GOM和時(shí)間序列組合模型在地表沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

唐佑輝，黃 騰，趙兵帥

（河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210098）

在對(duì)序列建模預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)方面，傳統(tǒng)GM（1，1）模型的建立都是基于正向累加數(shù)據(jù)，越舊的數(shù)據(jù)占的權(quán)重越大，而對(duì)沉降監(jiān)測(cè)這種實(shí)時(shí)系統(tǒng)而言，最新的數(shù)據(jù)越能反映目前沉降的趨勢(shì)，對(duì)未來監(jiān)測(cè)的預(yù)報(bào)更有準(zhǔn)確性［1］。而時(shí)間序列要求數(shù)據(jù)序列平穩(wěn)，需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，造成對(duì)殘差信息的浪費(fèi)，導(dǎo)致精度不理想［2］。由于變形體的變形通常是非平穩(wěn)序列，通常包括趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，單純采用灰色模型或時(shí)間序列模型進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，精度不是很好［3］。因此，本文結(jié)合改進(jìn)反向累加灰色模型GOM用以提取趨勢(shì)項(xiàng)，對(duì)剩余平穩(wěn)殘差采用時(shí)間序列AR模型建模，達(dá)到了很高的預(yù)測(cè)精度。

1 反向累加灰色模型GOM

1.1 普通灰色GM模型的建立

自從灰色GM（1，1）模型提出后，以其建模數(shù)據(jù)少、建模簡(jiǎn)單、短期預(yù)報(bào)可靠等特點(diǎn)，已經(jīng)在人口、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、水文、變形監(jiān)測(cè)等許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［4］。

已知原始非負(fù)序列 x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，一次正向累加生成新序列x（1）＝｛x（1）（1），x（1）（2），x（1）（3），…，x（1）（n）｝，其中：

可建立灰色 GM（1，1）模型

1.2 基于反向累加的GOM模型

設(shè)x（0）為非負(fù)準(zhǔn)光滑序列，則x（0）的一次累加生成序列x（1）具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律，普通灰色模型GM（1，1）正是依此理論基礎(chǔ)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)的。如果一次累加后的曲線不光滑，則二次累加后的序列就比較光滑，假定一個(gè)3項(xiàng)的觀測(cè)序列｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3）｝，一次正向累加后的序列為｛x（0）（1），x（0）（1）＋ x（0）（2），x（0）（1）＋ x（0）（2）＋ x（0）（3）｝，可見一次正向累加序列每一項(xiàng)均含有原始序列中的最“陳舊”的數(shù)據(jù)x（0）（1）。對(duì)一次累加序列而言，x（0）（1）在新序列中占得權(quán)可以看做是含有x（0）（1）的項(xiàng)占新序列總元素?cái)?shù)的比例，可以看出在一次正向累加序列中x（0）（1）占得權(quán)為1，而在一次反向累加序列中x（0）（1）占得權(quán)為1／3，最新的數(shù)據(jù)x（0）（3）占得權(quán)為1。事實(shí)上，對(duì)于沉降這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)過程或動(dòng)態(tài)系統(tǒng)而言，越新的數(shù)據(jù)越能代表當(dāng)前的狀態(tài)和未來的發(fā)展趨勢(shì)，在建模中占的權(quán)應(yīng)越大。但是對(duì)基于一次累加生成的GM（1，1）模型而言，越舊的數(shù)據(jù)在模型中占的權(quán)反而越大，這對(duì)沉降監(jiān)測(cè)系統(tǒng)而言顯然是不合理的。

定義1設(shè)原始序列為x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，令

稱 x（1）＝ ｛x（1）（1），x（1）（2），x（1）（3），…，x（1）（n）｝為x（0）的一次反向累加序列。

定義2設(shè)原始序列為 x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，取

則x（-1）＝（x（-1）（-1），x（-1）（2），…，x（-1）（n））稱為x（0）的一次反向累減生成序列。易知，反向累加、累減生成是互逆運(yùn)算，并且

通過上述兩定義可知，x（0）的一次反向累加生成序列通過一次反向累減生成還原為原始序列。依據(jù)反向累加數(shù)據(jù)x（1）即可建立反向累加灰色模型GOM。

1.3 改進(jìn)傳統(tǒng)GOM模型背景值

在解求參數(shù)a，u的過程中背景值的選擇至關(guān)重要，在傳統(tǒng)GM和GOM模型中一般取兩點(diǎn)間觀測(cè)值的平均，即用梯形的面積替代曲線下的面積，但這樣會(huì)產(chǎn)生以直代曲的誤差，但當(dāng)數(shù)據(jù)經(jīng)過一次反向累加后曲線較陡峭時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大誤差。而現(xiàn)有對(duì)背景值的研究表明從背景值的幾何意義出發(fā)，應(yīng)用齊次指數(shù)曲線在區(qū)間［k-1，k］上的積分即曲線與x軸圍成的面積作為背景值，可以更充分、準(zhǔn)確地反映出背景值的真實(shí)情況［4］。可推導(dǎo)出GOM（1，1）模型改進(jìn)的背景值計(jì)算公式為

可得到改進(jìn)的GOM模型的白化方程為

則方程（1）的時(shí)間響應(yīng)序列為

模擬值為

2 GOM和時(shí)間序列模型的建立及預(yù)測(cè)步驟

1）對(duì)n個(gè)觀測(cè)序列數(shù)據(jù)x0（t）（t＝1，2，…，n），建立改進(jìn)反向累加灰色模型GOM（1，1），并求出殘差向量序列｛yt｝（t＝1，2，…，n），yt＝x0（t）-（t）；

2）用步驟1）的殘差向量序列｛yt｝的絕對(duì)值組成一正置序列；

3）對(duì)步驟2）組成的正置序列用最小二乘算法計(jì)算φi（1，2，…，p）；并進(jìn)行偏相關(guān)函數(shù)截尾性檢驗(yàn)，初步判斷模型的類別。若偏相關(guān)函數(shù)具有截尾性則為AR模型，繼續(xù)進(jìn)行下面的步驟；

5）用F檢驗(yàn)準(zhǔn)則檢驗(yàn)AR（p）是否合適，若不合適，則階數(shù)為p＋1，返回4），或與BIC準(zhǔn)則相結(jié)合進(jìn)行綜合判斷，決定是否增加階數(shù)；

6）用改進(jìn)反向累加灰色模型GOM和AR（p）模型的組合模型GOM-AR進(jìn)行預(yù)測(cè)：

其中等號(hào)右側(cè)第1項(xiàng)為改進(jìn)反向累加灰色模型預(yù)測(cè)公式，第2項(xiàng)為時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)公式。

3 GOM和時(shí)間序列模型的實(shí)際應(yīng)用

表1是某地鐵隧道一號(hào)線縱線地表上的3號(hào)沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)［5］，共觀測(cè)了55期沉降數(shù)據(jù)。

表1 地表沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

首先用前45期的數(shù)據(jù)建立改進(jìn)的反向累加灰色模型GOM（1，1）進(jìn)行沉降序列趨勢(shì)項(xiàng)的提取，通過計(jì)算可得參數(shù)a＝0.072 7，b＝-0.080 6，可得模擬值公式

通過計(jì)算可得前45期的殘差圖，可以看出殘差序列基本平穩(wěn)，明顯消除了趨勢(shì)性，且通過ADF檢驗(yàn)殘差序列的平穩(wěn)性，殘差圖如圖1所示。

圖1 GOM模型模擬殘差圖

經(jīng)計(jì)算當(dāng)p＝2時(shí)，偏自相關(guān)系數(shù)截尾，自相關(guān)系數(shù)拖尾，因此，對(duì)殘差序列可建立AR（2）模型，且AR（2）通過了F準(zhǔn)則檢驗(yàn)，利用最小二乘原理可計(jì)算得ψ1＝0.331 6，ψ2＝0.099 3，所以AR（2）模型為

因此，可以建立改進(jìn)反向累加灰色模型GOM和時(shí)間序列AR（2）模型的組合模型為

利用建立的GOM-AR模型對(duì)后10期（46～55期）數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與實(shí)測(cè)值比較，如圖2所示，表2同時(shí)列出了采用單一改進(jìn)反向累加灰色模型GOM預(yù)測(cè)誤差。

表2 46～55期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值

圖2 預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較

從圖2可以看出無論是單一改進(jìn)GOM預(yù)測(cè)模型還是GOM-AR模型預(yù)測(cè)值均比實(shí)測(cè)值要小，GOM-AR組合模型預(yù)測(cè)值要更接近實(shí)測(cè)值。從圖3GOM與GOM-AR組合模型預(yù)測(cè)殘差圖可以明顯看出采用GOM-AR模型預(yù)測(cè)的殘差值均小于單一GOM模型，GOM-AR模型預(yù)測(cè)誤差約0.1mm，GOM模型預(yù)測(cè)誤差約0.15mm?？梢钥闯鰞煞N擬合模型對(duì)近期的預(yù)報(bào)誤差較小，隨著期數(shù)的增加預(yù)報(bào)誤差變大。

圖3 GOM與GOM-AR組合模型預(yù)測(cè)殘差

4 結(jié)束語

對(duì)沉降觀測(cè)系統(tǒng)而言，采用反向累加模型讓最新的數(shù)據(jù)在模型中所占的權(quán)重較大，對(duì)于后期的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)才更準(zhǔn)確，更能反映實(shí)際的沉降趨勢(shì)。采用灰色模型和時(shí)間序列的組合模型，不僅能反映沉降系統(tǒng)的趨勢(shì)性，同時(shí)能反映其隨機(jī)性，符合沉降數(shù)據(jù)的規(guī)律，并且組合模型在數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)方面的精度優(yōu)于單一模型，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。本文還可得出對(duì)這種沉降趨勢(shì)明顯的序列，單一的GOM模型預(yù)測(cè)精度也達(dá)到了0.2mm以內(nèi)，采用灰色模型和時(shí)間序列的組合模型對(duì)近期的預(yù)測(cè)精度有一定的提高，隨著期數(shù)的增加精度提高不是很明顯。對(duì)沉降趨勢(shì)不明顯的序列，灰色模型和時(shí)間序列的組合模型的預(yù)測(cè)精度還有待進(jìn)一步研究。

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