脈沖星磁輻射制動力矩對具有磁輻射的兩成分模型自旋的長期減速*1

李林森

(東北師范大學物理學院，吉林 長春　130024)

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脈沖星磁輻射制動力矩對具有磁輻射的兩成分模型自旋的長期減速*1

李林森

(東北師范大學物理學院，吉林 長春130024)

摘要：利用分析法研究了具有磁輻射的兩成分模型(殼層和中子超流體)的脈沖星在可變的磁輻射制動力矩的作用下，兩成分自旋角速度隨時間的長期變化。給出了具有磁輻射兩成分模型的耦合方程組的分析解。理論結果給出兩成分模型在外力可變的磁輻射制動力矩的作用下，自旋角速度隨時間長期減慢。利用所得的分析解對具有磁輻射的兩成分模型蟹狀星云脈沖星(PSR0531+21)(Crab)在磁輻射力矩可變的情況下做了數(shù)值計算。并討論了所得的理論和數(shù)值結果。結果表明，蟹狀星云脈沖星(PSR0531+21)在磁輻射制動力矩的作用下，殼層自旋角速度隨時間的長期減速每年為-0.245 s。

關鍵詞：脈沖星；具有磁輻射的兩成分模型；磁輻射力矩；自旋減速

為了解釋脈沖星突然加速的現(xiàn)象，許多學者對脈沖星提出各式各樣的模型，其中較成功的模型如磁偶極輻射模型、四極彈性能模型以及兩成分模型等，兩成分模型最先由文[1-3]提出。兩成分模型主要是由導電較高的固體外殼和殼內的中子超流體的混合物組成。因此中子星的構造模型顯然分為兩部分：一部分是帶電的固體外殼；另一部分是殼內的中子超流體的混合體。此外，兩成分以不同角速度自轉。自轉使超流體成分同帶電成分在粘滯作用下相耦合，盡管這種耦合是弱的，但也反應出超流體的豐富度和耦合的程度。由于脈沖星磁偶極輻射在脈沖星表層產生磁輻射制動力矩，這種力矩使兩成分自旋角速度改變。因此，只要知道磁轉矩變化以及可觀測的宏觀馳豫時間τ和中子超流體的豐富度Q，兩成分的自旋耦合的微分方程可解。文[4]給出了對兩成分耦合方程組在磁輻射制動力矩不變的情況下耦合方程組的解并對解做了討論。文[5]研究了中子星的發(fā)射噪聲的兩成分模型， 但沒有研究磁輻射力矩對兩成分模型角速度改變的影響。文[6]研究中子星兩成分模型在廣義相對論構架內的自轉動力方程，并假定殼成分的轉動Ωc為常數(shù)，而中子超流體層的角速度依賴于坐標，但沒有研究磁輻射力矩對兩成分模型角速度改變的影響。本文作者研究了在磁輻射制動力矩隨時間可變的情況下，具有磁輻射的兩成分角速度變化的規(guī)律，并給出方程組的解。最后將解應用于具有磁輻射兩成分模型的蟹狀星云脈沖星(Crab pulsar)的兩成分角速度隨時間變化的數(shù)值解，此解不同于文[4]給出的解。

1脈沖星兩成分的耦合方程式及其在磁輻射力矩不變條件下的解

根據兩成分模型理論，兩成分的自旋角速度并不一致。假定帶電的固體外殼的轉動慣量為IC并以角速度Ω繞自轉軸旋轉，而殼內中子超流體的轉動慣量In并以角速度Ωn繞自轉軸旋轉，但Ω≠Ωn，帶電外殼成分與殼內中子超流體成分之間的耦合由下式給出[4]：

(1)

(2)

(1)式、(2)式是在星震后不存在躍變時的方程組。其中，N(t)為外部輻射制動力矩；τc是理論上計算的脈沖星弛豫時間或稱微觀弛豫時間， 它依賴于Ω。文[7]給出計算τc的公式，文[8]將τc用下式表示：

(3)

其中，Δ為超流體間隙參數(shù)(能量間隔)；EF為電子的費米能量。

微觀弛豫時間τc可用宏觀弛豫時間τ表示，宏觀弛豫時間τ是可以觀測的時間，兩者之間關系由下式表示[8]：

(4)

中子超流體的豐富度Q：

(5)

其中，ΔΩn為Ωn的初始躍變，而總轉動慣量I：

(6)

文[8]指出只要Ic?In，Q可以表示：

(7)

由于大多數(shù)脈沖星均滿足上述條件，故：

(8)

因此，(4)式可以寫成：

(9)

文[4]給出了在磁輻射制動力矩N不變的情況下，耦合方程組(1)～(2)的解：

(10)

以下本文給出在輻射制動力矩N可變的情況下，方程組(1)～(2)的解并應用于脈沖星。

2可變磁輻射制動轉矩的形式

本文研究具有磁輻射的兩成分模型的脈沖星。有磁輻射必然有磁輻射力矩作用在具有磁輻射的兩成分模型上，所以方程組(1)～(2)中N是磁輻射力矩。本文給出磁輻射力矩隨時間變化的公式。

按磁偶極輻射模型，脈沖星的輻射功率Wd是由自轉能的變率E·轉化來的，即

(11)

輻射功率和自轉能的變率可寫成[ 9 ]：

(12)

由(11)和(12)式可得

(13)

其中，磁矩μ=R3Bssinα；R為脈沖星半徑；Bs為脈沖星的表面磁場。假定磁轉矩垂直于自轉軸，則α=900，故磁矩μ=R3Bs。如果在短時間內不考慮磁衰減或增長，則(13)式成為

(14)

積分式的下限t0是在星震后不存在躍變時具有磁輻射的兩成分模型統(tǒng)一體的初始時間。這個初始時間t0不是脈沖星誕生開始t=0時的初始時間，它是具有磁輻射的兩成分模型統(tǒng)一體從現(xiàn)在年齡開始的時間。J(t0)是t0時的角動量：

所以：J(t)m=J(t0)m[1+K1(t-t0)]-1/2,

(15a)

(15b)

利用(15a)和(15b)可以給出磁輻射制動力矩N(t)的表達式：

將(15a)式代入上式后得

(16)

3磁輻射制動力矩可變情況下兩成分耦合方程組(1)～(2)的分析解

下形式：

(17)

(18)

這樣，方程組(1)～(2)可用觀測到的宏觀弛豫時間τ表示。將方程組(1)和(2)的兩端各項相加，可得

轉動慣量Ic和In不變或為常數(shù)的情況下，將(16)式的N(t)代入上式積分后可得

所以： J(t)m=IcΩ+InΩn=J(t0)m[1+K1(t-t0)]-1/2.

在鐘揚排得密密麻麻的時間表里，學生的事總是優(yōu)先的。他還是很多中小學生喜愛的明星專家、“科學隊長”，心甘情愿將大量寶貴的時間分給科普。他說：“小時候家中那套殘缺不全的《十萬個為什么》讓我相信，科學能深入兒童心靈?！?/p>

(19)

此式正好是(15a)式，這說明角動量變化的(19)式左端的J(t)m是兩成分角動量之和。

利用(7)～(8)式將(19)改成下列兩式：

(20)

(21)

將(21)式的Ωn代入(17)式，方程組(17)～(18)變成下列一組一階非線性齊次方程組：

(22)

(23)

解(22)式得到Ω后再代入(23)式得到Ωn的解。

同樣，將(20)的Ω代入(18)式，方程組(17)～(18)式變成下列另一種形式：

(24)

(25)

解的形式為

令：Ω=e-t/τ(I1+I2)+C1e-t/τ.

(26)

積分式：

I1和I2代入(26)式，得

(27)

(28)

利用初始條件t=t0,Ω(t0)=Ω(t0)m，這表示磁輻射和兩成分統(tǒng)一體在星震和躍變后從現(xiàn)在輻射年齡t0開始， 則由上式可得

所以殼層角速度Ω在磁輻射力矩作用下隨時間變化是

(29)

(30)

在(29)式中，t-t0=(t0+Δt)-t0=Δt，Δt是以年為單位的時間間隔， 它與脈沖星年齡無關， 也與起始時間無關，所以 (29)式可以寫成用時間間隔表示的式子：

(31)

此式只與取的時間間隔有關，而與時間起點無關。故本文在計算時取時間間隔為一年。

將(29)式代入(23)式后可得到Ωn的一階線性非齊次方程， 令其解為

(32)

利用前面的積分方法可得I1、I2、I3、I4各積分結果和所得常數(shù)C，將其代入上式，由此得到中子超流體的角速Ωn隨時間變化的解(推導式子較長，因篇幅關系略去)：

(33)

(34)

(29)式和(33)式就是本文給出的脈沖星磁輻射力矩對兩成分模型自轉角速隨時間長期變化的式子。

4脈沖星PSR0531+21(Crab)的理論數(shù)值結果

本文研究的脈沖星必須具有磁輻射的兩成分模型，根據文[3]，蟹狀星云脈沖星(Crab, PSR0531+21)是兩成分模型，根據文[4]它又是磁輻射模型或是具有這兩種模型的統(tǒng)一體。本文選取Crab脈沖星(PSR0531+21)作為計算實例。首先給出這個脈沖星的物理參數(shù)如表1，其中Ω0、Q、τ引自文[3, 10]，表面磁場Bs引自文[11]，μ=R3Bs。一般假定中子星的半徑R=1.2 × 106cm，轉動慣量I=1.4 × 1045(cm3·g)[6]

表1　蟹狀星云脈沖星(PSR0531+21)的物理數(shù)據

將表1中的數(shù)據代入(28)式，得到PSR0531+21的K1=5.43 × 10-11,K2=4.33 × 10-4,K3=2.35 × 10-8，再取時間間隔Δt=1年。 將K1、K2、K3的數(shù)值代入(30)和(31)式，得到PSR0531+21(Crab)的殼層在磁輻射力矩作用下角速每年變化的數(shù)值如表2。

表2蟹狀星云脈沖星(PSR0531+21)的數(shù)值的結果(每年變化的數(shù)值： Δt=1年)

Table 2The numerical results for PSR0531+21 per year (Δt=1 year)

脈沖星PulsarΩ(t)(rad/s)Ω/Ω0δΩ(rad/s)PSR0531+21(Crab)189.75500.999871-0.2450

Ω0的數(shù)值在表1中給出。

對于中子超流體的角速度變化情形由于初始角速度Ω(t0)n難以觀測到, 所以中子超流體的角速度Ω(t)n隨時間變化也同樣難以觀測到。故本文只能根據所推得的理論式子對殼層角速度變化做一計算，但給出中子超流體的角速度變化的理論式子仍有理論價值和意義。

5討論和結論

(1)對推得的理論結果式子的驗證。將初始時間t=t0代入理論式子(29)和(33)，可得到右端的初始角速度Ω(t0)和Ω(t0)n。即(29)～(30)和(33)～(34)式變成Ω=Ω(t0),δΩ=0;Ωn=Ω(t0)nδΩn=0。這說明文中給理論結果是正確的。此外，(29)和(33)式的級數(shù)隨時間增大是收斂的。

(2)根據表2給出的數(shù)值結果，脈沖星PSR0531+21在磁輻射外力矩的作用下，外殼角速度隨時間逐漸減慢，然而這種減速是長期的，而和由于殼震角速突然加速的躍變兩者迥然不同。前者是長期性的，后者是突然臨時性的。此外，前者長期減速不會影響后者突然躍變的加速，而后者的突然躍變加速對前者的長期變化也不產生影響。因為方程組(1)～(2)是在星震躍變不存在的情況下成立，因此它的解(長期變化)不受星震和躍變的影響。

(3)脈沖星磁輻射的演化起點是從脈沖星誕生t=0開始，而兩成分模型的演化起點是從星震和躍變后為起點， 兩者并不一致。 本文致力于如何使兩個模型的演化起點合二為一，這是本文解決此問題的特點。本文研究的脈沖星具有磁輻射和兩成分的統(tǒng)一體(Crab脈沖星就是這兩種模型的統(tǒng)一體)，因此，演化的起點t0必須在星震和躍變后統(tǒng)一體的初始時間。如果按磁輻射的初始時間是脈沖星誕生t=0為起始時間，可是脈沖星誕生時的物理參量是一個不確定的較大的物理量。另外也不符合兩成分模型的演化起點。 因此應該采用脈沖星的現(xiàn)在年齡t0為兩個模型統(tǒng)一體的初始時間。 在積分式子(29)～(30)中，取從t0到t為積分上下限， 可是t=t0+Δt，故在(29)～(30)式子中取t-t0=(t0+Δt)-t0=Δt。按本文計算取時間間隔Δt=1年，所以演化時間間隔與脈沖星演化的起始時間無關。這樣，具有磁輻射的兩成分模型，如Crab脈沖星的演化時間可選取在星震和躍變后磁輻射和兩成分的統(tǒng)一體的現(xiàn)在年齡為兩者的初始時間。這個方法解決了上述兩個模型演化起點不一致的問題。

(4)本文假定(13)式中的磁偶極矩μ為常量，即不隨時間衰減或增長。實際上，如果從長期考慮磁矩μ是隨時間變化的。即μ=μ0e-ξt,ξ=2/τD。文[9]給出的τD=1.6 × 106年，ξ=1.3 × 10-6年。因此，磁衰減時間較長，磁衰減系數(shù)每年很小。本文只計算每年角速的變化值，因此，磁衰減的影響可以不必考慮。

另一方面，有的脈沖星的磁場是增長的。例如文[12]給出的PSR0531+21(Crab脈沖星)屬于磁場增長的脈沖星，即μ=μ0e+ξt=R3B0e+ξt，但磁場增量很小，增量為+0.000 6 × 1 012 G/年。這樣小的增量對Crab脈沖星每年殼層角速度變化的影響也可不必考慮。

(5)在第3節(jié)中I1、I2、I3、I4各積分式子利用了下面的積分公式：

級數(shù)展開式應用于本文n=1/2,a=1/K1τ和x=[1+K(t-t0)]。表1中K=5.43 × 10-11，τ=7.7 d=665 280 s,K1τ=3.612 4 × 10-5，x>1隨時間t延長而增加。將這些代入上式， 此級數(shù)是收斂的。所以，I1、I2、I3、I4各積分式是收斂的，故此所得(29)式也是收斂的。另外，如果將第4節(jié)表1下面的K1、K2、K3的數(shù)值代入(29)式也可得到(29)式是收斂的，當[1+K1(t-t0)]隨時間t延長而增大。但由于在級數(shù)中略去了[1+K1(t-t0)]-7/2以上的高階項，所以，解(29)式是近似的。

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*收稿日期：2015-12-20；

修訂日期：2016-02-06

作者簡介：李林森，男，教授. 研究方向：天體自轉理論. Email: dbsd-lls@163.com

中圖分類號：P1

文獻標識碼：A

文章編號:1672-7673(2016)03-0277-07

The Impact of Magnetic Radiation Braking Torque on the Secular Retardation of Spin of Two-Components of Pulsar

Li Linsen

(School of Physics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China, Email: dbsd-lls@163.com)

Abstract:The secular influences of the variable magnetic radiation braking torque on the spin down of two-components of pulsar are studied by using analytical method. The analytical solutions of the coupled equation system are given with due consideration of the time-dependent magnetic braking torque by solving the system of non-homogeneous equations. The analytical solutions obtained are applied to the research for PSR0531+21 (Crab Pulsar). The numerical results are obtained in Table 2. The numerical results show that the spin of Crab pulsar speeds down -0.245rad/yr. Discussions are held on the obtained results.

Key words:Pulsar; Two-component model; Magnetic radiation torque; Speed down

CN 53-1189/PISSN 1672-7673