基于CAD 曲面模型的局部區(qū)域重構(gòu)與特征化

何坤金，王 淋，陳正鳴+，趙宗星

（1.河海大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 常州 213022；2.疏浚技術(shù)教育部工程研究中心，江蘇 常州 213022）

0 引言

特征造型技術(shù)是新一代CAD／CAM 集成系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一，是產(chǎn)品模型設(shè)計的核心。隨著曲面造型技術(shù)的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，產(chǎn)生了數(shù)量龐大、種類繁多的曲面模型，這些曲面模型普遍存在特征信息不完整、語義參數(shù)不充分等不足，難以有效進(jìn)行編輯修改。如果每次完全從頭開始設(shè)計新的曲面，對設(shè)計人員來說既耗時又需要豐富的經(jīng)驗和專業(yè)技能。因此，針對現(xiàn)存的大量曲面幾何模型，研究曲面模型的特征化與編輯修改，減少設(shè)計工作的重復(fù)性，對提高產(chǎn)品設(shè)計的質(zhì)量和效率具有重要意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對曲面重構(gòu)與重用進(jìn)行了相關(guān)研究，并取得了一定成果。Biermann等［1］通過各種特征的“剪貼”操作進(jìn)行曲面重構(gòu)，增加了剪貼的交互性，但是帶有復(fù)雜形狀的特征在粘貼時可能會出現(xiàn)嚴(yán)重變形；趙偉等［2］提出一種基于層次B 樣條的自由曲面特征重用算法，該算法能快速、有效地完成重用操作，并支持特征的縮放、旋轉(zhuǎn)操作，但由于粘貼區(qū)域的變形是通過直接操作控制頂點的坐標(biāo)來完成的，難以滿足高精度的要求；高曙明等［3］提出基于Poisson方程的非均勻有理B 樣條（Non-Uniform Rational B-Spline curve，NURBS）自由曲面特征重用方法，在保持重用特征微分屬性不變的前提下生成單一連續(xù)的NURBS 曲面；Qin等［4］提出一種基于三角B 樣條網(wǎng)格曲面重構(gòu)點云數(shù)據(jù)的方法，有效地避免了曲面修補(bǔ)的復(fù)雜操作；Funkhouser等［5］提出以數(shù)據(jù)驅(qū)動的方式構(gòu)建曲面模型的方法，該方法中目標(biāo)模型的各組成部分（子特征）分別來自于現(xiàn)存的不同模型，體現(xiàn)了設(shè)計重用的思想。在逆向工程中，柯映林等［6］提出一種基于曲面變形的自由曲面特征重構(gòu)方法，通過控制特征線和約束線實現(xiàn)了對重構(gòu)曲面的編輯；鄧建松等［7］提出一種利用隱性PHT-Spline表示法從大量的點中重構(gòu)曲面模型；段黎明等［8］提出一種斷層成像技術(shù)的三維CAD 模型重構(gòu)方法，通過切片圖像獲取體數(shù)據(jù)，實現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)模板庫（Standard Template Library，STL）模型的重建。李際軍等［9］提出基于草圖線和輪廓線的模型曲面變形算法，實現(xiàn)了較直觀的網(wǎng)格模型的變形。上述曲面重構(gòu)與重用的各方法雖然都達(dá)到了設(shè)計者的要求，但是在重構(gòu)曲面精度及其參數(shù)化設(shè)計上卻鮮有研究。

目前，人們對規(guī)則曲面特征化的研究已經(jīng)比較成熟，但對自由曲面的研究相對較少。隨著自由曲面特征的應(yīng)用日益廣泛，自由曲面的特征化設(shè)計成為眾多學(xué)者的研究熱點。陸國棟等［10］提出基于三角網(wǎng)格實現(xiàn)三維服裝的參數(shù)化設(shè)計，并結(jié)合實際應(yīng)用將參數(shù)劃分為多層；Van den Berg等［11-12］利用特征點定義特征線，通過特征線控制特征形狀，提出一種基于曲線的自由曲面特征表示方法；Pernot等［13］提出完全自由曲面變形特征的概念，并且提供了特征生成和操作的方法和工具，隨后把原有的工作擴(kuò)展到參數(shù)化自由特征模板上［14］，但是所涉及的自由曲面特征主要局限于單一曲面；Nyirenda等15提出用數(shù)值參數(shù)和曲線參數(shù)描述自由曲面特征的方法，數(shù)值參數(shù)影響特征的整體形狀，曲線參數(shù)影響特征的局部形狀，但Nyirenda沒有提出數(shù)值參數(shù)與曲線參數(shù)之間的映射關(guān)系；Langerak 等［16］提出一種采用三元組表示曲面特征的形式化方法，以NURBS的控制點作為曲面特征構(gòu)建的基本元素，并在特征參數(shù)與控制點間直接建立映射關(guān)系，但映射關(guān)系過于復(fù)雜且難以實現(xiàn)。

筆者所在的工作組對自由曲面特征的參數(shù)化表示和分類方法做了部分研究，將自由曲面特征的參數(shù)和映射劃分為“三層參數(shù)兩級映射”結(jié)構(gòu)［17］，有效地解決了特征參數(shù)之間復(fù)雜的映射關(guān)系問題，并為用戶提供了曲面特征操作接口，以便用戶通過高層參數(shù)直觀地編輯修改自由曲面特征。本文在已有工作的基礎(chǔ)上側(cè)重于曲面重構(gòu)過程中新生成曲面與源曲面的形狀比較和修正，以及曲面特征化后的編輯修改。其中，采用Hausdorff距離作為描述兩個曲面的形狀相似度量［18］，以解決重構(gòu)曲面的精度問題。

1 曲面特征化框架

曲面模型局部區(qū)域的特征化過程一般包括模型局部區(qū)域劃分和選取、曲面重構(gòu)和參數(shù)化和曲面特征類的生成等，流程如圖1所示。

根據(jù)上述設(shè)計流程，基于曲面模型局部區(qū)域的特征化步驟如下：

步驟1 導(dǎo)入已有曲面模型，劃分和選取模型中的局部區(qū)域，并確定其邊界范圍。

步驟2 對選取的曲面局部區(qū)域進(jìn)行特征化，包括曲面重構(gòu)和參數(shù)化兩部分。

步驟3 將得到的曲面特征生成曲面特征類，并載入特征庫。

其中，步驟1和步驟2為本文研究的主要內(nèi)容。將以上流程所生成的曲面特征進(jìn)行編輯修改或重用到新模型上，有效地降低了設(shè)計工作的重復(fù)性，提高了設(shè)計效率，并通過改變特征參數(shù)值實現(xiàn)了產(chǎn)品模型的多樣化設(shè)計。

2 曲面特征化方法

在選取曲面模型局部區(qū)域并確定其邊界范圍后，所選取區(qū)域的特征化包括曲面重構(gòu)和參數(shù)化兩部分。首先，重構(gòu)所選取的曲面區(qū)域，以便用戶后期對曲面特征的編輯和修改操作；然后，對重構(gòu)的曲面進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計。其中，重構(gòu)曲面的精度對特征化的結(jié)果產(chǎn)生一定影響，本文著重研究重構(gòu)曲面及其形狀相似性比較。

2.1 局部區(qū)域的選取

在已有的曲面幾何模型中選取局部區(qū)域，并確定其邊界范圍。用戶所選取的區(qū)域一般是顯著的、具有一定工程語義的區(qū)域，其邊界范圍由選定區(qū)域的幾何信息或者用戶繪制的封閉線確定，并通過系統(tǒng)提供的拉伸、旋轉(zhuǎn)、掃略、覆蓋和蒙皮等方式生成所需的局部區(qū)域。

圖2a所示為某剃須刀的簡化模型，側(cè)面的凸?fàn)钋婵梢宰鳛橛脩暨x取的局部區(qū)域，其邊界范圍即為曲面的邊界線所包含的區(qū)域，通過自動提取即可得到邊界線信息；圖2b所示為某茶壺蓋模型，將頂部的把手作為用戶所選取的區(qū)域，并根據(jù)其邊界線和生成方式（旋轉(zhuǎn)）確定邊界范圍。

2.2 曲面重構(gòu)

自由曲面的重構(gòu)主要分為三個步驟：①獲取所選曲面的特征線草圖；②選擇一種合適的曲面生成方式，并生成新的曲面；③將新生成的曲面與源曲面進(jìn)行形狀比較。其中，新生成曲面與源曲面的形狀比較為本節(jié)研究的重點。

2.2.1 獲取曲面的特征線草圖

在曲面特征造型中，點、線、面構(gòu)成了曲面特征的幾何元素。線位于點與面的中間層，特征信息比較集中，既沒有點的繁瑣也沒有面的復(fù)雜，對其進(jìn)行處理比對點和面更有優(yōu)勢。因此，特征線在曲面造型中不僅是造型的基本單元，還具有特征信息，決定了曲面特征形狀的輪廓。

曲線的分類已有多種方式，依據(jù)曲線的自由度可分為退化二次曲線、非退化二次曲線、自由曲線和更復(fù)雜的自由曲線；依據(jù)曲線的生成方式可分為差值曲線、Bezier曲線、B 樣條曲線和NURBS 曲線等；依據(jù)曲線的表示形式可分為顯示、隱式和參數(shù)表示［19］；依據(jù)其造型功能可分為邊界線和目標(biāo)線［20］，本文根據(jù)特征線在曲面模型中的獲取方式將特征線分為三類：

（1）曲面固有的特征線 即曲面已含有的曲線。曲面模型通常采用邊界表示法，模型含有幾何和拓?fù)湫畔?，用戶可以較容易地從曲面帶有的線特征信息中直接提取。如圖3b所示為手機(jī)振鈴模型凸?fàn)钋娴倪吔缇€。

（2）利用算法識別的特征線 即在曲面較顯著的位置上識別的曲線，如曲率較大的地方。本文側(cè)重于通過曲面上的曲率最大值和連貫性獲取此類特征線。其基本步驟如下：①在曲面上確定一個子區(qū)域；②在該區(qū)域內(nèi)給定曲率的范圍值，以曲率較大值為起點，通過曲率連貫性離散出曲率較大的點；③提取上述離散點中的關(guān)鍵點，通過插值法生成一曲線。圖3c所示為在凸?fàn)钋媲瘦^大的區(qū)域識別出的主特征線。

（3）交互繪制的特征線 即用戶根據(jù)自己的意圖在感興趣的曲面上通過鼠標(biāo)點擊直觀、快捷地繪制的曲線［21］。其基本步驟如下：①在選定的曲面上通過鼠標(biāo)簡單地點擊，得到一系列初始點；②利用這些初始點，通過插值算法產(chǎn)生一初始曲線；③將產(chǎn)生的初始曲線投影到選定的曲面上，形成特征線，如圖3d所示的輔特征線。

2.2.2 基于特征線草圖的曲面重構(gòu)

曲面形狀一般由特征線草圖和曲面生成方式共同決定，在特征線草圖已經(jīng)確定的情況下，生成方式將決定曲面的形狀。在曲面重構(gòu)過程中，用戶需要根據(jù)源曲面的整體形狀并結(jié)合自身的經(jīng)驗知識選擇一種合適的曲面生成方式。在CAD 中，常見的曲面生成方式包括拉伸、旋轉(zhuǎn)、掃略、覆蓋、蒙皮、填充和放樣等。圖4列出了五種常見的曲面特征，其中圖4a、圖4b和圖4c分別表示通過拉伸、旋轉(zhuǎn)和掃略方式生成的拉伸曲面、旋轉(zhuǎn)曲面和掃略曲面，本文側(cè)重于采用覆蓋和蒙皮的方式進(jìn)行曲面重構(gòu)。覆蓋曲面的特征線草圖必須包含一條封閉的邊界線，在邊界線限定的范圍內(nèi)可以包含通過算法識別的約束線或者用戶自由繪制的約束線，然后采用覆蓋的方式生成覆蓋曲面，如圖4d所示，邊界線確定曲面的范圍，內(nèi)部的約束線決定曲面的基本形狀。蒙皮曲面的特征線草圖可以只包含多個約束線，這些約束線包括通過算法識別的或用戶自由繪制的曲線，然后通過蒙皮方式生成蒙皮曲面，如圖4e所示，包括3條截線，其截線按順序依次組成，各截線決定其基本形狀。

2.2.3 重構(gòu)曲面與源曲面形狀比較

為了描述兩個曲面的形狀相似性，本文利用Hausdorff測距法［22］對新生成的曲面進(jìn)行誤差比較。Hausdorff距離是描述兩組點集之間相似程度的一種量度，其形式化定義為

式中：

本文利用Hausdorff測距方法對重構(gòu)曲面進(jìn)行誤差比較，在曲面S0（u，v）上等步長采樣點集A=｛a1，…，an｝，在曲面S1（u，v）上等步長采樣點集B=｛b1，…，bm｝，則S0和S1兩曲面間的Hausdorff距離為H（A，B）。其基本步驟如下：

步驟1 在源曲面S0和重構(gòu)曲面S1上分別以等u，v參數(shù)上取N×N個采樣點。

步驟2 計算S0與S1之間的Hausdorff距離H（A，B）。

步驟3 當(dāng)H（A，B）≤Dmax（Dmax為給定的誤差閾值）時，認(rèn)為重構(gòu)曲面與源曲面基本一致。

步驟4 當(dāng)H（A，B）＞Dmax時，認(rèn)為重構(gòu)曲面沒有達(dá)到所需的精度，需要對曲面進(jìn)行重新構(gòu)建，并在誤差較大的位置上添加約束線，重構(gòu)新的曲面。

步驟5 重復(fù)執(zhí)行步驟1～步驟4，直到H（A，B）滿足所需的精度。

如圖5所示的手機(jī)振鈴模型上一凸塊狀的源曲面與重構(gòu)曲面之間的形狀比較，給定的誤差閾值為0.25mm。圖5a表示手機(jī)振鈴簡化模型，圖5b中的重構(gòu)曲面由源曲面的兩條邊界線和一條約束線組成的特征線草圖通過蒙皮的方式生成，兩曲面間的Hausdorff距離為0.324 25mm，大于所給定的誤差閾值，需要重新構(gòu)建。圖5c中的特征草圖又添加了6條輔助約束線，重新生成新的曲面，兩曲面間的Hausdorff距離為0.166 73 mm，達(dá)到了所需的要求。

圖6所示為一蝶狀源曲面與重構(gòu)曲面的形狀比較，給定的誤差閾值為0.25mm。圖6a表示一蝶狀自由曲面，圖6b中的重構(gòu)曲面由源曲面的兩條邊界線組成特征線草圖并通過覆蓋的方式生成，兩曲面間的Hausdorff距離為0.270 55 mm，大于給定的閾值，沒有達(dá)到所需的精度要求；在圖6c源曲面中間添加了一條主約束線并重構(gòu)曲面，Hausdorff距離為0.202 68mm，達(dá)到了所需要求；在圖6d的源曲面兩端再添加兩條約束線重構(gòu)曲面，Hausdorff距離為0.135 69mm，進(jìn)一步提高了精度。

2.3 曲面的參數(shù)化

在曲面的參數(shù)化設(shè)計方面，將自由曲面特征的參數(shù)及其映射劃分為三層參數(shù)兩級映射的結(jié)構(gòu)［14］，如圖7所示。特征參數(shù)從高層到底層分為高層參數(shù)、中間層參數(shù)和底層參數(shù)，并在這三層參數(shù)間分別建立相關(guān)映射和約束關(guān)系。高層參數(shù)描述曲面特征的整體形狀，中間層參數(shù)描述曲面特征線的形狀，底層參數(shù)則描述曲面、曲線的特征點。該方法將中間層作為橋梁，實現(xiàn)高層與中間層、中間層與底層間的兩級映射，有效解決了自由曲面特征參數(shù)之間復(fù)雜映射關(guān)系的問題，方便用戶通過少量高層參數(shù)直觀地編輯修改自由曲面特征。

本文主要采用基于CAD 模型的NURBS曲面進(jìn)行參數(shù)化驗證。圖8所示為元寶模型的S型自由曲面特征進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計的過程。圖8a為一元寶曲面模型，包含S型和半球型兩個自由曲面特征，對其S型曲面的特征參數(shù)及其映射關(guān)系以三層參數(shù)兩級映射的結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，并設(shè)置相應(yīng)的參數(shù)，如圖8b所示，其中：S表示曲面，C表示曲線，P表示特征點，L表示長度，W表示寬度，H表示高度等。

該自由曲面特征包括幾何元素E、語義參數(shù)SP、參數(shù)之間的函數(shù)映射關(guān)系F、元素之間的約束關(guān)系R，即參數(shù)化定義為R｝。其中：幾何元素包括E1=｛S1｝，E2=｛C1，C2｝，E3=｛P1，P2，P3，P4，P5，P0｝，E3中的六個元素表示C1，C2上的6個特征點；語義參數(shù)包括高層參數(shù)SP1=｛L，W，H｝，中間層參數(shù)SP2=｛L1，L2，H1，H2，a，b｝，底層參 數(shù)SP3=｛（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），（x4，y4，z4），（x5，y5，z5），（x0，y0，z0）｝為E3中6個特征點的坐標(biāo)；參數(shù)間的映射關(guān)系簡單描述如下：F1=｛X→Y｜X∈P1，Y?P2｝表示高層參數(shù)和中間層參數(shù)之間的函數(shù)映射關(guān)系，F(xiàn)2=｛Y→Z｜Y∈P2，Z?P3｝表示中間層參數(shù)和底層參數(shù)之間的函數(shù)映射關(guān)系；元素之間的約束關(guān)系R1=｛L，W，H，H1，H2，L1，L2，a，b｝，用參數(shù)值表示自由曲面特征所定義參數(shù)的幾何尺寸大小，R2=｛L=2×a，L=L1+L2，W=2×b，H=H1+H21，a＞0，0＜b≤a，H1＞0，H2＞0，L1＞0，L2＞0｝表示所定義參數(shù)之間的相互約束關(guān)系，R3=｛C1與C2相交于P1和P5｝表示特征曲線C1和C2之間的拓?fù)浼s束關(guān)系。

圖8c為通過覆蓋方式生成的S型曲面，并根據(jù)圖8b進(jìn)行的參數(shù)設(shè)置。圖8d～圖8f為分別改變其參數(shù)L，W和H后生成的曲面特征。

3 實例

本文所提方法在VC++2005和幾何造型引擎ACIS R22平臺上進(jìn)行了實例測試，測試模型來自工業(yè)實際產(chǎn)品。下面以振鈴模型和電動剃須刀模型為例說明局部區(qū)域的特征化。

圖9為手機(jī)振鈴模型的凸?fàn)钋嫣卣骰^程：①導(dǎo)入的振鈴簡化模型，如圖9a所示；②選取模型中的凸?fàn)钋孀鳛樘卣骰膶ο?，如圖9b的高亮部分所示；③獲取凸?fàn)钋娴奶卣骶€草圖，如圖9c所示的特征線草圖由兩條封閉的邊界線、一條主特征線和19條輔特征線組成；④利用已獲取的特征線草圖，由凸?fàn)钋娴恼w形狀選擇覆蓋的生成方式進(jìn)行曲面重構(gòu)，并通過Hausdorff測距法將新生成的曲面與源曲面進(jìn)行形狀比較，最終生成圖9d所示的重構(gòu)曲面；⑤圖9e和圖9f表示對重構(gòu)曲面進(jìn)行參數(shù)化后，分別改變其特征參數(shù)L（長度）和W（局部寬度）值所生成的曲面特征。

圖10所示為電動剃須刀模型局部區(qū)域的特征化過程。首先，導(dǎo)入剃須刀的簡化模型，如圖10a所示；然后，選取模型側(cè)面的凸?fàn)钋?，并獲取其特征線草圖，如圖10b和圖10c所示；再根據(jù)所選曲面的整體形狀，選擇覆蓋方式生成新的曲面，并通過Hausdorff測距法得到所需精度的重構(gòu)曲面，如圖10d所示（下方凸?fàn)钋妫?；最后，對重?gòu)曲面進(jìn)行參數(shù)化，圖10e和圖10f表示分別改變特征參數(shù)L（長度）和H（高度）的值所生成的曲面特征。

本文方法的計算效率主要體現(xiàn)在特征線的提取、曲面的重構(gòu)和形狀精度比較上。其中，特征線提取的效率主要包括特征線的識別算法和曲線繪制部分（識別算法由n個離散點數(shù)決定，時間復(fù)雜性為O（n））；曲面重構(gòu)的效率主要由曲面生成方式?jīng)Q定（不同生成方式的效率不同）；形狀精度比較的效率主要由時間復(fù)雜性決定（一般選擇n個離散點，時間復(fù)雜性為O（n2））。實驗表明，本文所提方法是一種有效的曲面模型局部區(qū)域的重構(gòu)與特征化方法，該方法能夠使用戶方便、快捷地對曲面模型的局部區(qū)域進(jìn)行特征化設(shè)計，并通過高層參數(shù)進(jìn)行直觀的編輯修改，從而提高產(chǎn)品設(shè)計的效率。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于特征線的曲面模型局部區(qū)域重構(gòu)與特征化方法，該方法對產(chǎn)品模型的局部區(qū)域進(jìn)行參數(shù)化并生成曲面特征，有效地解決了曲面模型局部曲面區(qū)域的編輯修改問題。針對重構(gòu)曲面的形狀精度，引入Hausdorff距離作為重構(gòu)曲面與源曲面的相似性度量，并通過添加相關(guān)的約束線減小兩曲面間的Hausdorff距離，從而提高了重構(gòu)曲面的精度。但是，在添加約束線的過程中還無法做到完全自動添加，該問題有待在今后的工作中進(jìn)一步研究和完善。

［1］BIERMANN H，MARTIN I，BERNARDINI F，et al.Cutand-paste editing of multiresolution surfaces［C］／／Proceedings of ACM SIGGRAPH 2002.New York，N.Y.，USA：ACM，2002，21（3）：312-321.

［2］ZHAO Wei，GAO Shuming.Freeform feature reuse based on hierarchical B-spline［J］.Journal of Computer Aided Design &Computer Graphics，2008，20（1）：6-12（in Chinese）.［趙 偉，高曙明.基于層次B樣條的自由形狀特征重用［J］.計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2008，20（1）：6-12.］

［3］ZHAO Wei，GAO Shuming，LIU Yusheng，et al.Poisson based reuse of freeform features with NURBS representation［J］.Computers in Industry，2009，60（1）：64-74.

［4］HE Ying，QIN Hong.Surface reconstruction with triangular B-splines［C］／／Proceedings of GMP 2004.Washington，D.C.，USA：IEEE，2004：279-290.

［5］FUNKHOUSER T，KAZHDAN M，SHILANE P，et al.Modeling by example［J］.SIGGRAPH，2004，23（3）：652-663.

［6］WANG Qing，LI Jianxiong，KE Yinglin.Deformation-based freeform feature reconstruction in reverse engineering［J］.Journal of Zhejiang University Science A，2008，9（9）：1214-1228.

［7］WANG Jun，YANG Zhouwang，JIN Liangbing，et al.Parallel and adaptive surface reconstruction based on implicit PHTsplines［J］.Computer Aided Geometric Design，2011，28（8）：463-474.

［8］DUAN Liming，LIU Yuanbao，WU Zhifang，et al.Method of reconstructing 3D CAD model based on industrial computed tomography［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2009，15（3）：479-486（in Chinese）.［段黎明，劉元寶，吳志芳，等.基于工業(yè)計算機(jī)斷層成像技術(shù)的三維CAD 模型重構(gòu)方法［J］.計算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2009，15（3）：479-486.］

［9］CHEN Baoyu，LI Jijun.Mesh deformation method based on sketch［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2010，16（6）：1168-1174（in Chinese）.［陳保宇，李際軍.基于草圖的網(wǎng)格曲面變形算法［J］.計算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2010，16（6）：1168-1174.］

［10］CHEN Long，WANG Jin，LU Guodong.3Dgarment design with parameterization methods［J］.Journal of Computer Aided Design &Computer Graphics，2011，23（9）：1504-1512（in Chinese）.［陳 龍，王 進(jìn)，陸國棟.三維服裝參數(shù)化設(shè)計技術(shù)［J］.計算機(jī) 輔助設(shè) 計與圖 形學(xué)學(xué) 報，2011，23（9）：1504-1512.］

［11］VAN DEN BERG E，VAN DER MEIDEN H A，BRONSVOORT W F.Specification of freeform features［C］／／Proceedings of the 8th ACM symposium on Solid modeling and applications.New York，N.Y.，USA：ACM，2003：56-64.

［12］VAN DEN BERG E.Free form feature modeling and validity maintenance［D］.Delft，the Netherlands：Delft University of Technology，2007.

［13］PERNOT J P，F(xiàn)ALCIDIENO B，GIANNINI F，et al.Fully free-form deformation features for aesthetic shape design［J］.Journal of Engineering Design，2005，16（2）：115-133.

［14］PERNOT J P，GIANNINI F，F(xiàn)ALCIDIENO B，et al.Parameterised free-form feature templates［C］／／Proceedings of IEEE International Conference on Shape Modeling and Applications.Washington，D.C.，USA：IEEE，2009：140-147.

［15］NYIRENDA P J，BRONSYOORT W F.Numeric and curve parameters for freeform surface feature models［J］.Computer-Aided Design，2008，40（8）：839-851.

［16］LANGERAK T R，VERGEEST J S M.A new framework for the definition and recognition of free form features［J］.Journal of Engineering Design，2007，18（5）：489-504.

［17］HE Kunjin，CHEN Zhengming，ZHAO Lihua.A new method for classification and parametric representation of freeform surface feature［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2011，57（1-4）：271-283.

［18］LANGERAK T R.Local parameterization of freeform shapes using freeform feature recognition［J］.Computer-Aided Design，2010，42（8）：682-692.

［19］SUN Jiaguang.Computer graphics［M］.3rd ed.Beijing：Tsinghua University Press，2005：301-333（in Chinese）.［孫 家廣.計算機(jī)圖形學(xué)［M］.3 版.北京：清華大學(xué)出版社，2005：301-333.］

［20］PERNOT J P，GUILLET S，LEON J C.A shape deformation tool to model character lines in the early design phases［C］／／Proceedings of the 8th ACM Symposium on Solid Modeling and Applications.New York，N.Y.，USA：ACM，2003：165-172.

［21］DEKKERS E，KOBBELT L，PAWLICKI R，et al.A sketching interface for feature curve recovery of free-form surfaces［J］.Computer-Aided Design，2011，43（7）：771-780.

［22］HOPPE H，DEROSE T，DUCHAMP T，et al.Surface reconstruction from unorganized points［C］／／Proceedings of ACM SIGGRAPH 1992.New York，N.Y.，USA：ACM，1992：71-78.