奇異函數(shù)能量法在分析梁自振頻率中的應(yīng)用

丁婷+丁圣果+姜宇

摘 要：在實(shí)際工程中，很多情況要計(jì)算梁的自振頻率，本文在已有的計(jì)算方法上加以總結(jié)，應(yīng)用奇異函數(shù)表達(dá)變截面梁的慣性矩I（x）及質(zhì)量分布集度m（x），采用能量法可較方便計(jì)算梁的自振頻率，給出的滿足各種邊界條件的振型函數(shù)便于讀者使用。本文將不同算例的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析，研究結(jié)果表明，采用不同振型函數(shù)所得的計(jì)算結(jié)果相差在±5%范圍，用以估計(jì)變截面梁基頻的上限值是工程上可接受的。

關(guān)鍵詞：奇異函數(shù)；能量法；自振基頻；變截面梁；振型函數(shù)

能量法在工程中的應(yīng)用[1][2]很普遍，通過用奇異函數(shù)能量法來分析梁的頻率，得到一個(gè)合理的結(jié)果，對促進(jìn)建筑工程的發(fā)展將起到很大的作用。

對于變截面梁，無論梁上的慣性矩I和質(zhì)量 分布度m是隨截面位置變量x連續(xù)變化還是分段突變（圖1），這兩個(gè)量均可用奇異函數(shù)表示[4]：

1.計(jì)算自振基頻的能量法

根據(jù)自由振動(dòng)的能量特征，梁振動(dòng)基頻的能量法計(jì)算式為[3]：

（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇異函數(shù)的積分采用下式[2]

2. 梁的振型函數(shù)

振型函數(shù) 即桿件振動(dòng)時(shí)軸線的曲線函數(shù)形式，一般均為由初等函數(shù)構(gòu)造的連續(xù)函數(shù)，針對單跨梁按基頻自振問題，表一給出不同支承條件下 的函數(shù)形式。關(guān)于振型函數(shù) 有必要作以下說明：

2.1 必須是滿足梁端位移邊界條件的連續(xù)函數(shù)

2.2 應(yīng)盡可能不要隱含違反梁端的力邊界條件的形式。

例如，對于梁左端鉸支的情況應(yīng)有 ， ，表明梁端彎矩為零，轉(zhuǎn)角不為零。對于幾何關(guān)于梁跨中垂線對稱的梁，應(yīng)有 ，

對于梁左端固支的情況應(yīng)有 ， ，表明梁端彎矩不為零，轉(zhuǎn)角為零。對于幾何關(guān)于梁跨中垂線對稱的梁，應(yīng)有 。

2.3 對于端部約束較復(fù)雜的梁，可采用四項(xiàng)幕函數(shù)疊加的形式逼近振型[3]：

2.4無論梁段上如何變截面，其振型函數(shù) 的連續(xù)性是存在的，且滿足條件（1）（2）的初等函數(shù)并不難設(shè)定。

我們的眾多算例表明，具有相同端部約束條件及相同梁段幾何特征的梁，采用不同振型函數(shù)計(jì)算結(jié)果相差在±5%，且與精確解誤差 。

算例

算例一：分段等截面簡支梁（見圖4），各段矩形截面高（垂直于紙面方向尺寸）相同，計(jì)算垂直于紙面方向的自振頻率。

采用不同振型函數(shù)的計(jì)算結(jié)果相差1.4%。

算例二：簡支魚腹梁，矩形截面寬（垂直于紙面尺寸相同），求豎向自振頻率。

設(shè)振型函數(shù)為正弦曲線：

魚腹段的變截面梁高也為正弦曲線：

4.結(jié)論

4.1奇異函數(shù)因具備表達(dá)非連續(xù)物理量的強(qiáng)勁功能在經(jīng)典力學(xué)中已得到廣泛應(yīng)用[5][6][7]。

4.2對于變截面梁，無論其習(xí)慣性矩I和分布質(zhì)量m隨截面位置x連續(xù)變化還是分段突變，這兩個(gè)量均可采用奇異函數(shù)在全梁段的定義域上表示。設(shè)定滿足梁端邊界條件的振型函數(shù)后，梁的自振頻率即可用常規(guī)積分求得。

4.3 為求得基頻，振型曲線宜簡單，盡可能少捌點(diǎn)，采用不同振型函數(shù) 所得結(jié)果相差在±3%范圍。

4.4 基于振動(dòng)時(shí)的勢能泛函極值原理，所得結(jié)果為頻率上限解。

參考文獻(xiàn)

[1] 周勇軍、張曉棟.高墩連續(xù)剛構(gòu)橋縱向振動(dòng)基頻的能量法計(jì)算公式《長安大學(xué)學(xué)報(bào)》[J]？2013，03：p52-58

[2] 張榮山、劉兵.計(jì)算梁自振頻率的幾種簡化實(shí)用方法 特種結(jié)構(gòu)[J]2002年01期

[3] 丁圣果.分析結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].貴州科技出版社 2010.12

[4] 王燮山.奇異函數(shù)及其在力學(xué)中的應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，1993.12

[5] 丁圣果.奇異函數(shù)力法在在分析框-剪結(jié)構(gòu)抗側(cè)作用效應(yīng)中的應(yīng)用[J] 建筑技術(shù)開發(fā).2004.9vol 31 no 9 71-74

[6] 丁圣果 李綺文 高層建筑水平加強(qiáng)層作用初探[J] 工程力學(xué).1996增刊 537-540

[7] 鄭濤、丁圣果.用奇異函數(shù)方法計(jì)算階梯形變截面條形基礎(chǔ) 貴州工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102

[8] 焦春節(jié)、丁潔民.體外預(yù)應(yīng)力鋼-混凝土組合連續(xù)梁自振頻率分析[J]工程力學(xué)2011，02期：193-197

[9] 王佳偉、賈艷敏.預(yù)應(yīng)力簡支鋼箱梁自振頻率研究[J]工程力學(xué)，2009，26（1）：p120-124

[10] 熊輝霞、張耀庭 體外預(yù)應(yīng)力混凝土梁自振頻率分析[J]工程力學(xué)2008，25，S2期：173-176

摘 要：在實(shí)際工程中，很多情況要計(jì)算梁的自振頻率，本文在已有的計(jì)算方法上加以總結(jié)，應(yīng)用奇異函數(shù)表達(dá)變截面梁的慣性矩I（x）及質(zhì)量分布集度m（x），采用能量法可較方便計(jì)算梁的自振頻率，給出的滿足各種邊界條件的振型函數(shù)便于讀者使用。本文將不同算例的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析，研究結(jié)果表明，采用不同振型函數(shù)所得的計(jì)算結(jié)果相差在±5%范圍，用以估計(jì)變截面梁基頻的上限值是工程上可接受的。

關(guān)鍵詞：奇異函數(shù)；能量法；自振基頻；變截面梁；振型函數(shù)

能量法在工程中的應(yīng)用[1][2]很普遍，通過用奇異函數(shù)能量法來分析梁的頻率，得到一個(gè)合理的結(jié)果，對促進(jìn)建筑工程的發(fā)展將起到很大的作用。

對于變截面梁，無論梁上的慣性矩I和質(zhì)量 分布度m是隨截面位置變量x連續(xù)變化還是分段突變（圖1），這兩個(gè)量均可用奇異函數(shù)表示[4]：

1.計(jì)算自振基頻的能量法

根據(jù)自由振動(dòng)的能量特征，梁振動(dòng)基頻的能量法計(jì)算式為[3]：

（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇異函數(shù)的積分采用下式[2]

2. 梁的振型函數(shù)

振型函數(shù) 即桿件振動(dòng)時(shí)軸線的曲線函數(shù)形式，一般均為由初等函數(shù)構(gòu)造的連續(xù)函數(shù)，針對單跨梁按基頻自振問題，表一給出不同支承條件下 的函數(shù)形式。關(guān)于振型函數(shù) 有必要作以下說明：

2.1 必須是滿足梁端位移邊界條件的連續(xù)函數(shù)

2.2 應(yīng)盡可能不要隱含違反梁端的力邊界條件的形式。

例如，對于梁左端鉸支的情況應(yīng)有 ， ，表明梁端彎矩為零，轉(zhuǎn)角不為零。對于幾何關(guān)于梁跨中垂線對稱的梁，應(yīng)有 ，

對于梁左端固支的情況應(yīng)有 ， ，表明梁端彎矩不為零，轉(zhuǎn)角為零。對于幾何關(guān)于梁跨中垂線對稱的梁，應(yīng)有 。

2.3 對于端部約束較復(fù)雜的梁，可采用四項(xiàng)幕函數(shù)疊加的形式逼近振型[3]：

2.4無論梁段上如何變截面，其振型函數(shù) 的連續(xù)性是存在的，且滿足條件（1）（2）的初等函數(shù)并不難設(shè)定。

我們的眾多算例表明，具有相同端部約束條件及相同梁段幾何特征的梁，采用不同振型函數(shù)計(jì)算結(jié)果相差在±5%，且與精確解誤差 。

算例

算例一：分段等截面簡支梁（見圖4），各段矩形截面高（垂直于紙面方向尺寸）相同，計(jì)算垂直于紙面方向的自振頻率。

采用不同振型函數(shù)的計(jì)算結(jié)果相差1.4%。

算例二：簡支魚腹梁，矩形截面寬（垂直于紙面尺寸相同），求豎向自振頻率。

設(shè)振型函數(shù)為正弦曲線：

魚腹段的變截面梁高也為正弦曲線：

4.結(jié)論

4.1奇異函數(shù)因具備表達(dá)非連續(xù)物理量的強(qiáng)勁功能在經(jīng)典力學(xué)中已得到廣泛應(yīng)用[5][6][7]。

4.2對于變截面梁，無論其習(xí)慣性矩I和分布質(zhì)量m隨截面位置x連續(xù)變化還是分段突變，這兩個(gè)量均可采用奇異函數(shù)在全梁段的定義域上表示。設(shè)定滿足梁端邊界條件的振型函數(shù)后，梁的自振頻率即可用常規(guī)積分求得。

4.3 為求得基頻，振型曲線宜簡單，盡可能少捌點(diǎn)，采用不同振型函數(shù) 所得結(jié)果相差在±3%范圍。

4.4 基于振動(dòng)時(shí)的勢能泛函極值原理，所得結(jié)果為頻率上限解。

參考文獻(xiàn)

[1] 周勇軍、張曉棟.高墩連續(xù)剛構(gòu)橋縱向振動(dòng)基頻的能量法計(jì)算公式《長安大學(xué)學(xué)報(bào)》[J]？2013，03：p52-58

[2] 張榮山、劉兵.計(jì)算梁自振頻率的幾種簡化實(shí)用方法 特種結(jié)構(gòu)[J]2002年01期

[3] 丁圣果.分析結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].貴州科技出版社 2010.12

[4] 王燮山.奇異函數(shù)及其在力學(xué)中的應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，1993.12

[5] 丁圣果.奇異函數(shù)力法在在分析框-剪結(jié)構(gòu)抗側(cè)作用效應(yīng)中的應(yīng)用[J] 建筑技術(shù)開發(fā).2004.9vol 31 no 9 71-74

[6] 丁圣果 李綺文 高層建筑水平加強(qiáng)層作用初探[J] 工程力學(xué).1996增刊 537-540

[7] 鄭濤、丁圣果.用奇異函數(shù)方法計(jì)算階梯形變截面條形基礎(chǔ) 貴州工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102

[8] 焦春節(jié)、丁潔民.體外預(yù)應(yīng)力鋼-混凝土組合連續(xù)梁自振頻率分析[J]工程力學(xué)2011，02期：193-197

[9] 王佳偉、賈艷敏.預(yù)應(yīng)力簡支鋼箱梁自振頻率研究[J]工程力學(xué)，2009，26（1）：p120-124

[10] 熊輝霞、張耀庭 體外預(yù)應(yīng)力混凝土梁自振頻率分析[J]工程力學(xué)2008，25，S2期：173-176

摘 要：在實(shí)際工程中，很多情況要計(jì)算梁的自振頻率，本文在已有的計(jì)算方法上加以總結(jié)，應(yīng)用奇異函數(shù)表達(dá)變截面梁的慣性矩I（x）及質(zhì)量分布集度m（x），采用能量法可較方便計(jì)算梁的自振頻率，給出的滿足各種邊界條件的振型函數(shù)便于讀者使用。本文將不同算例的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析，研究結(jié)果表明，采用不同振型函數(shù)所得的計(jì)算結(jié)果相差在±5%范圍，用以估計(jì)變截面梁基頻的上限值是工程上可接受的。

關(guān)鍵詞：奇異函數(shù)；能量法；自振基頻；變截面梁；振型函數(shù)

能量法在工程中的應(yīng)用[1][2]很普遍，通過用奇異函數(shù)能量法來分析梁的頻率，得到一個(gè)合理的結(jié)果，對促進(jìn)建筑工程的發(fā)展將起到很大的作用。

對于變截面梁，無論梁上的慣性矩I和質(zhì)量 分布度m是隨截面位置變量x連續(xù)變化還是分段突變（圖1），這兩個(gè)量均可用奇異函數(shù)表示[4]：

1.計(jì)算自振基頻的能量法

根據(jù)自由振動(dòng)的能量特征，梁振動(dòng)基頻的能量法計(jì)算式為[3]：

（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇異函數(shù)的積分采用下式[2]

2. 梁的振型函數(shù)

振型函數(shù) 即桿件振動(dòng)時(shí)軸線的曲線函數(shù)形式，一般均為由初等函數(shù)構(gòu)造的連續(xù)函數(shù)，針對單跨梁按基頻自振問題，表一給出不同支承條件下 的函數(shù)形式。關(guān)于振型函數(shù) 有必要作以下說明：

2.1 必須是滿足梁端位移邊界條件的連續(xù)函數(shù)

2.2 應(yīng)盡可能不要隱含違反梁端的力邊界條件的形式。

例如，對于梁左端鉸支的情況應(yīng)有 ， ，表明梁端彎矩為零，轉(zhuǎn)角不為零。對于幾何關(guān)于梁跨中垂線對稱的梁，應(yīng)有 ，

對于梁左端固支的情況應(yīng)有 ， ，表明梁端彎矩不為零，轉(zhuǎn)角為零。對于幾何關(guān)于梁跨中垂線對稱的梁，應(yīng)有 。

2.3 對于端部約束較復(fù)雜的梁，可采用四項(xiàng)幕函數(shù)疊加的形式逼近振型[3]：

2.4無論梁段上如何變截面，其振型函數(shù) 的連續(xù)性是存在的，且滿足條件（1）（2）的初等函數(shù)并不難設(shè)定。

我們的眾多算例表明，具有相同端部約束條件及相同梁段幾何特征的梁，采用不同振型函數(shù)計(jì)算結(jié)果相差在±5%，且與精確解誤差 。

算例

算例一：分段等截面簡支梁（見圖4），各段矩形截面高（垂直于紙面方向尺寸）相同，計(jì)算垂直于紙面方向的自振頻率。

采用不同振型函數(shù)的計(jì)算結(jié)果相差1.4%。

算例二：簡支魚腹梁，矩形截面寬（垂直于紙面尺寸相同），求豎向自振頻率。

設(shè)振型函數(shù)為正弦曲線：

魚腹段的變截面梁高也為正弦曲線：

4.結(jié)論

4.1奇異函數(shù)因具備表達(dá)非連續(xù)物理量的強(qiáng)勁功能在經(jīng)典力學(xué)中已得到廣泛應(yīng)用[5][6][7]。

4.2對于變截面梁，無論其習(xí)慣性矩I和分布質(zhì)量m隨截面位置x連續(xù)變化還是分段突變，這兩個(gè)量均可采用奇異函數(shù)在全梁段的定義域上表示。設(shè)定滿足梁端邊界條件的振型函數(shù)后，梁的自振頻率即可用常規(guī)積分求得。

4.3 為求得基頻，振型曲線宜簡單，盡可能少捌點(diǎn)，采用不同振型函數(shù) 所得結(jié)果相差在±3%范圍。

4.4 基于振動(dòng)時(shí)的勢能泛函極值原理，所得結(jié)果為頻率上限解。

參考文獻(xiàn)

[1] 周勇軍、張曉棟.高墩連續(xù)剛構(gòu)橋縱向振動(dòng)基頻的能量法計(jì)算公式《長安大學(xué)學(xué)報(bào)》[J]？2013，03：p52-58

[2] 張榮山、劉兵.計(jì)算梁自振頻率的幾種簡化實(shí)用方法 特種結(jié)構(gòu)[J]2002年01期

[3] 丁圣果.分析結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].貴州科技出版社 2010.12

[4] 王燮山.奇異函數(shù)及其在力學(xué)中的應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，1993.12

[5] 丁圣果.奇異函數(shù)力法在在分析框-剪結(jié)構(gòu)抗側(cè)作用效應(yīng)中的應(yīng)用[J] 建筑技術(shù)開發(fā).2004.9vol 31 no 9 71-74

[6] 丁圣果 李綺文 高層建筑水平加強(qiáng)層作用初探[J] 工程力學(xué).1996增刊 537-540

[7] 鄭濤、丁圣果.用奇異函數(shù)方法計(jì)算階梯形變截面條形基礎(chǔ) 貴州工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102

[8] 焦春節(jié)、丁潔民.體外預(yù)應(yīng)力鋼-混凝土組合連續(xù)梁自振頻率分析[J]工程力學(xué)2011，02期：193-197

[9] 王佳偉、賈艷敏.預(yù)應(yīng)力簡支鋼箱梁自振頻率研究[J]工程力學(xué)，2009，26（1）：p120-124

[10] 熊輝霞、張耀庭 體外預(yù)應(yīng)力混凝土梁自振頻率分析[J]工程力學(xué)2008，25，S2期：173-176