基于緊束縛模型的雙層石墨烯能帶結(jié)構(gòu)

王影

摘 ?要 ?雙層石墨烯是能隙可調(diào)控的半導(dǎo)體材料，由于具有奇特的電學(xué)性質(zhì)和光學(xué)性質(zhì)，因此，此類材料有望在光電子工業(yè)引起新的革命。本文采用緊束縛模型方法，給出雙層石墨烯動(dòng)量表象的哈密頓矩陣，數(shù)值計(jì)算了能帶結(jié)構(gòu)，分析了雙層石墨烯中三種層間躍遷對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響。

關(guān)鍵詞 ?雙層石墨烯;緊束縛模型;能帶結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：TP212 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1671-7597（2014）21-0022-01

石墨烯是由碳原子緊密堆積形成的平面六角晶格結(jié)構(gòu)的二維材料，由于其具有豐富的物理和化學(xué)性質(zhì)，而廣受關(guān)注[1-3]。石墨烯在電子元件、晶體管、透明觸控屏幕、光板、太陽能電池等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用。單層石墨烯的價(jià)帶和導(dǎo)帶交于狄拉克點(diǎn)，在狄拉克點(diǎn)附近，具有線性的色散關(guān)系。雙層石墨烯同樣是零能隙材料，但在狄拉克點(diǎn)附近是拋物線型色散關(guān)系。實(shí)驗(yàn)和理論都證明在雙層石墨烯中外加垂直平面的電場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)0.1-0.3eV的能隙[4-5]，這意味著雙層石墨烯在電子及光電子工業(yè)中具有巨大的潛在應(yīng)用。

本文從緊束縛模型出發(fā)，推導(dǎo)了雙層石墨烯在動(dòng)量表象形式下的哈密頓矩陣，計(jì)算了能帶，分析了雙層石墨烯中三種層間躍遷對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響，本文的推導(dǎo)及分析對(duì)雙層石墨烯的實(shí)際應(yīng)用具有一定的意義。

1 ?晶體結(jié)構(gòu)和布里淵區(qū)

單層石墨烯原子堆積形式是六角蜂窩狀結(jié)構(gòu)，如圖1左側(cè)所示，每個(gè)原胞包含A、B格點(diǎn)兩個(gè)碳原子，其實(shí)空間晶格基矢可取為，其中，為碳-碳鍵鍵長(zhǎng)。連接最近鄰碳原子之間（如圖1左側(cè)，中心A格點(diǎn)原子到最近鄰的3個(gè)B格點(diǎn)原子）的3個(gè)矢量分別為。六角蜂窩格子的倒格子仍然為相同的形狀，倒格子原胞基矢為，第一布里淵區(qū)形狀如圖1右側(cè)所示，同樣為六角蜂窩格子，其中高對(duì)稱性的特殊點(diǎn)在動(dòng)量空間中坐標(biāo)為，不等價(jià)的和又稱為狄拉克點(diǎn)。

圖1 ?單層石墨烯的幾何結(jié)構(gòu)及第一布里淵區(qū)

圖2 ?雙層石墨烯結(jié)構(gòu)圖，左側(cè)：平視圖;右側(cè)：俯視圖

石墨烯是由單層石墨烯按AA堆積，或者是AB（Bernal）堆積形成。由于具有更低的能量，我們只考慮AB堆積形式，如圖2所示，俯視圖中第1、2兩層的A格點(diǎn)原子正對(duì)，第1層B格點(diǎn)原子處于第2層六角晶格的中心位置。雙層石墨烯格子的原胞和單層石墨烯相同，如圖2俯視圖中細(xì)實(shí)線菱形所示，但包含A1、B1、A2和B2格點(diǎn)處四個(gè)碳原子。其倒格子基矢和第一布里淵區(qū)與單層石墨烯相同，如前所述。

圖3 ?石墨烯的能帶圖

2 ?緊束縛模型

我們只考慮最近鄰原子之間的相互作用，雙層石墨烯的緊束縛模型哈密頓量（二次量子化形式）為：

（1）

其中、、和分別是層內(nèi)最近鄰躍遷、層間A格點(diǎn)電子躍遷、層間B格點(diǎn)電子躍遷和層間A到B格點(diǎn)或B到A格點(diǎn)電子躍遷參數(shù)。表示最近鄰格點(diǎn)，（或）表示在A格子中第層，位置處產(chǎn)生（或湮滅）一個(gè)自旋的電子，（或）表示在B格子中同樣的定義。

利用傅立葉變換，和正交歸一化條件，把實(shí)空間的哈密頓量變換成動(dòng)量空間表象，則動(dòng)量表象下緊束縛哈密頓量為：

（2）

對(duì)角化后得到哈密頓量的四個(gè)本征值。

3 ?結(jié)論

只考慮層內(nèi)躍遷[6]時(shí)，，對(duì)應(yīng)的四個(gè)本征值二重簡(jiǎn)并，得到的能帶結(jié)構(gòu)正是單層石墨烯的能帶圖，如圖3a所示。可見能量較低的帶和能量較高的帶在狄拉克K點(diǎn)處相接，在狄拉克K點(diǎn)附近具有線性的色散關(guān)系。通過，可以計(jì)算狄拉克K點(diǎn)附近費(fèi)米速度，這與其他理論結(jié)果[6]一致。該值相當(dāng)于光速的三百分之一，描述在狄拉克K點(diǎn)附近的無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子的運(yùn)動(dòng)行為，應(yīng)該采用相對(duì)論性的狄拉克方程。

當(dāng)考慮層間躍遷 ，而時(shí)，這種層間A-A之間的躍遷打破了單層石墨烯的空間對(duì)稱性，使得其能帶二重簡(jiǎn)并被解除，能帶分裂成四條，能帶分裂的程度正好是0.4eV，如圖3b所示。此時(shí)，狄拉克K點(diǎn)附近的色散關(guān)系不再是線性的，而是拋物線二次型的，而且這時(shí)準(zhǔn)粒子是具有質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子。

當(dāng)同時(shí)考慮層間躍遷和[6]，而時(shí)，狄拉克K點(diǎn)附近的色散關(guān)系同樣還是拋物線型的，能帶分裂成四條，其中兩條在該處相接。但在M點(diǎn)處，能量又發(fā)生簡(jiǎn)并，如圖3c所示。

當(dāng)同時(shí)考慮層間躍遷[6]時(shí)，層間A-B或者是B-A之間的躍遷打破了粒子-空穴對(duì)稱性，化學(xué)勢(shì)上下兩側(cè)的能帶不再對(duì)稱。

項(xiàng)目基金

安徽建筑大學(xué)校青年專項(xiàng)項(xiàng)目（編號(hào)：2011183-18）。

參考文獻(xiàn)

[1]Sasat i K，Murakami S， Saito R 2006 Appl . Phys. Lett . 88 113110.

[2]Wang Z F， Shi Q W，Li Q X，Wang X P， Hou J G， Zheng H X， Chen J 2007 Appl . Phys. Lett . 91 053109.

[3]梁維，肖楊，丁建文.2001 物理學(xué)報(bào)57 3714.

[4]Wang Z G， Zhang P， Li S S， Fu Z G 2011 Chin. Phys. B 20 058103.

[5]王建軍，王飛，原鵬飛，孫強(qiáng)，賈瑜.2012 物理學(xué)報(bào)61 106801.

[6]Castro Neto A H， Guinea F， Peres N M R， Novoselov K S， Geim A K 2009 Rev. Mod. Phys. 81 109.endprint

摘 ?要 ?雙層石墨烯是能隙可調(diào)控的半導(dǎo)體材料，由于具有奇特的電學(xué)性質(zhì)和光學(xué)性質(zhì)，因此，此類材料有望在光電子工業(yè)引起新的革命。本文采用緊束縛模型方法，給出雙層石墨烯動(dòng)量表象的哈密頓矩陣，數(shù)值計(jì)算了能帶結(jié)構(gòu)，分析了雙層石墨烯中三種層間躍遷對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響。

關(guān)鍵詞 ?雙層石墨烯;緊束縛模型;能帶結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：TP212 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1671-7597（2014）21-0022-01

石墨烯是由碳原子緊密堆積形成的平面六角晶格結(jié)構(gòu)的二維材料，由于其具有豐富的物理和化學(xué)性質(zhì)，而廣受關(guān)注[1-3]。石墨烯在電子元件、晶體管、透明觸控屏幕、光板、太陽能電池等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用。單層石墨烯的價(jià)帶和導(dǎo)帶交于狄拉克點(diǎn)，在狄拉克點(diǎn)附近，具有線性的色散關(guān)系。雙層石墨烯同樣是零能隙材料，但在狄拉克點(diǎn)附近是拋物線型色散關(guān)系。實(shí)驗(yàn)和理論都證明在雙層石墨烯中外加垂直平面的電場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)0.1-0.3eV的能隙[4-5]，這意味著雙層石墨烯在電子及光電子工業(yè)中具有巨大的潛在應(yīng)用。

本文從緊束縛模型出發(fā)，推導(dǎo)了雙層石墨烯在動(dòng)量表象形式下的哈密頓矩陣，計(jì)算了能帶，分析了雙層石墨烯中三種層間躍遷對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響，本文的推導(dǎo)及分析對(duì)雙層石墨烯的實(shí)際應(yīng)用具有一定的意義。

1 ?晶體結(jié)構(gòu)和布里淵區(qū)

單層石墨烯原子堆積形式是六角蜂窩狀結(jié)構(gòu)，如圖1左側(cè)所示，每個(gè)原胞包含A、B格點(diǎn)兩個(gè)碳原子，其實(shí)空間晶格基矢可取為，其中，為碳-碳鍵鍵長(zhǎng)。連接最近鄰碳原子之間（如圖1左側(cè)，中心A格點(diǎn)原子到最近鄰的3個(gè)B格點(diǎn)原子）的3個(gè)矢量分別為。六角蜂窩格子的倒格子仍然為相同的形狀，倒格子原胞基矢為，第一布里淵區(qū)形狀如圖1右側(cè)所示，同樣為六角蜂窩格子，其中高對(duì)稱性的特殊點(diǎn)在動(dòng)量空間中坐標(biāo)為，不等價(jià)的和又稱為狄拉克點(diǎn)。

圖1 ?單層石墨烯的幾何結(jié)構(gòu)及第一布里淵區(qū)

圖2 ?雙層石墨烯結(jié)構(gòu)圖，左側(cè)：平視圖;右側(cè)：俯視圖

石墨烯是由單層石墨烯按AA堆積，或者是AB（Bernal）堆積形成。由于具有更低的能量，我們只考慮AB堆積形式，如圖2所示，俯視圖中第1、2兩層的A格點(diǎn)原子正對(duì)，第1層B格點(diǎn)原子處于第2層六角晶格的中心位置。雙層石墨烯格子的原胞和單層石墨烯相同，如圖2俯視圖中細(xì)實(shí)線菱形所示，但包含A1、B1、A2和B2格點(diǎn)處四個(gè)碳原子。其倒格子基矢和第一布里淵區(qū)與單層石墨烯相同，如前所述。

圖3 ?石墨烯的能帶圖

2 ?緊束縛模型

我們只考慮最近鄰原子之間的相互作用，雙層石墨烯的緊束縛模型哈密頓量（二次量子化形式）為：

（1）

其中、、和分別是層內(nèi)最近鄰躍遷、層間A格點(diǎn)電子躍遷、層間B格點(diǎn)電子躍遷和層間A到B格點(diǎn)或B到A格點(diǎn)電子躍遷參數(shù)。表示最近鄰格點(diǎn)，（或）表示在A格子中第層，位置處產(chǎn)生（或湮滅）一個(gè)自旋的電子，（或）表示在B格子中同樣的定義。

利用傅立葉變換，和正交歸一化條件，把實(shí)空間的哈密頓量變換成動(dòng)量空間表象，則動(dòng)量表象下緊束縛哈密頓量為：

（2）

對(duì)角化后得到哈密頓量的四個(gè)本征值。

3 ?結(jié)論

只考慮層內(nèi)躍遷[6]時(shí)，，對(duì)應(yīng)的四個(gè)本征值二重簡(jiǎn)并，得到的能帶結(jié)構(gòu)正是單層石墨烯的能帶圖，如圖3a所示?？梢娔芰枯^低的帶和能量較高的帶在狄拉克K點(diǎn)處相接，在狄拉克K點(diǎn)附近具有線性的色散關(guān)系。通過，可以計(jì)算狄拉克K點(diǎn)附近費(fèi)米速度，這與其他理論結(jié)果[6]一致。該值相當(dāng)于光速的三百分之一，描述在狄拉克K點(diǎn)附近的無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子的運(yùn)動(dòng)行為，應(yīng)該采用相對(duì)論性的狄拉克方程。

當(dāng)考慮層間躍遷 ，而時(shí)，這種層間A-A之間的躍遷打破了單層石墨烯的空間對(duì)稱性，使得其能帶二重簡(jiǎn)并被解除，能帶分裂成四條，能帶分裂的程度正好是0.4eV，如圖3b所示。此時(shí)，狄拉克K點(diǎn)附近的色散關(guān)系不再是線性的，而是拋物線二次型的，而且這時(shí)準(zhǔn)粒子是具有質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子。

當(dāng)同時(shí)考慮層間躍遷和[6]，而時(shí)，狄拉克K點(diǎn)附近的色散關(guān)系同樣還是拋物線型的，能帶分裂成四條，其中兩條在該處相接。但在M點(diǎn)處，能量又發(fā)生簡(jiǎn)并，如圖3c所示。

當(dāng)同時(shí)考慮層間躍遷[6]時(shí)，層間A-B或者是B-A之間的躍遷打破了粒子-空穴對(duì)稱性，化學(xué)勢(shì)上下兩側(cè)的能帶不再對(duì)稱。

項(xiàng)目基金

安徽建筑大學(xué)校青年專項(xiàng)項(xiàng)目（編號(hào)：2011183-18）。

參考文獻(xiàn)

[1]Sasat i K，Murakami S， Saito R 2006 Appl . Phys. Lett . 88 113110.

[2]Wang Z F， Shi Q W，Li Q X，Wang X P， Hou J G， Zheng H X， Chen J 2007 Appl . Phys. Lett . 91 053109.

[3]梁維，肖楊，丁建文.2001 物理學(xué)報(bào)57 3714.

[4]Wang Z G， Zhang P， Li S S， Fu Z G 2011 Chin. Phys. B 20 058103.

[5]王建軍，王飛，原鵬飛，孫強(qiáng)，賈瑜.2012 物理學(xué)報(bào)61 106801.

[6]Castro Neto A H， Guinea F， Peres N M R， Novoselov K S， Geim A K 2009 Rev. Mod. Phys. 81 109.endprint

摘 ?要 ?雙層石墨烯是能隙可調(diào)控的半導(dǎo)體材料，由于具有奇特的電學(xué)性質(zhì)和光學(xué)性質(zhì)，因此，此類材料有望在光電子工業(yè)引起新的革命。本文采用緊束縛模型方法，給出雙層石墨烯動(dòng)量表象的哈密頓矩陣，數(shù)值計(jì)算了能帶結(jié)構(gòu)，分析了雙層石墨烯中三種層間躍遷對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響。

關(guān)鍵詞 ?雙層石墨烯;緊束縛模型;能帶結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：TP212 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1671-7597（2014）21-0022-01

石墨烯是由碳原子緊密堆積形成的平面六角晶格結(jié)構(gòu)的二維材料，由于其具有豐富的物理和化學(xué)性質(zhì)，而廣受關(guān)注[1-3]。石墨烯在電子元件、晶體管、透明觸控屏幕、光板、太陽能電池等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用。單層石墨烯的價(jià)帶和導(dǎo)帶交于狄拉克點(diǎn)，在狄拉克點(diǎn)附近，具有線性的色散關(guān)系。雙層石墨烯同樣是零能隙材料，但在狄拉克點(diǎn)附近是拋物線型色散關(guān)系。實(shí)驗(yàn)和理論都證明在雙層石墨烯中外加垂直平面的電場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)0.1-0.3eV的能隙[4-5]，這意味著雙層石墨烯在電子及光電子工業(yè)中具有巨大的潛在應(yīng)用。

本文從緊束縛模型出發(fā)，推導(dǎo)了雙層石墨烯在動(dòng)量表象形式下的哈密頓矩陣，計(jì)算了能帶，分析了雙層石墨烯中三種層間躍遷對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響，本文的推導(dǎo)及分析對(duì)雙層石墨烯的實(shí)際應(yīng)用具有一定的意義。

1 ?晶體結(jié)構(gòu)和布里淵區(qū)

單層石墨烯原子堆積形式是六角蜂窩狀結(jié)構(gòu)，如圖1左側(cè)所示，每個(gè)原胞包含A、B格點(diǎn)兩個(gè)碳原子，其實(shí)空間晶格基矢可取為，其中，為碳-碳鍵鍵長(zhǎng)。連接最近鄰碳原子之間（如圖1左側(cè)，中心A格點(diǎn)原子到最近鄰的3個(gè)B格點(diǎn)原子）的3個(gè)矢量分別為。六角蜂窩格子的倒格子仍然為相同的形狀，倒格子原胞基矢為，第一布里淵區(qū)形狀如圖1右側(cè)所示，同樣為六角蜂窩格子，其中高對(duì)稱性的特殊點(diǎn)在動(dòng)量空間中坐標(biāo)為，不等價(jià)的和又稱為狄拉克點(diǎn)。

圖1 ?單層石墨烯的幾何結(jié)構(gòu)及第一布里淵區(qū)

圖2 ?雙層石墨烯結(jié)構(gòu)圖，左側(cè)：平視圖;右側(cè)：俯視圖

石墨烯是由單層石墨烯按AA堆積，或者是AB（Bernal）堆積形成。由于具有更低的能量，我們只考慮AB堆積形式，如圖2所示，俯視圖中第1、2兩層的A格點(diǎn)原子正對(duì)，第1層B格點(diǎn)原子處于第2層六角晶格的中心位置。雙層石墨烯格子的原胞和單層石墨烯相同，如圖2俯視圖中細(xì)實(shí)線菱形所示，但包含A1、B1、A2和B2格點(diǎn)處四個(gè)碳原子。其倒格子基矢和第一布里淵區(qū)與單層石墨烯相同，如前所述。

圖3 ?石墨烯的能帶圖

2 ?緊束縛模型

我們只考慮最近鄰原子之間的相互作用，雙層石墨烯的緊束縛模型哈密頓量（二次量子化形式）為：

（1）

其中、、和分別是層內(nèi)最近鄰躍遷、層間A格點(diǎn)電子躍遷、層間B格點(diǎn)電子躍遷和層間A到B格點(diǎn)或B到A格點(diǎn)電子躍遷參數(shù)。表示最近鄰格點(diǎn)，（或）表示在A格子中第層，位置處產(chǎn)生（或湮滅）一個(gè)自旋的電子，（或）表示在B格子中同樣的定義。

利用傅立葉變換，和正交歸一化條件，把實(shí)空間的哈密頓量變換成動(dòng)量空間表象，則動(dòng)量表象下緊束縛哈密頓量為：

（2）

對(duì)角化后得到哈密頓量的四個(gè)本征值。

3 ?結(jié)論

只考慮層內(nèi)躍遷[6]時(shí)，，對(duì)應(yīng)的四個(gè)本征值二重簡(jiǎn)并，得到的能帶結(jié)構(gòu)正是單層石墨烯的能帶圖，如圖3a所示?？梢娔芰枯^低的帶和能量較高的帶在狄拉克K點(diǎn)處相接，在狄拉克K點(diǎn)附近具有線性的色散關(guān)系。通過，可以計(jì)算狄拉克K點(diǎn)附近費(fèi)米速度，這與其他理論結(jié)果[6]一致。該值相當(dāng)于光速的三百分之一，描述在狄拉克K點(diǎn)附近的無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子的運(yùn)動(dòng)行為，應(yīng)該采用相對(duì)論性的狄拉克方程。

當(dāng)考慮層間躍遷 ，而時(shí)，這種層間A-A之間的躍遷打破了單層石墨烯的空間對(duì)稱性，使得其能帶二重簡(jiǎn)并被解除，能帶分裂成四條，能帶分裂的程度正好是0.4eV，如圖3b所示。此時(shí)，狄拉克K點(diǎn)附近的色散關(guān)系不再是線性的，而是拋物線二次型的，而且這時(shí)準(zhǔn)粒子是具有質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子。

當(dāng)同時(shí)考慮層間躍遷和[6]，而時(shí)，狄拉克K點(diǎn)附近的色散關(guān)系同樣還是拋物線型的，能帶分裂成四條，其中兩條在該處相接。但在M點(diǎn)處，能量又發(fā)生簡(jiǎn)并，如圖3c所示。

當(dāng)同時(shí)考慮層間躍遷[6]時(shí)，層間A-B或者是B-A之間的躍遷打破了粒子-空穴對(duì)稱性，化學(xué)勢(shì)上下兩側(cè)的能帶不再對(duì)稱。

項(xiàng)目基金

安徽建筑大學(xué)校青年專項(xiàng)項(xiàng)目（編號(hào)：2011183-18）。

參考文獻(xiàn)

[1]Sasat i K，Murakami S， Saito R 2006 Appl . Phys. Lett . 88 113110.

[2]Wang Z F， Shi Q W，Li Q X，Wang X P， Hou J G， Zheng H X， Chen J 2007 Appl . Phys. Lett . 91 053109.

[3]梁維，肖楊，丁建文.2001 物理學(xué)報(bào)57 3714.

[4]Wang Z G， Zhang P， Li S S， Fu Z G 2011 Chin. Phys. B 20 058103.

[5]王建軍，王飛，原鵬飛，孫強(qiáng)，賈瑜.2012 物理學(xué)報(bào)61 106801.

[6]Castro Neto A H， Guinea F， Peres N M R， Novoselov K S， Geim A K 2009 Rev. Mod. Phys. 81 109.endprint