問題解決因充滿“創(chuàng)造”而精彩

趙玉城，甘肅省定西市第一中學(xué)教研室主任，甘肅省特級教師。主持完成“數(shù)學(xué)思維教育研究”等省級課題3項(xiàng)，均獲“甘肅省基礎(chǔ)教育優(yōu)秀科研成果獎”：參與完成（材料統(tǒng)籌）甘肅省專項(xiàng)課題、規(guī)劃課題3項(xiàng)：主持完成全國教育科學(xué)“十五”規(guī)劃重點(diǎn)課題《數(shù)學(xué)教學(xué)綜合評價(jià)的方法與策略》子課題“構(gòu)建課堂評價(jià)體系促進(jìn)教師能力發(fā)展研究”工作：發(fā)表論文40余篇：曾被中國數(shù)學(xué)會評為“優(yōu)秀教練員”，榮獲國家中學(xué)數(shù)學(xué)教育最高獎——蘇步青數(shù)學(xué)教育獎。

問題解決不僅是一項(xiàng)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，還是一個發(fā)現(xiàn)與探索的過程，又是一個使學(xué)生實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”的過程，讓學(xué)生借此過程可以認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)。同時，問題解決也是我們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育目的的重要手段。此時，問題解決就獨(dú)立于一般的具體數(shù)學(xué)內(nèi)容而成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生探索問題的能力和勤于思考的良好習(xí)慣，對學(xué)生的健康發(fā)展大有好處，而創(chuàng)造性思維的發(fā)掘又是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和刻苦鉆研精神的基礎(chǔ)。

一、問題解決是一種適宜的教學(xué)形式

數(shù)學(xué)教育的目的并不僅僅是為了學(xué)生學(xué)到一些數(shù)學(xué)知識，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會在這個充滿疑問、有時連問題和答案都不是確定的世界里生存的本領(lǐng)。

對問題解決過程的探討歷來受到許多哲學(xué)家和心理學(xué)家的高度重視，就數(shù)學(xué)解題過程來說，波利亞將其分為：弄清題意、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧四個階段并制訂出相應(yīng)的解題表。盡管有些數(shù)學(xué)家、教育家對它做過一些改進(jìn)，但都沒有超出它的范圍。波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)造活動，不要把數(shù)學(xué)理解為一種常規(guī)的、形式主義的演繹學(xué)科，而應(yīng)類似于自然科學(xué)，它取決于猜想、頓悟和發(fā)現(xiàn)。他認(rèn)為，問題解決是一種“實(shí)踐的藝術(shù)”，問題解決技術(shù)應(yīng)該由教師闡明，并和學(xué)生一起討論。

現(xiàn)代的數(shù)學(xué)觀已由靜態(tài)的數(shù)學(xué)觀向動態(tài)的數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)變，應(yīng)把它看成是一種人類活動和文化過程。它不再是概念、定理等各種數(shù)學(xué)事實(shí)的簡單堆積，而是由問題、語言、命題、方法、核心思想、數(shù)學(xué)傳統(tǒng)、啟發(fā)性成分等組成的復(fù)合體。問題和問題解決都是數(shù)學(xué)活動的核心所在。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是在一定的共同體下參與交流、討論、批評和反思的過程，而問題解決無疑是一種適宜的教學(xué)形式。

二、問題解決中的創(chuàng)造性思維及主要表現(xiàn)形式

問題解決作為一種適宜的教學(xué)形式，總是有不斷改進(jìn)和追求的目標(biāo)。除了掌握基礎(chǔ)知識，人們更關(guān)注“少投入多產(chǎn)出”的效果，甚至通過一定的基礎(chǔ)與技能開創(chuàng)新領(lǐng)域。這就必須具有開創(chuàng)意義的思維活動——創(chuàng)造性思維。廣義上講，創(chuàng)造性思維不僅表現(xiàn)為作出了完整的新發(fā)現(xiàn)、新發(fā)明的思維過程，而且還表現(xiàn)為在思考的方法和技巧上，在某些局部的結(jié)論和見解上，具有新奇獨(dú)到的思維活動。

其關(guān)鍵在于怎樣具體地進(jìn)行創(chuàng)新性思維，在于多角度、多側(cè)面、多方向地看待和處理事物。在中學(xué)數(shù)學(xué)教和學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)，其核心突出地表現(xiàn)為：對問題的加工、對解決方案的選擇和對整個過程的監(jiān)控與及時調(diào)節(jié)。具體講，就是整個教學(xué)活動圍繞材料的組織化、邏輯化、數(shù)學(xué)化、內(nèi)化展開，教師則要承擔(dān)起各個環(huán)節(jié)的引領(lǐng)與時機(jī)掌控。

1.聯(lián)想思維

聯(lián)想是每一個正常人都具有的思維本能。由于有些概念、現(xiàn)象往往在時空中伴隨出現(xiàn)，或表現(xiàn)出某種對應(yīng)關(guān)系，被人腦以一種特定的記憶模式接受，并以特定的記憶表象結(jié)構(gòu)儲存在大腦中，一旦以后遇到其中一類似情形時，大腦就會自動地搜尋過去確定的聯(lián)系，從而聯(lián)想到不在現(xiàn)場的或眼前沒有發(fā)生的另外一些概念或現(xiàn)象。

案例一：源于生活實(shí)際的“超范圍”問題求解

例1：在一個有n（n≥2）人參加的畢業(yè)聯(lián)歡晚會上，學(xué)生間均要互贈相片一張，問這個晚會上互贈的相片共有多少張？該問題對于未學(xué)過“排列”的學(xué)生而言，屬“超范圍”問題。我們可按布魯納的觀點(diǎn)，設(shè)計(jì)個初中生比較熟悉也易于接受的模型。

思路1：提示，如這幾名同學(xué)站在n邊形n個頂點(diǎn)（n≥3）會想到什么？（馬上有學(xué)生聯(lián)想到這與n邊形的邊及對角線條數(shù)有關(guān)）；再問，n=2時成立嗎？（注意求解的完備幽。

思路2：構(gòu)造圖表，只需要考慮目標(biāo)“元素”與“行數(shù)”關(guān)系，這是個非常簡單的方案（此略）。

很明顯，如能在所給坐標(biāo)平面內(nèi)得到方程，問題即可獲解。但是，這種“位置”的橢圓沒有學(xué)生學(xué)過。事實(shí)上，橢圓所處位置與“坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)”有關(guān)?，F(xiàn)行課本沒有列入這一內(nèi)容，因而使學(xué)生的思維受阻。

教師提示：通過題設(shè)與結(jié)論的分析，對點(diǎn)的位置描述方法可以改進(jìn)（調(diào)整）嗎？學(xué)生：選用極坐標(biāo)系，就能獲解（此略）。

可見，“超范圍”問題的處理是恰當(dāng)?shù)刈儞Q問題。其實(shí)，兩個坐標(biāo)系都屬于學(xué)生掌握的，之所以將其定位于“超范圍”，是由于開始給出的直角坐標(biāo)系以及長時間的應(yīng)用把他“固化了”。

3.側(cè)向思維

當(dāng)我們在一定的條件下解決不了問題，或雖能解決但只是用習(xí)以為常的方案時，可以用側(cè)向思維來產(chǎn)生創(chuàng)新性的突破。具體運(yùn)用方式有以下兩種。

一是側(cè)向移入，即擺脫習(xí)慣性思維，側(cè)視其他方向，將注意力引向更廣闊的領(lǐng)域。二是側(cè)向轉(zhuǎn)換，即不按最初設(shè)想或常規(guī)直接解決問題，而是將問題轉(zhuǎn)換成為其側(cè)面的其他問題，或?qū)⒔鉀Q問題的手段轉(zhuǎn)為側(cè)面的其他手段等。

案例三：換位思考2例

學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等差中項(xiàng)以后，特意安排了下面的問題。

學(xué)生運(yùn)用了判別式，進(jìn)行了這樣的分類：①兩根均為正；②兩根中一正一負(fù)；③兩根中一正一零。

有一部分學(xué)生已經(jīng)將③“遺忘”（節(jié)點(diǎn)處教師要提醒）了，運(yùn)算的繁雜、結(jié)果的“多元”，使學(xué)生的積極性再次受挫。至此，如果僅僅“質(zhì)疑”運(yùn)算能力，是不可取的，若有強(qiáng)大的刺激或進(jìn)行正確的引導(dǎo)，必然帶來思維的變革。

師：“方程至少有一個正根”的反面可以研究一下嗎？

（學(xué)生茫然。教師堅(jiān)持）

生：方程兩根均為負(fù)數(shù)或兩根中一負(fù)一零。

師：二者有關(guān)嗎？

（有的學(xué)生已經(jīng)悟出了“內(nèi)幕”。）

生：想到了求補(bǔ)集。

師：請給出答案（目的是與前者做出“自醒性”比較）。

以上過程體現(xiàn)的核心價(jià)值觀并不只是對“補(bǔ)集”的實(shí)驗(yàn)，重要的是運(yùn)用了逆向思維方法，從而從兩極世界中的另一極披露出事物的本質(zhì)，彌補(bǔ)了單向思維的不足。

三、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的基本途徑

1.關(guān)注知識發(fā)生過程

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)把握創(chuàng)新思維培養(yǎng)契機(jī)，通過創(chuàng)設(shè)問題情景、展示知識背景，使學(xué)生感受整個思維過程。

如函數(shù)概念是初中階段最抽象的概念之一，升入高中后大部分學(xué)生對此概念仍模糊不清，尤其對函數(shù)圖像概念的理解更是一頭霧水，這將直接影響學(xué)生利用函數(shù)圖像解決數(shù)學(xué)問題的意識和能力。鑒于此，教師就可以利用“幾何畫板”預(yù)設(shè)函數(shù)概念的形成過程，讓學(xué)生主動參與經(jīng)歷函數(shù)圖像概念的形成過程，幫助學(xué)生理解函數(shù)圖像的概念?？梢?，數(shù)學(xué)知識發(fā)生的思維過程，應(yīng)充分體現(xiàn)在問題的提出過程、概念建立的過程、命題的探究過程和解題思維的展現(xiàn)過程與系統(tǒng)之中。

2.創(chuàng)設(shè)問題變換情景

創(chuàng)造性思維體現(xiàn)在問題解決中，就是問題變換與問題解決的創(chuàng)新。教會學(xué)生解決問題的策略與教會學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的方法同樣重要，這是教學(xué)論、學(xué)習(xí)論和方法論在教學(xué)中的體現(xiàn)。問題變換是培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)能力的有效途徑，知識積累越多，問題變換的范圍就越廣泛。中學(xué)數(shù)學(xué)的各個知識點(diǎn)，都有相當(dāng)豐富的資源，供我們?nèi)ヌ剿骱桶l(fā)掘。

其中，問題變換是發(fā)現(xiàn)問題和規(guī)律的重要方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題變換不但可以發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還可以培養(yǎng)學(xué)生刻苦學(xué)習(xí)，博覽群書的學(xué)習(xí)習(xí)慣和積極主動的創(chuàng)新精神。值得一提的是，由于心理安全和心理自由是學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性活動的基本前提；所以，構(gòu)建民主平等的師生關(guān)系，即創(chuàng)設(shè)民主寬松的課堂教學(xué)氛圍，保障學(xué)生的主體地位，也是創(chuàng)設(shè)問題變換情境必不可少的一個環(huán)節(jié)。教師在教學(xué)過程中如果能保障學(xué)生的主體地位，學(xué)生就會感到自己受到尊重，就會主動參與并積極地提出問題，甚至直接參與到問題的變換之中。

學(xué)生長期形成的思維定勢，對接受新概念、新知識具有一定的影響，對創(chuàng)新更有一定的阻礙作用。既學(xué)到知識又發(fā)展思維并最終形成能力的課堂教學(xué)，應(yīng)該是教學(xué)活動的最高境界。它自然地將創(chuàng)新教育作為預(yù)設(shè)和先導(dǎo)，在問題解決中，促成學(xué)生的思維創(chuàng)新。作為人類主要的活動方式和內(nèi)容的創(chuàng)造性思維，必將隨著問題充滿“創(chuàng)造性地解決”而大放異彩。（責(zé)任編輯羅登廉）