數(shù)學(xué)概括淺議

李志娟

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家華羅庚先生生前十分重視中學(xué)數(shù)學(xué)教育事業(yè)。他提出的讀書公式：“薄厚”讀書法在中學(xué)數(shù)學(xué)界乃至整個(gè)教育界廣為流傳和稱頌。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法的過程是一個(gè)從不知到知，從知之不多到知之甚多的不斷積聚的過程。這就是公式的第一步：“從薄到厚”。公式的第二步：“從厚到薄是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的總結(jié)概括，思想方法的提煉升華的過程。而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力，對(duì)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，優(yōu)化學(xué)習(xí)效果都有相當(dāng)重要的作用。

數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，它的本質(zhì)特征之一是高度的抽象性和高度的概括性，數(shù)學(xué)本身就是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的最抽象、最概括的反映。就數(shù)學(xué)教育而言，培養(yǎng)學(xué)生概括能力無疑是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

什么是數(shù)學(xué)概括？曹才翰教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論》中指出了它的意義：“其一，指在思想上把具有相同本質(zhì)特性的事物聯(lián)系起來;其二，是把被研究對(duì)象的本質(zhì)特性推廣為范圍更廣的包含這個(gè)對(duì)象的同類事物的本質(zhì)特性?！?/p>

本文擬從中學(xué)數(shù)學(xué)教育的角度淺議數(shù)學(xué)概括，著重討論中學(xué)數(shù)學(xué)教材涉及的數(shù)學(xué)通則通法的概括和數(shù)學(xué)遷移概括。

一、數(shù)學(xué)通則通法的概括

1.概括和再概括數(shù)學(xué)通則通法是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要素材，包括定理、性質(zhì)、公式和法則在內(nèi)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是前人研究和總結(jié)出來的數(shù)學(xué)成果，是真知。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)任務(wù)就是要把這些數(shù)學(xué)成果用科學(xué)的教學(xué)方法傳授給學(xué)生，使之能理解、掌握和應(yīng)用。

2.建模和擴(kuò)模不論是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，還是單純解數(shù)學(xué)題，都離不開把問題和解決問題的方法進(jìn)行比較分類，抽象概括出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式，然后利用這種結(jié)構(gòu)形式來熟練地解決同類型的實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題。這就是從狹義的角度來認(rèn)識(shí)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象概括的結(jié)果。數(shù)學(xué)中每一個(gè)計(jì)算公式、每一類方程、每一種函數(shù)都可以看作一個(gè)數(shù)學(xué)模型。在建模用模的同時(shí)，不應(yīng)把模型看成僵化的、一成不變的東西，而應(yīng)考慮模型及其功能的變化發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)遷移概括

在學(xué)習(xí)過程中，先行學(xué)習(xí)和后續(xù)學(xué)習(xí)總是互相影響、互相干擾的，我們把這兩者之間的影響、干擾稱為“遷移”。學(xué)習(xí)甲時(shí)獲得的一般數(shù)學(xué)原理方法如能適用于學(xué)習(xí)乙時(shí)，若能從學(xué)習(xí)甲、乙過程中概括出它們的共同的數(shù)學(xué)原理和方法，我們稱之為數(shù)學(xué)遷移概括。求解二次方程，無論是分解因式還是開平方，都是為了降為一次方程，引導(dǎo)學(xué)生把降次法遷移到解特殊的高次方程上來，這就是一種數(shù)學(xué)遷移概括。許多學(xué)生對(duì)“x>1 ?x≥1”這一推理的正確性持懷疑態(tài)度，認(rèn)為結(jié)論中的“x=1”在前提中不存在，是無論如何推導(dǎo)不出的?？梢姲堰@一類問題提到集合思想觀念的高度來認(rèn)識(shí)處理，這實(shí)際上就是把子集概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)遷移概括到一些特殊數(shù)學(xué)事實(shí)的認(rèn)識(shí)和處理上了。對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)體系，學(xué)生一般了解不深，但能粗淺地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教材總是從建立公理、定義概念開始，一步步演繹出一系列的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，有的同學(xué)還能注意到教材中定理、公式出現(xiàn)的邏輯順序，并從自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中意識(shí)到用前一個(gè)定理的結(jié)果去推證后一定理（或推論），比用定義、概念出發(fā)去推證更為簡(jiǎn)易。所有這些實(shí)質(zhì)上是對(duì)數(shù)學(xué)公理化思想的點(diǎn)滴意會(huì)。

三、數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)

1.必須重視數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過程的教學(xué)數(shù)學(xué)具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，新概念（新知識(shí)）往往是在原有概念（舊知識(shí)）的基礎(chǔ)上引進(jìn)和建立的。合理組織教學(xué)活動(dòng)，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系是把新知識(shí)納入學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的重要途經(jīng)。重視新知識(shí)（包括概念、定理、公式、法則等）的發(fā)生、發(fā)展、鞏固和系統(tǒng)化（小結(jié)）的教學(xué)，從教材中發(fā)掘培養(yǎng)學(xué)生概括能力的因素，并利用它來提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的概括水平，這是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵。

當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中不同程度的存在“概念知識(shí)一帶而過，練習(xí)課代替復(fù)習(xí)課”的傾向，無論對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能的掌握還是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)都是有百弊而無一利的。

2.必須摒棄“題海戰(zhàn)”的教學(xué)模式當(dāng)前考試指揮教學(xué)的功能仍有增無已。為應(yīng)付考試，教師企圖窮盡考試要求范圍內(nèi)的所有題型（及各種變形），將其全部塞給學(xué)生訓(xùn)練。這種題型加題量的訓(xùn)練模式（俗稱“題海戰(zhàn)”）是一種就題論題式的、缺乏概括的模式?；〞r(shí)多，收效少，學(xué)生負(fù)擔(dān)重。這種只知改變題目的外在形式，不顧學(xué)生內(nèi)在的思維活動(dòng)的教學(xué)方式，是不能達(dá)到知識(shí)、能力廣泛遷移的目的的。因?yàn)橐环矫嬗?xùn)練題量的多少和培養(yǎng)能力的大小并非成正比例，題量題型過多并不能提高學(xué)生區(qū)分事物的現(xiàn)象和本質(zhì)、聯(lián)系事物共同的本質(zhì)屬性的思維水平;另一方面，過重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)產(chǎn)生過重的心理負(fù)擔(dān)，使學(xué)生不能以愉悅的、有興趣的心情和積極、主動(dòng)的態(tài)度對(duì)待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而產(chǎn)生學(xué)習(xí)態(tài)度的負(fù)遷移，這是最為令人擔(dān)憂的教學(xué)后果。

3.必須重視解題思路的概括解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要途經(jīng)。對(duì)解法典型概括內(nèi)容較多的數(shù)學(xué)題，教師幫助學(xué)生建立題型模式，使學(xué)生能識(shí)模、用模，熟練同類題目的解法思路。在這過程中教師要自己暴露（或讓學(xué)生經(jīng)歷）從直覺思維到理性思維的過程，進(jìn)行有層次的數(shù)學(xué)概括。同時(shí)教師不能滿足于這種題型歸類的淺層次概括，還應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)思想方法的高度對(duì)解題思路進(jìn)行較高層次的概括。高考第一輪復(fù)習(xí)，在回顧各章節(jié)內(nèi)容之前，先系統(tǒng)介紹數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)踐證明是有益的。非畢業(yè)年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，以知識(shí)內(nèi)容為載體，有條件地逐步滲透各種數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生各種思維能力（包括數(shù)學(xué)概括能力）的提高也同樣是有益的。endprint