離散T-S模糊系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定

李 麗，王福忠，姚 波

(1.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽110034;2.沈陽工程學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧沈陽110136)

Takagi和Sugeno在1985年提出了T-S模糊模型的概念，在目前的模糊控制研究領(lǐng)域是十分活躍的一個(gè)分支。由于T-S模糊模型可以通過模糊規(guī)則給出非線性系統(tǒng)的局部線性表示，因此它能夠描述或逼近一類非線性系統(tǒng)，其本質(zhì)是一種非線性的模型，易于表達(dá)復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

近幾年來，許多學(xué)者在離散T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的研究方面取得了諸多成就。文獻(xiàn)［1-2］在Lyapunov直接法的基礎(chǔ)上，提出了利用公共Lyapunov函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的方法，即在所有子系統(tǒng)中尋找公共正定矩陣。但對于規(guī)則數(shù)較大的模糊系統(tǒng)，很難找到滿足所有規(guī)則的。為了降低尋找的保守性，文獻(xiàn)［3-5］應(yīng)用模糊Lyapunov函數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判定，此方法在一定程度上降低了尋找的保守性。文獻(xiàn)［7］應(yīng)用文獻(xiàn)［6］所提出的雙交疊模糊分劃及最大交疊規(guī)則組的概念，構(gòu)造出離散型分段模糊Lyapunov函數(shù)，進(jìn)而提出了一個(gè)判定離散T-S模糊系統(tǒng)是否穩(wěn)定性的充分條件。文獻(xiàn)［8］提出了有效最大交疊規(guī)則組集和有效最大交疊組的概念，構(gòu)造了離散型分段模糊Lyapunov函數(shù)，得到了一個(gè)新的判定離散模糊系統(tǒng)是否穩(wěn)定的充分條件，減少了以往穩(wěn)定性判別方法的保守性和難度。文獻(xiàn)［9］提出了一種新的T-S模糊系統(tǒng)放寬的二次穩(wěn)定方法，得到一個(gè)新的判定模糊系統(tǒng)是否穩(wěn)定的充分條件，降低了以往結(jié)論的保守性。由于不確定性常常降低系統(tǒng)性能，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，文獻(xiàn)［10］運(yùn)用文獻(xiàn)［9］的方法研究了連續(xù)時(shí)間不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，得到一個(gè)新的判定連續(xù)模糊系統(tǒng)是否穩(wěn)定的充分條件，具有更小的保守性;文獻(xiàn)［11］也基于文獻(xiàn)［9］研究了離散模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，但沒有考慮不確定的情況。

1 離散不確定T-S模糊模型的描述

T-S模糊控制系統(tǒng)能夠表示一般的非線性系統(tǒng)。對于一個(gè)離散不確定非線性系統(tǒng)，它的第條模糊規(guī)則具有如下形式:

式中 i=1，2，…，r，r為模糊規(guī)則數(shù)，xT(k)=［x1(k)，x2(k)，…，xn(k)］為模糊集，x(k)與u(k)為模糊系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸入向量。Ai，Bi為常數(shù)矩陣，ΔAi和ΔBi是適當(dāng)維數(shù)的時(shí)變矩陣，代表系統(tǒng)模型中的參數(shù)不確定性。通過中心平均反模糊化、乘積推理和單點(diǎn)模糊化方法，得到系統(tǒng)全局模型如下:

其中

wi(x(k))的一些基本性質(zhì)如下:

則

離散T-S模糊模型中的一個(gè)狀態(tài)反饋控制器定義如下:

其中Ki是要確定的定?？刂圃鲆?。設(shè)計(jì)目標(biāo)是確定如下形式的狀態(tài)控制器，使系統(tǒng)(2)魯棒鎮(zhèn)定。

(2)和(3)組成閉環(huán)系統(tǒng)(5)

由于系統(tǒng)(1)有時(shí)為不確定矩陣，很難設(shè)計(jì)控制器增益矩陣。為了找到該增益矩陣Ki，不確定矩陣應(yīng)在合理假設(shè)下除去。因此，一般假設(shè)不確定矩陣ΔAi和ΔBi是范數(shù)有界和結(jié)構(gòu)化的。

假設(shè)1:考慮的參數(shù)不確定性是范數(shù)有界的，以如下形式存在:

［ΔAiΔBi］ =DiFi(k)［EAiEBi］

其中 Di，EAi，EBi是具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，F(xiàn)i(k)為未知矩陣函數(shù)，滿足FTi(k)Fi(k)≤ I，I是適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。

引理1［12］:給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣S、D和E，其中S是對稱的，則:S+DFE+ETFTDT＜0，對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε＞0，使得

3 改進(jìn)的T-S模糊系統(tǒng)狀態(tài)反饋魯棒控制器設(shè)計(jì)

那么式(14)成立，即:

如果式(5)成立，則Λc＜0，系統(tǒng)(2)經(jīng)模糊控制器(3)漸進(jìn)穩(wěn)定。

下面證明(11)、(12)、(13)分別與(6)、(7)、(8)等價(jià)。

將假設(shè)1應(yīng)用到(11)中，得到

對式(16)左右兩側(cè)分別乘diag(III εiii)即得式(6)。

第三個(gè)LMI(7)，第四個(gè) LMI(8)分別與(12)、(13)等價(jià)，證明過程與以上證明過程相似。

因此，定理1得證。

證畢。

4 仿真示例

考慮如下的T-S模糊系統(tǒng)［10］:

其中

參數(shù)不確定選擇如下:

利用MATLAB工具箱可以得到:

5 結(jié)論

在參數(shù)不確定的情況下，對離散T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制器設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究。其中，定理1的方法將模糊控制器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為對一些標(biāo)準(zhǔn)的LMI問題進(jìn)行求解，從而方便地利用Matlab工具箱等軟件來解決有多種設(shè)計(jì)要求的控制器設(shè)計(jì)問題。而且，定理1的判定條件比以往問題所提出的條件更保守，更寬松。

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