一種模擬濾波電路數(shù)字化方法

何亞杰

(西安電子科技大學(xué)CAD研究所，陜西西安 710071)

隨著信息科技的發(fā)展，信號處理得到了大幅推動，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信、自動化、航空航天等領(lǐng)域。在信號處理系統(tǒng)中，輸入信號通常含有各種噪聲和干擾。為對信號進(jìn)行準(zhǔn)確的測量和控制，必須削弱或濾除被測信號中的噪聲和干擾。一般在系統(tǒng)中可選用硬件濾波和軟件濾波。硬件濾波又分為無源濾波和有源濾波，無源濾波是通過RC濾波器或LC濾波器等模擬濾波器進(jìn)行濾波。軟件濾波也稱數(shù)字濾波，是通過一定的算法削弱噪聲的影響。硬件濾波的優(yōu)勢是不需要進(jìn)行復(fù)雜的程序處理，反應(yīng)靈敏。而軟件濾波的優(yōu)勢是不需要硬件的投入，而且可靠穩(wěn)定。

綜合兩者的優(yōu)勢，本文提出了一種以低通二階RC無源濾波電路為基準(zhǔn)，用Matlab和Visual C++設(shè)計一個具有相同功能數(shù)字濾波器的方法即模擬電路數(shù)字化方法，以濾除信號中的高頻雜波，得到了較為理想的波形。

1 模擬電路數(shù)字化方法

模擬電路數(shù)字化的過程如下，首先從硬件濾波電路出發(fā)，計算電路的傳遞函數(shù)H(s)。由于軟件濾波的信號是離散的數(shù)字信號，所以將H(s)轉(zhuǎn)換成離散域的H(z)，通過Matlab編程實現(xiàn)對信號的濾波。如果濾波效果不理想，則對傳遞函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，得到具有較理想濾波效果的H(z)。為最終用Visual C++編程實現(xiàn)，需要將H(z)反變換得時域的h(t)，與信號進(jìn)行卷積和運(yùn)算以完成濾波。經(jīng)過以上步驟，完成模擬濾波電路數(shù)字化的過程，并在Matlab和Visual C++平臺上實現(xiàn)濾波。

2 二階RC無源低通濾波電路

對于模擬電路的分析，通常采用傳遞函數(shù)的分析方法。電子電路往往是由若干個動態(tài)環(huán)節(jié)連在一起構(gòu)成一個復(fù)雜電路。對于每個具體環(huán)節(jié)來說，都有它的輸入量和輸出量，而一定輸入量的變化都會引起輸出量的變化。根據(jù)一個環(huán)節(jié)中所進(jìn)行的物理過程可以寫出微分方程，它表示了該環(huán)節(jié)輸出量和輸入量的關(guān)系。

例如RLC振蕩回路的微分方程為

輸入量與輸出量都是時間t的函數(shù)，用微分方程直接表示輸入量與輸出量時間函數(shù)之間的關(guān)系比較復(fù)雜。但利用拉氏變換把時間函數(shù)變換為s的函數(shù)以后，原函數(shù)對于時間t的微分積分就簡化為s的乘除法。

在零起始條件下，一個動態(tài)環(huán)節(jié)的輸出量的拉氏變換用X(s)表示，輸入量的拉氏變換用F(s)表示，把稱為傳遞函數(shù)。

通常信號在進(jìn)行放大之前，先對該信號進(jìn)行濾波。以低頻信號為例，使用經(jīng)典的二階RC無源濾波電路進(jìn)行濾波，電路如圖1所示。在接下來的部分將以此電路為例對模擬電路數(shù)字化方法進(jìn)行詳細(xì)的分析和講解。

圖1 二階RC無源濾波電路

計算出該電路的傳遞函數(shù)H(s)如式(2)所示。其中，b=R1C1+R1C2+R2C2，a=R1R2C1C2。

3 傳遞函數(shù)離散化

濾波器的濾波效果與R1、R2、C1和C2等參數(shù)相關(guān)，如果取值不當(dāng)會造成濾波效果不理想。對于復(fù)雜的傳遞函數(shù)，諧振頻率和帶寬不易計算，所以本文采用控制變量法。

對于多因素的問題，常常采用控制因素的方法，把多因素的問題變成多個單因素的問題。每一次只改變其中的某一個因素，而控制其余幾個因素不變，從而研究被改變的這個因素對事物的影響，分別加以研究，最后再綜合解決，這種方法叫控制變量法，被廣泛地運(yùn)用在各種科學(xué)研究之中。

得到傳遞函數(shù)后，就可以對信號進(jìn)行濾波。由于待處理的數(shù)據(jù)是數(shù)字信號，若想仿真需將頻域的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為z域的傳遞函數(shù)，即將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器有兩種方法:脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。

脈沖響應(yīng)不變法是一個穩(wěn)定的設(shè)計，主要用于設(shè)計某些要求在時域上能模仿模擬濾波器功能的數(shù)字濾波器。這種變換法的主要特點是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，即由于混疊現(xiàn)象，阻帶邊緣的衰減要比模擬濾波器稍差一些，但仍能滿足技術(shù)指標(biāo)的要求。脈沖響應(yīng)不變法要求該模擬濾波器是帶通濾波器或者低通濾波器，但這種方法在阻帶沒有起伏的情況下才有用。

雙線性變換法映射也是一種穩(wěn)定的設(shè)計，不存在混疊現(xiàn)象，對能夠變換的濾波器類型沒有限制。但這種方法也有固有缺陷:模擬頻率和數(shù)字頻率之間是非線性關(guān)系，它使得頻率的標(biāo)度彎曲，不能保持原來的模擬濾波器的相頻特性;數(shù)字的頻率響應(yīng)與模擬的頻率響應(yīng)有明顯的差別。一般情況下，可以通過頻率的預(yù)畸變進(jìn)行校正。但總體來說，雙線性變換法的仿真結(jié)果比脈沖響應(yīng)不變法更加理想。

由于脈沖響應(yīng)不變法從s平面到z平面是多值映射，會在頻域響應(yīng)產(chǎn)生混疊失真。而雙線性變換法可以把整個s平面變換到整個z平面上去，且使s的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，所以設(shè)計采用雙線性變換法［7］。

雙線性變化法的映射函數(shù)為

將該映射式(3)代入式(2)，可得拉普拉斯域的傳遞函數(shù)H(z)如式(4)所示。其中f=1/T，A=4af2+2bf+1，B=8af2－2，C=4af2－2bf+1。

調(diào)用Matlab中的Filter函數(shù)R1和R2調(diào)節(jié)參數(shù)、進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2所示。圖2(a)是未加濾波的波形，圖2(b)、圖2(c)、圖2(d)的電阻依次增大，從圖中可以看到，電阻越大，高頻分量越少。

4 時域傳遞函數(shù)

Matlab一般只用于功能仿真，而實際項目應(yīng)用，通常采用Visual C++軟件編程進(jìn)行信號控制和硬件實現(xiàn)，所以需要將Matlab仿真時使用的濾波器函數(shù)Filter轉(zhuǎn)化為C代碼實現(xiàn)。

軟件編程有時域和頻域兩種思路。由于輸入信號較為復(fù)雜不易進(jìn)行時－頻轉(zhuǎn)換，只能采用時域濾波。所以需將傳遞函數(shù)反變換到時域，對信號進(jìn)行濾波處理。

圖2 調(diào)節(jié)R濾波仿真圖

由于進(jìn)行卷積運(yùn)算時傳遞函數(shù)需要翻轉(zhuǎn)，可推出h(k)的表達(dá)式如式(7)所示

5 時域卷積濾波

卷積在通信技術(shù)和信號處理中起著重要的作用。在線性時域系統(tǒng)中，根據(jù)時間的連續(xù)性，可以分為卷積積分和卷積和。在LTI連續(xù)時間系統(tǒng)中，把激勵信號分解為一系列沖激函數(shù)，求出各種沖激函數(shù)單獨(dú)作用于系統(tǒng)時的沖激響應(yīng)，然后將這些響應(yīng)相加就得到系統(tǒng)對于該激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)。這個相加的過程表現(xiàn)為求卷積積分。在LTI離散系統(tǒng)中，可用上述方法進(jìn)行分析。由于離散信號本身是一個序列，因此，激勵信號分解為單位序列的工作就較容易完成。如果系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為已知，那么，也不難求得每個單位序列單獨(dú)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)。把這些序列相加就得到系統(tǒng)對于該激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)，這個相加的過程表現(xiàn)為求卷積和。

由于本系統(tǒng)中的信號是離散時間序列，常用的卷積和的求解方法有圖解法、對位相乘求和法、解析法和列表法等4種。一般，待處理的信號的數(shù)據(jù)量比較大，列表法不適用，所以采用解析法。

卷積與傅里葉變換有著密切的關(guān)系。利用兩個函數(shù)的傅里葉變換的乘積等于它們卷積后的傅里葉變換的性質(zhì)，能使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。本文正是采用這一點，將頻域的濾波轉(zhuǎn)化為時域濾波。

頻域相乘等效于時域卷積。編寫C程序求輸入信號和傳遞函數(shù)的卷積和。當(dāng)兩個信號為因果信號時，可以根據(jù)式(5)求卷積和。當(dāng)f1(k)的數(shù)據(jù)長度為m;f2(k)的數(shù)據(jù)長度為n(n＜m)時;需將f2(k)補(bǔ)零將長度擴(kuò)充為 m;所得 f(k)的數(shù)據(jù)長度為2m－1，注意f(m)之后的數(shù)據(jù)是以前數(shù)據(jù)效果的殘留，為無效數(shù)據(jù)可省略，最終f(k)的有效數(shù)據(jù)長度為m。

6 結(jié)果及分析

信號分別經(jīng)卷積和濾波和Filter函數(shù)濾波，將濾波后的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab比較，結(jié)果如圖3所示。由圖可見，前者在初始狀態(tài)出現(xiàn)尖峰，這是因為卷積和是在特定窗口內(nèi)時域累加的過程，會造成頭部數(shù)據(jù)和尾部數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確。雖然編寫的C卷積和濾波程序有一定的缺陷，但是整體波形一致，說明實驗獲得初步成功。

圖3 C程序時域濾波與Matlab濾波比較圖

7 結(jié)束語

提出了一種將硬件濾波電路數(shù)字化的方法，并在Matlab和Visual C++平臺上得以實現(xiàn)。與模擬濾波電路和傳統(tǒng)的數(shù)字濾波相比，不僅比傳統(tǒng)的數(shù)字濾波算法簡單快捷，而且有效防止了模擬電路中器件的寄生參數(shù)、精度、溫度等的影響，使濾波更加穩(wěn)定。

［1］邱關(guān)源.電路［M］.北京:高等教育出版社，2006.

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