基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)調(diào)姿的大部件支撐點(diǎn)優(yōu)選

張洪雙，王 青，柯映林，蔣君俠

（1.浙江大學(xué) 流體傳動(dòng)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027；2.河海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 常州 213022）

0 引言

在造船、飛機(jī)等大型運(yùn)載設(shè)備的模塊化分段對(duì)接裝配以及機(jī)翼大部件裝配后的精加工等工藝過程中［1-2］，需要采用先進(jìn)的數(shù)字化調(diào)姿系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)部件的調(diào)姿和定位。目前國(guó)內(nèi)外廣泛采用一種數(shù)字化、高精度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式的定位調(diào)姿裝置，對(duì)大部件進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整及支撐［3］。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈機(jī)構(gòu)，它通過幾個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)鏈將底座和終端執(zhí)行器連接在一起。由于具有高精度、高剛度等優(yōu)點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外對(duì)其展開了大量研究，并成功應(yīng)用到運(yùn)動(dòng)模擬器、機(jī)器人終端和部件調(diào)姿等環(huán)境中。目前，幾大航空制造企業(yè)使用的數(shù)字化并聯(lián)機(jī)構(gòu)大多采用n-PPPS（n個(gè)prismaticprismatic-prismatic-spherical pair）分支垂直布置在一個(gè)公共平臺(tái)上的結(jié)構(gòu)形式［4］。文獻(xiàn)［5］介紹了部分耦合的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)現(xiàn)有的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析和擴(kuò)展，詳細(xì)介紹了3-RPPS（R-Rotary pair）型機(jī)構(gòu)的分析方法，并對(duì)擴(kuò)展的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分類；文獻(xiàn)［6］介紹了由8個(gè)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)的PPPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)的底部有4個(gè)分支，兩側(cè)面各有2個(gè)分支，8個(gè)分支均為主動(dòng)驅(qū)動(dòng)，主要用于地震監(jiān)測(cè)；文獻(xiàn)［7］介紹了一種新型的3-PPPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，3個(gè)分支機(jī)構(gòu)分別位于3個(gè)相互垂直的平面，每個(gè)分支中有2個(gè)主動(dòng)驅(qū)動(dòng)的關(guān)節(jié)，并分析了該機(jī)構(gòu)的非奇異空間，上述結(jié)構(gòu)和國(guó)外飛機(jī)制造企業(yè)所使用的PPPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在整體布置方式上均有較大的差別。

基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式的定位調(diào)姿裝置既是飛機(jī)部件姿態(tài)調(diào)整的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，也是裝配對(duì)接過程的工裝夾具，因此其分析需要同時(shí)涉及兩方面內(nèi)容。文獻(xiàn)［8-10］關(guān)注并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)雅克比矩陣，并通過機(jī)構(gòu)雅克比矩陣構(gòu)建相應(yīng)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)；文獻(xiàn)［11-12］對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化分析，重點(diǎn)關(guān)注各分支長(zhǎng)度的優(yōu)化問題，未涉及終端部件連接位置點(diǎn)的分析。關(guān)于夾具定位性的文獻(xiàn)較多［13-14］，這類文獻(xiàn)通過描述夾具偏差和零件偏差之間關(guān)系的定位雅克比矩陣，對(duì)夾具定位方案的穩(wěn)定性問題進(jìn)行分析，但分析過程主要針對(duì)零件上定位點(diǎn)的曲面方程，未涉及夾具實(shí)體。

本文針對(duì)基于3-PPPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式的大部件定位調(diào)姿裝置［15］，建立了裝置分支機(jī)構(gòu)的矢量圖形，求取了裝置的機(jī)構(gòu)雅克比矩陣，構(gòu)建了靈活度、承載力和剛度等性能指標(biāo)，并分析了裝置的定位雅克比矩陣，構(gòu)建了裝置的支撐穩(wěn)定性指標(biāo)，最后對(duì)部件上可選的支撐點(diǎn)的位置進(jìn)行了分析，得到了各指標(biāo)綜合最優(yōu)的支撐點(diǎn)位置，為選擇基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式的部件定位調(diào)姿裝置的支撐點(diǎn)提供了一種參考。

1 定位調(diào)姿裝置分析

1.1 大部件定位調(diào)姿裝置結(jié)構(gòu)

大部件定位調(diào)姿裝置主要包括工作臺(tái)、三坐標(biāo)數(shù)控定位器和激光跟蹤儀等，如圖1所示。數(shù)控定位器在3 個(gè)坐標(biāo)方向的運(yùn)動(dòng)為平移—平移—平移（PPP）形式，每個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)通過電機(jī)驅(qū)動(dòng)滾珠絲桿進(jìn)行傳動(dòng)，其中：x和y移動(dòng)方向平行于工作臺(tái)坐標(biāo)系，z方向垂直于工作臺(tái)。大部件通過萬向球鉸式真空吸附結(jié)構(gòu)或者是帶有球頭的工藝接頭和定位器的終端執(zhí)行器連接，因此每個(gè)定位器連接可以看作一個(gè)PPPS型的分支機(jī)構(gòu)。

大部件加工或?qū)友b配時(shí)需要通過定位調(diào)姿裝置使部件處于某個(gè)理想位姿，其位置和姿態(tài)通過激光跟蹤儀的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)。根據(jù)部件的結(jié)構(gòu)尺寸特點(diǎn)，三角形的大部件（如機(jī)翼等）通常采用3個(gè)數(shù)控定位器支撐的方式定位，通過3個(gè)定位器的協(xié)同運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)部件的姿態(tài)調(diào)整，達(dá)到理想位姿后實(shí)現(xiàn)對(duì)接裝配，或者通過專用機(jī)床對(duì)大部件的交點(diǎn)孔、面進(jìn)行加工。根據(jù)大部件定位調(diào)姿裝置的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，圖2所示為大部件調(diào)姿裝置的并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式的整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。

為了方便分析，建立如下坐標(biāo)系統(tǒng)：其中坐標(biāo)系o-xyz固定在工作臺(tái)上，坐標(biāo)系o-uvw固定在大部件的慣性主軸上，則大部件的位姿可以通過位置矢量r和角度變化矩陣來表示，用一個(gè)6維列矢量可以表示為

這里，r=［px，py，pz］表示坐標(biāo)系o-uvw相對(duì)于坐標(biāo)系o-xyz的位置。旋轉(zhuǎn)矩陣通過滾動(dòng)角θ（roll）、俯仰角φ（pitch）和偏轉(zhuǎn)角ψ（yaw）來定義，三個(gè)角度分別對(duì)應(yīng)x，y和z三個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)矩陣R表示為（角度設(shè)定法是兩個(gè)坐標(biāo)系間作三次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)來規(guī)定姿態(tài)的方法）

式中：c表示cos，s表示sin。

1.2 大部件的支撐定位點(diǎn)

大部件通常采用框架式結(jié)構(gòu)，其支撐定位點(diǎn)需選擇在部件框架的交點(diǎn)處，且支撐定位時(shí)應(yīng)保證部件重心落在由3個(gè)支撐點(diǎn)構(gòu)成的三角形內(nèi)部。大部件上框架的交點(diǎn)較多，每個(gè)數(shù)控定位器對(duì)應(yīng)的位置均有多個(gè)支撐定位點(diǎn)可供選擇。圖3所示為某大部件模型，粗實(shí)線表示部件的外形（工作臺(tái)的投影平面內(nèi)），細(xì)實(shí)線表示部件內(nèi)部的框架位置，細(xì)實(shí)線交點(diǎn)為框架的交點(diǎn)。3個(gè)數(shù)控定位器對(duì)應(yīng)大部件上3個(gè)可選的定位區(qū)域：定位器1對(duì)應(yīng)大部件上A區(qū)域內(nèi)的框架交點(diǎn)；定位器2 對(duì)應(yīng)B區(qū)域內(nèi)的框架交點(diǎn)；定位器3對(duì)應(yīng)C區(qū)域內(nèi)的框架交點(diǎn)。

2 機(jī)構(gòu)雅克比矩陣

2.1 位置分析

根據(jù)調(diào)姿裝置的結(jié)構(gòu)及平臺(tái)和部件之間的位置關(guān)系，建立如圖4所示的運(yùn)動(dòng)鏈?zhǔn)噶繄D，驅(qū)動(dòng)鏈的閉環(huán)位置方程表示為

式中：r表示OO′矢量，fi為支撐點(diǎn)位置到部件重心的矢量，ai為平臺(tái)中心到定位器中心的矢量，qix為定位器x方向的關(guān)節(jié)變量，qiy為定位器y方向的關(guān)節(jié)變量，qiz為定位器z方向的關(guān)節(jié)變量，ex，y，z為沿著絲桿的 單位矢 量，bi為BiCi矢 量，di為DiEi矢 量，bi和di分別表示各關(guān)節(jié)上的距離差值。根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)解耦的概念［5］，可知其位置逆解為

式中下標(biāo)x表示在x方向的投影。

1.3 分支機(jī)構(gòu)速度分析

將方程對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得到速度方程

式中：v為大部件移動(dòng)的線速度，ω為大部件轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

對(duì)式（3）兩端分別點(diǎn)乘ex，ey和ez，合并后可得定位器沿各軸向的速度

式中：

為平臺(tái)運(yùn)動(dòng)矢量和定位器i沿各軸的平移速度矢量之間的雅可比矩陣，則多個(gè)分支機(jī)構(gòu)的綜合描述為

為了分析的一致性，引用機(jī)器人雅可比矩陣，該矩陣是指從關(guān)節(jié)空間到操作空間運(yùn)動(dòng)速度傳遞的廣義傳動(dòng)比，將式（5）改寫為

式中JP為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)雅克比矩陣。由式（4）～式（6）可見，機(jī)構(gòu)雅可比矩陣依賴于部件在操作空間的形位，是依賴于關(guān)節(jié)變量˙q的線性變換矩陣，其行數(shù)等于機(jī)構(gòu)在操作空間的維數(shù)，列數(shù)等于關(guān)節(jié)數(shù)，因此雅可比矩陣并不是一個(gè)方陣，其逆矩陣是一個(gè)廣義逆矩陣。

3 定位調(diào)姿裝置的性能評(píng)價(jià)

3.1 靈巧度性能評(píng)價(jià)

在評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)性能時(shí)，可構(gòu)建的靈巧度評(píng)價(jià)指標(biāo)有條件數(shù)k、最小正奇值σmin等。機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使條件數(shù)最小、最小正奇值最大。機(jī)構(gòu)分析中常用最小條件數(shù)來分析機(jī)構(gòu)的各向同性指標(biāo)，當(dāng)條件數(shù)達(dá)到最小值1時(shí)，機(jī)構(gòu)為各向同性。根據(jù)文獻(xiàn)［8］，輸入速度偏差δ˙q和平臺(tái)的速度偏差δ˙X之間有下列關(guān)系：

3.2 承載力性能評(píng)價(jià)

承載力決定了機(jī)構(gòu)的工作負(fù)荷能力，是機(jī)構(gòu)的重要性能指標(biāo)之一。作用在機(jī)構(gòu)末端的廣義力與機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣有直接關(guān)系，定義機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)部件的輸入力矩為f，作用在機(jī)構(gòu)末端大部件平臺(tái)的力和力矩矢量為F，則根據(jù)虛功原理可得

式中G為力雅可比矩陣。根據(jù)機(jī)構(gòu)學(xué)中運(yùn)動(dòng)傳遞和力傳遞之間的對(duì)偶關(guān)系，存在［9］

將機(jī)構(gòu)的承載能力指標(biāo)定義為輸入驅(qū)動(dòng)力矢量f的模為單位1時(shí)輸出力和力矩矢量的模極值。當(dāng)‖f‖=1時(shí)，承載力極值‖F(xiàn)max‖為矩陣GTG的最大、最小特征值的開方，即

式中λFmax（GTG）為矩陣GTG的最大特征值的開方；）為矩陣的最大奇異值。

3.3 剛度性能分析

當(dāng)部件放置在調(diào)姿裝置上時(shí)，部件中心會(huì)發(fā)生變形，該變形與裝置的剛度矩陣和外力的大小方向有關(guān)，當(dāng)外力矢量的模為1時(shí)，可以求出部件中心變形量的最大值，變形量最大值即為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度性能指標(biāo)，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式的平臺(tái)中心的變形D與外界作用力矢f之間的關(guān)系為

式中C為剛度矩陣。由文獻(xiàn)［10］可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣可以寫作

式中：KJ=diag［K1，K2，…，Kn］是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣，Ki表示每個(gè)分支的剛度，因?yàn)槊總€(gè)分支的結(jié)構(gòu)均相同，所以驅(qū)動(dòng)件剛度可以認(rèn)為是相等的，并且等于單位1。

根據(jù)拉格朗日方程原理［10］可得，位置變形的最大值Dmax為

式中：λDmax（CTC）為矩陣CTC的最大特征值，σDmax（J·JT）為矩陣J·JT的最大奇異值。

3.5 全條件性能指標(biāo)

上述各指標(biāo)是雅克比矩陣的函數(shù)，而雅克比矩陣不是常數(shù)矩陣，依賴于機(jī)構(gòu)的位形。各個(gè)指標(biāo)均為局部點(diǎn)的性能指標(biāo)，其值隨機(jī)構(gòu)位形的變化而變化。為了評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總體性能，需要采用全條件性能指標(biāo)（Global Conditioning Index，GCI）。GCI表示為

式中：W為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，ζ表示各性能指標(biāo)，在靈巧度、承載能力和剛度評(píng)價(jià)中分別表示靈巧度指標(biāo)k、承載力指標(biāo)‖F(xiàn)max‖ 和剛度指標(biāo)‖Dmax‖。式（13）的數(shù)學(xué)含義為各性能指標(biāo)在可達(dá)工作空間上的平均值，計(jì)算時(shí)可采用網(wǎng)格搜索法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在可達(dá)空間內(nèi)每一點(diǎn)的數(shù)值求解后進(jìn)行平均化處理。

4 定位雅克比矩陣及定位穩(wěn)定性

如圖5所示，對(duì)于某任意的三維零部件的定位支撐方式，其定位雅克比矩陣的形式為

在三維空間中，

位于空間中的一個(gè)零件共有6個(gè)自由度，通常，若使零件在空間中處于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，則需要約束零件的6個(gè)自由度，JL的秩等于調(diào)姿裝置所約束的自由度數(shù)目。零件的定位方案中被約束零件的空間穩(wěn)定性稱為該夾具定位方案的幾何穩(wěn)定性［11-12］，夾具的穩(wěn)定性參數(shù)的計(jì)算方法為

由式（15）可知，即使零件被約束的自由度數(shù)相同，定位的幾何穩(wěn)定性也有很大的差別。

5 各指標(biāo)的綜合優(yōu)化

由上述分析可知，基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式的定位調(diào)姿裝置的性能指標(biāo)取決于支撐點(diǎn)和部件重心之間的位置關(guān)系，而夾具穩(wěn)定性指標(biāo)取決于支撐點(diǎn)所在位置的曲面方程和支撐點(diǎn)位置，因此選定支撐點(diǎn)后上述指標(biāo)就會(huì)確定，在多種支撐點(diǎn)的不同組合形式下，可以找到各指標(biāo)的最優(yōu)值，合理選擇支撐點(diǎn)，從而得到各指標(biāo)的綜合優(yōu)化值。

在定位調(diào)姿裝置的性能指標(biāo)中，靈巧度指標(biāo)k越小越好，承載力指標(biāo)‖F(xiàn)max‖越大越好，剛度指標(biāo)‖Dmax‖越小越好，定位穩(wěn)定性指標(biāo)ω越大越好。各指標(biāo)中既包括最大值問題，也包括最小值問題，則指標(biāo)的綜合優(yōu)化求解屬于多目標(biāo)混合優(yōu)化問題，優(yōu)化模型為

式中：F′（x）=［f1（x），…，fr（x）］T，F(xiàn)″（x）=［fr+1（x），…，fn（x）］T；解決這類問題可用分目標(biāo)乘除法，將模型中的各分目標(biāo)進(jìn)行相乘和相除處理后在可行域進(jìn)行求解。由于各指標(biāo)數(shù)值相差較大，對(duì)各指標(biāo)進(jìn)行歸一化處理，即對(duì)各指標(biāo)進(jìn)行權(quán)處理：

式中Wi為權(quán)系數(shù)，并有

根據(jù)工程需求調(diào)整各指標(biāo)的權(quán)重比例，以更好地滿足機(jī)構(gòu)的使用要求。由式（16）求解的最優(yōu)解，是使位于分子的各目標(biāo)函數(shù)盡可能小、位于分母的各目標(biāo)函數(shù)盡可能大的綜合性能指標(biāo)。

6 算例分析

某大部件的支撐點(diǎn)位置如圖3所示，部件重心點(diǎn)坐標(biāo)為（2 300，8 600，1 800），部件坐標(biāo)系和部件重心重合。由式（4）可知，機(jī)構(gòu)雅克比矩陣值主要取決于球鉸中心點(diǎn)到大部件中心點(diǎn)的矢量fi，對(duì)大部件進(jìn)行位置調(diào)整時(shí)，fi不變化，因此機(jī)構(gòu)雅克比矩陣值與大部件的位置變化沒有關(guān)系。

由式（14）可知，定位雅克比矩陣主要取決于支撐點(diǎn)位置坐標(biāo)及該位置處的部件曲面方程。為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)部件的下表面為一平面，則在坐標(biāo)系ouvw中，式（14）可近似寫為

可見定位雅克比矩陣主要取決于定位點(diǎn)在xy平面的坐標(biāo)值。

下面分析大部件繞x，y和z軸進(jìn)行0～10°范圍姿態(tài)調(diào)整時(shí)各性能指標(biāo)的變化。選擇支撐點(diǎn)A1（1 350，8 120，1 750），B3（2 986，8 120，1 750），C9（2 986，9 958，1 750）的組合，按照式（8）、式（9）、式（12）和式（15）求取機(jī)構(gòu)的各性能指標(biāo)，可以得到如圖6所示的性能指標(biāo)曲線（各指標(biāo)數(shù)值差別較大，為了清晰地描述圖形，縱坐標(biāo)未采用統(tǒng)一比例）。由圖6可見，靈巧度、承載力和剛度性能指標(biāo)不隨姿態(tài)的變化而變化，但穩(wěn)定性指標(biāo)隨著姿態(tài)的改變而變化，且隨著旋轉(zhuǎn)角的增大而減小，因此后續(xù)分析時(shí)均以部件繞x，y和z軸旋轉(zhuǎn)10°的狀態(tài)進(jìn)行分析。由圖6中的數(shù)值可見，基于3-PPPS型的大部件定位調(diào)姿機(jī)構(gòu)是一種調(diào)姿靈巧度較差、承載力高、穩(wěn)定性較高和部件變形較小的一種并行機(jī)構(gòu)，能夠滿足機(jī)翼這類大部件對(duì)調(diào)姿速度要求不高、但對(duì)承載和精度要求較高的部件調(diào)姿和精加工需求。

為了定性分析支撐點(diǎn)的位置變化對(duì)性能參數(shù)和支撐穩(wěn)定性的影響，選取A1，B3和C9點(diǎn)作為初始位置，使支撐點(diǎn)坐標(biāo)在x和y方向等距移動(dòng)，得到如圖7所示的各性能指標(biāo)和穩(wěn)定性指標(biāo)的變化曲線，為了便于表達(dá)，各性能指標(biāo)進(jìn)行了均一化處理。由圖7可見，支撐點(diǎn)靠近重心時(shí)：條件數(shù)減小，即機(jī)構(gòu)的調(diào)姿靈巧度增加，各向同性增強(qiáng)；承載力指標(biāo)下降，說明在驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入同樣大小的力，機(jī)構(gòu)執(zhí)行端的輸出力下降；剛度指標(biāo)下降，說明部件的中心變形量下降；穩(wěn)定性指標(biāo)下降，說明支撐穩(wěn)定性下降。從綜合指數(shù)來看，選擇遠(yuǎn)離重心點(diǎn)的支撐位置時(shí)可以獲得較好的綜合性能指標(biāo)。

7 結(jié)束語

根據(jù)上述分析，可以得到以下結(jié)論：

（1）基于3-PPPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的大部件姿態(tài)調(diào)節(jié)裝置能滿足大部件的調(diào)姿需求。

（2）該定位調(diào)姿機(jī)構(gòu)的靈巧度、剛度和承載力性能指標(biāo)與支撐點(diǎn)的選擇有關(guān)，與大部件的位姿無關(guān)。

（3）不同支撐點(diǎn)的組合可以得到不同的性能指標(biāo)。

（4）穩(wěn)定性指標(biāo)既和支撐點(diǎn)的選擇有關(guān)，也于大部件的姿態(tài)有關(guān)。

下一步將重點(diǎn)關(guān)注在明確了機(jī)翼支撐點(diǎn)后，分析和研究支撐多個(gè)機(jī)翼時(shí)定位器的工作行程優(yōu)化問題，以及在多點(diǎn)柔性支撐狀態(tài)下機(jī)翼的加工穩(wěn)定性問題。

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