5］丁艷.相位法激光測距儀設(shè)計及其關(guān)鍵技術(shù)研究［D］.上海:同濟大學(xué)，2007.

［6］伍微，劉小匯，李崢嶸，等.實現(xiàn)定點DSP匯編層反正切函數(shù)的差分進化算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2005(5):926－928.

［7］魏靜，鄧勇.歐拉反正切公式的一個新證明［J］.伊犁師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2010(2):14－16.

［8］STEVEN W K.Calculating atan2(y，x)using chebyshev polynomial approximation［M］.Newyork:Mathworks Inc，2009.

［9］BOSCH T.Crosstalk analysis of 1 m to 10 m laser phase －shift range finder［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，1997，46(6):1224 －1228.

［10］SUNGUI H，JUNHWAN J，KYIHWAN P.Solving 2pi ambiguity problem of a laser scanner based on phase－shift measurement method for long distances measurement［C］.Chongqing:2012 12th International Conference on Control，Automation and Systems，2012.

［11］SUN Wenjun，SUN Jingnan，BU Wenbin，et al.New phase measurement method for laser range finder［C］.Shanghai:Proc.SPIE 7656，5th International Symposium on Advanced Optical Manufacturing and Testing Technologies，2010.