以“數(shù)與代數(shù)”為例談“問(wèn)題解決”的編排特點(diǎn)

武維民+高冬梅

問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力有著重要的意義。在新課改背景下，問(wèn)題解決的編排有什么特點(diǎn)呢？現(xiàn)以人教版、北師大版和北京版三個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，對(duì)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的“問(wèn)題解決”這一教學(xué)內(nèi)容做簡(jiǎn)單梳理。

一、以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為線索

數(shù)學(xué)課程要關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)體驗(yàn)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的重要理念之一。教材從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)為線索，注重與日常生活、現(xiàn)實(shí)空間的聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生感興趣的、有數(shù)學(xué)價(jià)值的生活情境，使學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。

1.學(xué)校中的問(wèn)題。

教材中創(chuàng)設(shè)了學(xué)生在學(xué)校的生活情境，如課堂活動(dòng)、做值日、運(yùn)動(dòng)會(huì)、衛(wèi)生評(píng)比、參觀、春游等，這些都是和學(xué)生聯(lián)系最密切的活動(dòng)。

如：人教版第三冊(cè)第23頁(yè)學(xué)習(xí)“求比一個(gè)數(shù)多幾或少幾的數(shù)是多少”，教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)校中常見(jiàn)的“二年級(jí)衛(wèi)生評(píng)比”的情境，讓學(xué)生通過(guò)觀察各班級(jí)獲得的小紅旗的數(shù)目來(lái)提出并解決問(wèn)題；北京版第九冊(cè)第29頁(yè)例1學(xué)習(xí)“三步計(jì)算應(yīng)用題”，教材創(chuàng)設(shè)了“五年級(jí)兩個(gè)班護(hù)理草坪”的情境，通過(guò)學(xué)生的對(duì)話呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息。

2.家庭中的問(wèn)題。

家庭是學(xué)生獲得生活經(jīng)驗(yàn)的主要場(chǎng)所，因此，在教材中，安排了許多家庭生活的情境，利于學(xué)生運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題。

如：北師大版第四冊(cè)第80頁(yè)“三位數(shù)加減混合計(jì)算”，教材安排了“攢錢買洗衣機(jī)”的問(wèn)題情境：小明想給奶奶買洗衣機(jī)，先了解洗衣機(jī)的價(jià)錢、爸媽的收入、家庭每月的支出，然后計(jì)算每月結(jié)余，再算需要攢幾個(gè)月的錢才能買得起洗衣機(jī)。這是一個(gè)較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，對(duì)二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，所以需要學(xué)生能聯(lián)系自己家的情況去理解這個(gè)問(wèn)題，從而一步步分析、解決。人教版第九冊(cè)學(xué)習(xí)“小數(shù)除法”，教材安排了“媽媽把香油分裝在玻璃瓶里”的情境，學(xué)生很容易就能理解除法的意義。

3.社會(huì)中的問(wèn)題。

除了學(xué)校、家庭中的問(wèn)題，還有學(xué)生感興趣的社會(huì)問(wèn)題，如體育中的問(wèn)題、理財(cái)中的問(wèn)題、關(guān)于小動(dòng)物的問(wèn)題等。

如：北師大版第八冊(cè)第76頁(yè)提供了“奧運(yùn)”信息，其中射擊、跳水、田徑等都是學(xué)生感興趣的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與體育之間的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；北京版第十一冊(cè)第52頁(yè)“利率問(wèn)題”，教材創(chuàng)設(shè)了“辦理存款”的情境，讓學(xué)生通過(guò)觀察存款單，提出并解決一些關(guān)于存款利息的問(wèn)題。

二、以數(shù)的運(yùn)算意義體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系為線索

把數(shù)的運(yùn)算意義體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系和問(wèn)題解決放在一起呈現(xiàn)是教材的又一特點(diǎn)。學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中要學(xué)習(xí)新的運(yùn)算及計(jì)算方法，在一般意義上，教材總是按照從加減到乘除、從一步運(yùn)算到兩步運(yùn)算、從整數(shù)到小數(shù)再到分?jǐn)?shù)、從算術(shù)解法到方程解法、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的規(guī)律進(jìn)行安排的。教材在編排計(jì)算教學(xué)時(shí)，都是從實(shí)際問(wèn)題引入，出現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的情境，通過(guò)探索提出問(wèn)題，根據(jù)四則運(yùn)算的意義列出算式，再應(yīng)用計(jì)算知識(shí)來(lái)解決，這樣就使問(wèn)題解決與計(jì)算教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)了。對(duì)于兩步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，有效地借助情境可以幫助學(xué)生很好地理解運(yùn)算順序的合理性，計(jì)算教學(xué)會(huì)因問(wèn)題解決而更加精彩，這份精彩不僅僅體現(xiàn)在學(xué)生在問(wèn)題解決的實(shí)踐中感知運(yùn)算順序，更重要的是學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中體驗(yàn)計(jì)算與生活的密切聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美，使原本枯燥的數(shù)學(xué)運(yùn)算煥發(fā)出新的活力。

如：北京版第三冊(cè)第12頁(yè)“乘法的計(jì)算”，教材安排了“小朋友劃船”的情境，通過(guò)觀察，有4條小船，每條船上都有5名小朋友，求4個(gè)5是多少，學(xué)生可以用加法計(jì)算，也可以用乘法計(jì)算，從而理解乘法的意義；人教版第四冊(cè)第47頁(yè)學(xué)習(xí)“兩步加減混合的實(shí)際問(wèn)題”，教材安排了“小朋友在圖書(shū)閱覽室看書(shū)”的情境，告訴我們上午有53人，中午走了24人，下午又來(lái)了38人，還要通過(guò)觀察圖發(fā)現(xiàn)有14名小朋友加入，求閱覽室下午有多少人。借助情境，學(xué)生可以很好地運(yùn)用兩種思路解決問(wèn)題，同時(shí)也能較好地理解兩種思路的意義以及計(jì)算的順序。

三、以問(wèn)題解決的策略為線索

問(wèn)題解決活動(dòng)的價(jià)值不只是獲得具體問(wèn)題的解，更重要的是讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中獲得發(fā)展，其中重要的一點(diǎn)在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些問(wèn)題解決的基本策略，體驗(yàn)問(wèn)題解決策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己?jiǎn)栴}解決的某些策略。教材都重視鼓勵(lì)學(xué)生探索合理的問(wèn)題解決策略，并加以交流。列表法、畫(huà)圖法、嘗試與猜測(cè)法、列方程法等都是學(xué)生要掌握的常用的解題策略。特別是在第二學(xué)段中，教材借助一些生動(dòng)有趣的素材，對(duì)一些解決問(wèn)題的策略進(jìn)行了適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)。

例如：北師大版第九冊(cè)第99頁(yè)的“雞兔同籠”問(wèn)題，教材中呈現(xiàn)的是假設(shè)法，通過(guò)列表尋找問(wèn)題解決的答案。這可以是常規(guī)的列舉法，逐一列舉直至尋找到所求的答案；也可以先估計(jì)雞與兔數(shù)量的可能范圍，以減少列舉的次數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)大了的時(shí)候可以采用取中列舉的方法，這樣可以大大縮小列舉的范圍。教材選取這部分內(nèi)容主要不是為了解決“雞兔同籠”問(wèn)題本身，而是要借助“雞兔同籠”這個(gè)載體，讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過(guò)程，從中體會(huì)解決問(wèn)題的一般策略——列表，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和估算能力，使學(xué)生經(jīng)歷建立假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)的過(guò)程，發(fā)展自己的判斷能力。

四、以問(wèn)題解決的全過(guò)程為線索

問(wèn)題解決首先需要學(xué)生具有數(shù)學(xué)的眼光，能識(shí)別存在于日常生活、自然現(xiàn)象中的及其與其他學(xué)科的數(shù)量關(guān)系，并把它們提煉出來(lái)，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行分析，然后綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)和技能加以解決。教材都注重學(xué)生問(wèn)題解決的過(guò)程。

1.從生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

教材特別重視學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)，例題或練習(xí)題一般展示的都是含有數(shù)學(xué)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)情境，使學(xué)生體會(huì)到現(xiàn)實(shí)生活中存在著許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。現(xiàn)實(shí)生活是豐富多彩的，媒體、對(duì)話、標(biāo)牌、廣告等都是我們獲得數(shù)學(xué)信息的重要途徑。這就決定了數(shù)學(xué)信息呈現(xiàn)方式的多樣化，文字、表格、圖畫(huà)等都是幾套教材采用的重要的信息呈現(xiàn)方式。同時(shí)，數(shù)學(xué)信息往往又是雜亂的，有時(shí)存在多余的信息，有時(shí)又信息不足，這就需要學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行選擇和加工，在理解的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

如：北京版第九冊(cè)第30頁(yè)例2呈現(xiàn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：媽媽和芳芳去爬山，媽媽說(shuō)“我們已經(jīng)走了6千米”，芳芳說(shuō)“平均每小時(shí)走5千米，總共需要1.5小時(shí)能到達(dá)山頂”，讓學(xué)生根據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。這是我們生活中常遇到的問(wèn)題，所以學(xué)生比較容易提出問(wèn)題：全程多少千米？還要走多少千米到達(dá)山頂？還要多長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)山頂？……

2.注重分析、探索問(wèn)題解決的方法。

在解決具體問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要觀察、搜集信息，接著通過(guò)實(shí)際操作、思考討論尋找問(wèn)題中隱含的數(shù)量關(guān)系。北師大版第十冊(cè)“數(shù)學(xué)與交通”單元學(xué)習(xí)“相遇問(wèn)題”，教材創(chuàng)設(shè)了“送材料”的情境，通過(guò)簡(jiǎn)單的路線圖和文字介紹呈現(xiàn)了速度、路程等信息，要求學(xué)生根據(jù)這些信息解決問(wèn)題。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中可以運(yùn)用多種策略：根據(jù)信息估計(jì)相遇的地點(diǎn)，畫(huà)線段圖理解題意，找出速度、路程、時(shí)間三者間的等量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用方程來(lái)解決，將“逆向”轉(zhuǎn)化為“順向”，從而使學(xué)生體會(huì)用方程來(lái)解決問(wèn)題比較簡(jiǎn)便。

3.強(qiáng)調(diào)對(duì)問(wèn)題的解加以驗(yàn)證。

教材強(qiáng)調(diào)對(duì)問(wèn)題的解加以檢驗(yàn)，不僅要檢驗(yàn)其正確與否，還要考查它是否符合實(shí)際，這有利于學(xué)生真正學(xué)會(huì)“具體問(wèn)題具體分析”。

人教版第十冊(cè)學(xué)習(xí)“同分母分?jǐn)?shù)加減法”，通過(guò)計(jì)算得出爸爸、媽媽吃了4/8張餅，然后通過(guò)圖解驗(yàn)證答案是正確的，有利于學(xué)生理解同分母分?jǐn)?shù)相加的算理。北京版第七冊(cè)第31頁(yè)學(xué)習(xí)“乘法分配律”，教材提供了兩種不同的計(jì)算思路，結(jié)果相同，讓學(xué)生體會(huì)到不同的解題思路可以互相驗(yàn)證。

通過(guò)梳理教材，我們可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題解決主要包括兩個(gè)要素：一個(gè)是“問(wèn)題”，一個(gè)是“解決”。因此，問(wèn)題解決主要具有以下兩個(gè)特征：第一，具有真實(shí)的問(wèn)題情境，是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，并非人為編造的。問(wèn)題還應(yīng)當(dāng)具有一定的探索性，解決它沒(méi)有現(xiàn)成的方法和程序，而需要發(fā)揮學(xué)生的思考力和創(chuàng)造力。同時(shí)，問(wèn)題應(yīng)具有適當(dāng)?shù)拈_(kāi)放性，這種開(kāi)放性并不一定表現(xiàn)在答案的多樣性上，更為重要的是問(wèn)題能使所有的學(xué)生都嘗試解決，不同的學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中都能獲得發(fā)展。第二，重視解決問(wèn)題的過(guò)程。解決問(wèn)題本身就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，是人們利用已有的經(jīng)驗(yàn)尋求問(wèn)題答案的過(guò)程。所以，解決問(wèn)題要特別強(qiáng)調(diào)方法與策略，強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題的方法的多樣性，而不是過(guò)分強(qiáng)調(diào)列出怎樣的算式。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題解決過(guò)程為明確題意、提出問(wèn)題—分析數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型—尋找解決問(wèn)題的策略、確定解決問(wèn)題的方案—檢驗(yàn)與反思。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的問(wèn)題解決就是讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)生活，把現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用一些基本的問(wèn)題解決的策略獲得問(wèn)題的答案的過(guò)程。

注：本文系北京市中小學(xué)名師發(fā)展工程成果

（作者單位：北京市北京小學(xué)長(zhǎng)陽(yáng)分校，北京市房山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）