細(xì)菌群覓食優(yōu)化算法及PID參數(shù)優(yōu)化應(yīng)用

陳東寧 張國(guó)峰 姚成玉 張瑞星

1.燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

3.燕山大學(xué)河北省工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

0 引言

近年來，人們模擬自然界生物群體行為發(fā)展出一系列群體智能仿生算法，其中，粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法和細(xì)菌覓食（bacterial foraging，BF）算法已在諸多領(lǐng)域展現(xiàn)了良好的應(yīng)用前景。

PSO算法具有概念簡(jiǎn)明、實(shí)現(xiàn)方便、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，在很多優(yōu)化問題中得到成功應(yīng)用。文獻(xiàn)［1］將PSO算法應(yīng)用于可靠性優(yōu)化，并通過串－并聯(lián)、橋式系統(tǒng)等可靠性優(yōu)化實(shí)例驗(yàn)證了方法的可行性。文獻(xiàn)［2］將混沌粒子群優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷，取得了良好效果。然而，PSO算法在求解優(yōu)化問題時(shí)，容易陷入局部 最 優(yōu)，引 起 早 熟 收 斂［3］。BF 算 法 是 由Passino［4］提出的一種新型仿生類算法，具有并行搜索、易跳出局部極小值等優(yōu)點(diǎn)，在不同領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)［5］將變鄰域BF算法用于求解作業(yè)車間調(diào)度問題，為車間調(diào)度問題提供了有效方法。文獻(xiàn)［6］將BF算法應(yīng)用于公交調(diào)度優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了交通系統(tǒng)的優(yōu)化配置，但該算法存在收斂速度慢的缺點(diǎn)。

近幾年有學(xué)者將PSO算法和BF算法融合，如Biswas等［7］提出了一種混合PSO細(xì)菌覓食算法——BSO算法，即在細(xì)菌趨化操作后對(duì)細(xì)菌執(zhí)行了一個(gè)僅使用全局最佳粒子的趨化前進(jìn)操作，該算法優(yōu)于BF算法和標(biāo)準(zhǔn)PSO算法。然而，BSO算法趨化前進(jìn)操作中沒有考慮個(gè)體最佳粒子這一因素。

為此，本文提出一種細(xì)菌群覓食優(yōu)化（bacterial swarm foraging optimization，BSFO）算法，利用PSO算法中粒子的速度更新公式來替代BF算法位置公式中的方向向量，并通過測(cè)試函數(shù)和控制系統(tǒng)仿真驗(yàn)證其優(yōu)化效果。

1 細(xì)菌群覓食優(yōu)化算法

1.1 PSO算法

PSO算法將系統(tǒng)初始化為一組隨機(jī)解，通過迭代搜尋最優(yōu)值，粒子在解空間追隨最優(yōu)的粒子進(jìn)行搜索。每一次迭代中，粒子通過跟蹤2個(gè)“極值”來進(jìn)行自我調(diào)整，一個(gè)極值是粒子本身所經(jīng)歷過的最優(yōu)解，稱為個(gè)體最佳位置pbest，另一個(gè)極值是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解，稱為全局最佳位置gbest。粒子在第k代的速度和位置更新過程如下［8］：

式中，vk、xk分別為第k代更新中粒子的速度和位置；vk＋1、xk＋1分別為第k＋1代更新中粒子的速度和位置；r1、r2為［0，1］區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；c1、c2為加速常數(shù)，代表將每個(gè)粒子推向pbest和gbest位置的統(tǒng)計(jì)加速項(xiàng)的權(quán)重，通常取為常數(shù)2；w為慣性權(quán)重。

式（1）、式（2）中的位置和速度不同于物理學(xué)中的含義，具有相同量綱，可以直接相加，下同。

慣性權(quán)重w表征上一代的速度對(duì)當(dāng)前代速度的影響程度。隨著迭代次數(shù)的增加，粒子離最優(yōu)點(diǎn)越來越近，為了減小振蕩，希望速度越來越小。為此，通常采用如下方式來調(diào)整慣性權(quán)重w：

式中，I為當(dāng)前迭代次數(shù)；Imax為最大迭代次數(shù)；wmax、wmin分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值［9］。

1.2 BF算法

細(xì)菌群的覓食行為可以看作是不斷優(yōu)化的過程，優(yōu)化問題的解對(duì)應(yīng)搜索空間內(nèi)細(xì)菌的狀態(tài)，即優(yōu)化函數(shù)適應(yīng)度值。BF算法包括趨化、繁殖、驅(qū)散三個(gè)步驟。

1.2.1趨化

趨化是細(xì)菌朝含有營(yíng)養(yǎng)的區(qū)域聚集的行為。趨化過程中，細(xì)菌運(yùn)動(dòng)模式包括翻轉(zhuǎn)和前進(jìn)。翻轉(zhuǎn)是細(xì)菌向隨機(jī)方向移動(dòng)單位步長(zhǎng)，每當(dāng)細(xì)菌完成一次翻轉(zhuǎn)后，檢查適應(yīng)度值是否改善，若是，則細(xì)菌將沿同一方向繼續(xù)前進(jìn)Ns步。趨化的位置更新公式為

式中，Pi（j，k，l）為第i個(gè)細(xì)菌在第j次趨化、第k次繁殖和第l次驅(qū)散中的位置；Δ（i）為隨機(jī)產(chǎn)生的方向向量；C（i）為細(xì)菌在任意方向被指定的步長(zhǎng)大小。

1.2.2繁殖

所有細(xì)菌完成趨化后，進(jìn)入繁殖階段。采用健康度作為評(píng)定各細(xì)菌優(yōu)劣的準(zhǔn)則，計(jì)算公式為

式中，Jh，i為第i個(gè)細(xì)菌的健康度；ji（j，k，l）為第i個(gè)細(xì)菌在第j次趨化、第k次繁殖和第l次驅(qū)散操作中的適應(yīng)度值；Nc為趨化步驟的最大次數(shù)。

將全部S個(gè)細(xì)菌根據(jù)健康度進(jìn)行升序排序，淘汰健康度較差的Sr（Sr＝S／2）個(gè)細(xì)菌，保留健康度較好的Sr個(gè)細(xì)菌。將存活的Sr個(gè)細(xì)菌以一分為二的方式進(jìn)行繁殖，產(chǎn)生的子細(xì)菌具有和母細(xì)菌相同的位置和趨化步長(zhǎng)。

1.2.3驅(qū)散

細(xì)菌在Nre次繁殖結(jié)束后，將適應(yīng)度值差的細(xì)菌驅(qū)散。為確保細(xì)菌總數(shù)的不變，以概率Ped驅(qū)散相同數(shù)目的細(xì)菌到其他位置，剩余細(xì)菌的位置保持不變。細(xì)菌驅(qū)散步驟的最大次數(shù)為Ned。

1.3 BSFO算法的提出

BF算法中，一個(gè)細(xì)菌代表一個(gè)解，細(xì)菌在尋找最優(yōu)解時(shí)只依靠自己，群體間不存在信息共享機(jī)制。PSO算法中，一個(gè)粒子代表一個(gè)解，粒子在尋找最優(yōu)解時(shí)，不僅依靠自身，也依靠其他的信息（個(gè)體歷史最優(yōu)解和全局最優(yōu)解）。針對(duì)這種情況提出了BSFO算法，即通過借鑒PSO算法中粒子之間的信息共享機(jī)制，利用PSO算法中粒子的速度更新公式來代替細(xì)菌趨化中翻轉(zhuǎn)操作的位置公式中的方向向量Δ（i），使細(xì)菌在更新自身運(yùn)動(dòng)位置時(shí)，不斷感知周圍同伴的位置信息及細(xì)菌群體的歷史最優(yōu)位置信息，進(jìn)而克服PSO算法存在早熟收斂和BF算法收斂速度慢的缺陷。

將式（1）代入式（4），可得

為提高算法在優(yōu)化前期的全局搜索能力和優(yōu)化后期的局部搜索能力，趨化步長(zhǎng)不再像BF算法中設(shè)為固定值，而改設(shè)為動(dòng)態(tài)調(diào)整值：

式中，C（k，l）為第k次繁殖和第l次驅(qū)散的趨化步長(zhǎng)；Lred為初始趨化步長(zhǎng)；nk＋l－1為第k＋l－1次控制步長(zhǎng)下降梯度的參數(shù)。

由于C（k，l）是隨繁殖操作數(shù)k和驅(qū)散操作數(shù)l增加而下降的函數(shù)，當(dāng)初期的k、l較小時(shí)，步長(zhǎng)C（k，l）較大，以便在較大的空間內(nèi)搜索解。進(jìn)化的過程中，隨著k、l逐漸增大，步長(zhǎng)C（k，l）減小，使細(xì)菌在較好解的附近進(jìn)一步搜索最優(yōu)解，保證算法最終趨近全局最優(yōu)點(diǎn)。

BSFO算法步驟如下：

（1）初始化細(xì)菌位置、速度。

（2）評(píng)價(jià)適應(yīng)度值。

（3）三層循環(huán)。最內(nèi)層步驟是趨化，其中，細(xì)菌的運(yùn)動(dòng)模式為翻轉(zhuǎn)，以式（6）進(jìn)行細(xì)菌位置更新；前進(jìn)，更新個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)并用式（1）更新各細(xì)菌的速度。中間層步驟是繁殖。最外層步驟是驅(qū)散。

（4）輸出最優(yōu)解。

BSFO算法以BF算法為基礎(chǔ)，在趨化時(shí)用PSO算法中粒子的速度更新公式（式（1））來代替細(xì)菌趨化公式（式（6））中隨機(jī)產(chǎn)生的方向向量Δ（i）。有目的的方向操作加快了細(xì)菌的收斂，全局最優(yōu)的引導(dǎo)作用提高了算法的精度。同時(shí)，舍去PSO算法中的式（2），直接用式（6）計(jì)算細(xì)菌位置更新歷史最優(yōu)值。

1.4 BSFO算法的Benchmark函數(shù)測(cè)試

為分析所提的BSFO算法搜索性能，以BF算法、μPSO 算 法［10］和 BSO 算 法［7］作 為 對(duì) 比 算法。其中，μPSO算法的原理是通過對(duì)一般粒子和當(dāng)代最優(yōu)粒子設(shè)置不同的速度、位置計(jì)算公式增強(qiáng)粒子的搜索能力，利用排斥項(xiàng)避免搜索進(jìn)程陷入早熟狀態(tài)，從而有效提高PSO算法的優(yōu)化效率。

選擇表1所示的8個(gè)Benchmark函數(shù)對(duì)上述4種算法進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，這些函數(shù)廣泛應(yīng)用于評(píng)價(jià)優(yōu)化算法的性能。評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)包括優(yōu)化結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，平均值反映了在給定迭代次數(shù)下算法所能達(dá)到的精度，標(biāo)準(zhǔn)差反映了算法的穩(wěn)定性。

分別用BF算法、μPSO算法、BSO算法和BSFO算法優(yōu)化上述8個(gè)測(cè)試函數(shù)，程序重復(fù)運(yùn)行30次所得函數(shù)極值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差見表2。從表2可以看出，與其他三種算法相比，BSFO算法對(duì)大部分測(cè)試函數(shù)更接近所求極值，標(biāo)準(zhǔn)差較小，具有較高的精度和穩(wěn)定性。

表1 8個(gè)測(cè)試函數(shù)

表2 4種算法所得優(yōu)化結(jié)果

這4種算法運(yùn)行30次的運(yùn)行時(shí)間平均值和標(biāo)準(zhǔn)差見表3。

表3 4種算法運(yùn)行時(shí)間的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 s

從表3可以看出：基本BF算法與BSO算法在時(shí)間消耗上是差不多的，BSFO算法比上述兩種算法耗時(shí)更少，μPSO耗時(shí)最少。綜合表2、表3可以看出，BSFO算法不僅具有較高求解精度，而且耗時(shí)較少。

2 材料試驗(yàn)機(jī)PID控制器參數(shù)優(yōu)化

2.1 電液位置伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

以材料試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服系統(tǒng)為研究對(duì)象，運(yùn)用BSFO算法對(duì)其PID控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。材料試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服系統(tǒng)原理如圖1所示，圖2為系統(tǒng)控制框圖。

圖1 材料試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服系統(tǒng)示意圖

圖2 電液位置伺服系統(tǒng)框圖

忽略外力擾動(dòng)FL，得到開環(huán)傳遞函數(shù)：

式中，Uf為傳感器反饋電壓；U為控制器輸出電壓；Ka為伺服放大器增益；Ksv為伺服閥流量增益系數(shù)；Ap為液壓缸活塞有效面積；Kf為位移傳感器增益；Kce為總流量－壓力系數(shù)；K為負(fù)載彈簧剛度；ωsv為伺服閥固有頻率；ξsv為伺服閥阻尼比；ωr為慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率；ω0為綜合固有頻率；ξ0為綜合阻尼比。

將材料試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)代入后得到開環(huán)傳遞函數(shù)：

作出系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖（圖3），其幅值裕度為56dB，相位裕度為無窮大，可見該系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

計(jì)算該系統(tǒng)在1V指令（10mm）下閉環(huán)階躍響應(yīng)，如圖4所示。可以看出，該系統(tǒng)在未加任何補(bǔ)償控制器之前，雖然系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，但是存在較大的靜態(tài)誤差，且響應(yīng)很慢，遠(yuǎn)不能達(dá)到該材料試驗(yàn)機(jī)對(duì)準(zhǔn)確性的要求，因此必須設(shè)計(jì)合理的控制器才能使得該系統(tǒng)到達(dá)一定的使用要求。

圖3 系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

2.2 數(shù)字PID控制器

數(shù)字計(jì)算需要對(duì)常規(guī)的PID算式通過采樣進(jìn)行離散化，離散化后的控制器即為數(shù)字PID控制器。數(shù)字PID控制器可分為位置式和增量式，增量式算法系統(tǒng)工作會(huì)更安全。一旦計(jì)算機(jī)出現(xiàn)故障，使控制信號(hào)Δu（kT）為零時(shí)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置仍能保持前一步的位置u（kT），從而對(duì)系統(tǒng)安全不會(huì)有大的影響。因此，采用增量式數(shù)字PID控制器，表達(dá)式如下：

式中，u為控制輸出；e為誤差；Kp為比例系數(shù)；Ki為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)；T為采樣周期，T＝0.001s；Ti為積分時(shí)間常數(shù)；Td為微分時(shí)間常數(shù)。

2.3 基于BSFO算法的PID控制器參數(shù)優(yōu)化

細(xì)菌位置量P（式（1）中的x）編碼為［Kp，Ki，Kd］，即為PID控制器的3個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)。目標(biāo)函數(shù)包括絕對(duì)誤差、控制器輸出平方、被控對(duì)象輸出增量和調(diào)節(jié)時(shí)間等。構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

式中，e（t）為控制誤差；u（t）為控制器輸出；ts為調(diào)整時(shí)間；w1、w2、w3、w4為 權(quán) 值，w1＝ 0.999，w2＝ 0.001，w3＝2，w4＝100；y（t）為被控對(duì)象輸出。

BSFO－PID算法流程如圖5所示。

圖5 BSFO－PID算法流程

3 仿真結(jié)果及分析

BSFO－PID的參數(shù)設(shè)置如表4所示。最后求得PID控制器的參數(shù)和目標(biāo)函數(shù)值的優(yōu)化結(jié)果，如表5所示。從表5可以看出，BSFO－PID控制器的目標(biāo)函數(shù)值最小。

表4 BSFO算法參數(shù)設(shè)置

表5 不同算法參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

Z－N PID、BSO－PID、μPSO－PID、BFPID和BSFO－PID幾種控制策略作用下控制器的輸出量如圖6所示。

圖6 不同控制策略下的控制器輸出

材料試驗(yàn)機(jī)的電液位置伺服系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（1V，10mm）如圖7所示。

圖7 不同控制策略的階躍響應(yīng)

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如表6所示。

表6 階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

仿真結(jié)果表明：運(yùn)用BSFO算法優(yōu)化的材料試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服系統(tǒng)PID控制器較其他4種算法設(shè)計(jì)的控制器在響應(yīng)速度、收斂精度、超調(diào)量等方面具有更優(yōu)良的綜合控制性能。

4 結(jié)論

（1）Benchmark函數(shù)測(cè)試結(jié)果表明：BSFO算法比BF算法、μPSO算法及BSO算法在收斂速度和計(jì)算精度上更為理想，克服了PSO算法早熟易陷入局部最優(yōu)和BF算法收斂速度慢的缺陷。

（2）將BSFO算法應(yīng)用于材料試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服系統(tǒng)的PID控制器參數(shù)的尋優(yōu)，通過仿真可得：與Z－N整定算法、BF算法、μPSO算法和BSO算法相比，應(yīng)用BSFO算法尋優(yōu)后的PID控制系統(tǒng)具有更好的控制性能，滿足了材料試驗(yàn)機(jī)的電液位置伺服系統(tǒng)控制性能要求。

［1］Zhao J H，Liu Z H，Dao M T.Reliability Optimization Using Multiobjective Ant Colony System Approaches［J］.Reliability Engineering and System Safety，2007，92（1）：109－120.

［2］仇國(guó)慶，唐賢倫，莊陵，等.基于混沌粒子群優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2008，19（21）：2642－2645.Qiu Guoqing，Tang Xianlun，Zhuang Ling，et al.Application of Neural Network Trained by Chaos Particle Swarm Optimization to Fault Diagnosis for Rotating Machinery［J］.China Mechanical Engineering，2008，19（21）：2642－2645.

［3］魏峰濤，宋俐，李言，等.基于改進(jìn)粒子群算法的四輥軋機(jī)機(jī)座結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2012，23（19）：2361－2365.Wei Fengtao，Song Li，Li Yan，et al.Optimal Structural Design of 4－roller Rolling Mill Frame Based on an IPSO Algorithm［J］.China Mechanical Engineering，2012，23（19）：2361－2365.

［4］Passino K M.Biomimicry of Bacterial Foraging for Distributed Optimization and Control［J］.IEEE Control Systems Magazine，2002，22（3）：52－67.

［5］易軍，李太福.求解作業(yè)車間調(diào)度的變鄰域細(xì)菌覓食優(yōu)化算法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，48（12）：178－183.Yi Jun，Li Taifu.Bacterial Foraging Optimization Algorithm Based on Variable Neighborhood for Job－shop Scheduling Problem［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2012，48（12）：178－183.

［6］高政威，龐哈利，汪定偉.基于菌群自適應(yīng)覓食的公交調(diào)度建模仿真與優(yōu)化［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2011，23（6）：1151－1155，1160.Gao Zhengwei，Pang Hali，Wang Dingwei.Adaptive Bacterial Foraging Optimization and Its Application for Bus Scheduling［J］.Journal of System Simulation，2011，23（6）：1151－1155，1160.

［7］Biswas A，Desgupta S，Das S，et al.Synergy of PSO and Bacterial Foraging Optimization－A Comparative Study on Numerical Benchmarks［J］.Innovations in Hybrid Intelligent Systems，Advances in Soft Computing.，2007，44：255－263.

［8］陳東寧，姜萬錄，王益群.基于粒子群算法的冷連軋機(jī)軋制負(fù)荷分配優(yōu)化［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2007，18（11）：1303－1306.Chen Dongning，Jiang Wanlu，Wang Yiqun.Load Distribution Optimization of Tandem Cold Mill Based on PSO Algorithm［J］.China Mechanical Engineering，2007，18（11）：1303－1306.

［9］Shi Y，Eberhart R.A Modified Particle Swarm Optimizer［C］／／IEEE International Conference on Evolutionary Computation.Anchorage，1998：69－73.

［10］Huang T，Mohan A S.Micro－particle Swarm Optimizer for Solving High Dimensional Optimization Problems（μPSO for High Dimensional Optimization Problems）［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，181（2）：1148－1154.