試論小學(xué)數(shù)學(xué)概念的開放性

趙劍峰

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是提高學(xué)生素質(zhì)的重要途徑之一。學(xué)生素質(zhì)的提高不僅在于知識(shí)的積累，更重要的是在獲取知識(shí)過程中數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)。具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)已成現(xiàn)代社會(huì)對(duì)公民的基本要求。在基礎(chǔ)教育中加強(qiáng)和改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，已成為世界各國(guó)尤其是經(jīng)濟(jì)強(qiáng)國(guó)普遍關(guān)注的課題。其中，數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。眾所周知，學(xué)生的思維是否靈活，從其解題過程可以體現(xiàn)出來；而學(xué)生解題是否靈活往往取決于學(xué)生對(duì)概念掌握的程度。因此，要培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，在教學(xué)中就應(yīng)重視概念教學(xué)。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在的問題

如何進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是值得研究的問題。多年來，很多小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)往往存在這樣一種現(xiàn)象。整個(gè)教學(xué)過程都是以教師講述為主，而學(xué)生只是作為聽眾。整個(gè)課堂就是教師講述概念，學(xué)生牢記概念，接著就是配套的練習(xí)來鞏固知識(shí)。但在這個(gè)過程中，學(xué)生不能經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探索、歸納、總結(jié)與交流這個(gè)知識(shí)形成的過程，知其然而不知其所以然，只能停留在感性認(rèn)識(shí)的層面上，難以上升到理性認(rèn)識(shí)的層面。在教學(xué)實(shí)踐中，教學(xué)者主要存在以下幾方面的問題：

忽視概念的本質(zhì)特征，重視概念的運(yùn)用計(jì)算 新課程理念下，很多學(xué)者提出了淡化概念的教學(xué)觀。淡化概念已成為教育界較為流行的口號(hào)，很多教師的教學(xué)行為被這種時(shí)髦的口號(hào)所左右而無所適從。例如，在教授“有余數(shù)的除法”一課，課件出示23盆花，按每組擺5盆的擺法，還剩下3盆；然后告訴學(xué)生余下的3盆就是余數(shù)；接著，就是大量地講授有余數(shù)除法的解題步驟。這樣的講述方法，學(xué)生其實(shí)根本不知道什么是余數(shù)、余數(shù)為什么一定要比除數(shù)小等問題。

忽視概念的探索過程，注重結(jié)論記憶 有的教師認(rèn)為，學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，就應(yīng)該把數(shù)學(xué)基本概念反復(fù)記牢，這樣，應(yīng)用才有的放矢。于是，往往出現(xiàn)把概念灌輸給學(xué)生的現(xiàn)象。例如，一位教師教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”，為了使學(xué)生認(rèn)識(shí)圓心，就讓學(xué)生將圓形紙片對(duì)折幾次再打開，然后告訴學(xué)生這些折痕相交的一點(diǎn)叫做圓心。至于怎樣啟發(fā)學(xué)生想到用這種方法找圓心，學(xué)生還可以用哪些方法找圓心，就不去考慮了。

忽視概念的靈活運(yùn)用，注重概念的形式運(yùn)用 概念的鞏固中，用得較多的就是對(duì)比和判斷。在學(xué)生把概念背熟后，當(dāng)然能準(zhǔn)確地判斷是否正確。教師如果不聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)來創(chuàng)造合適的條件，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題中去靈活運(yùn)用所學(xué)的概念，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在一些綜合性問題和變式題時(shí)就無處下手。

在概念教學(xué)上的片面性是因人而異的。比如，有的教師還存在著“重給予，輕探索”“重課本，輕實(shí)踐”“重形象，輕抽象”等現(xiàn)象。這些問題必定會(huì)影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念的開放性教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)并不僅限于陳述性知識(shí)，而主要是策略性知識(shí)，培養(yǎng)思維能力應(yīng)成為概念教學(xué)的核心，為此，在概念的再創(chuàng)造過程中，要突出過程性知識(shí)的教學(xué)?！斑^程性知識(shí)指的是伴隨數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)性知識(shí)”，這明確告訴我們：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)最重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程。

南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)課程改革深入發(fā)展所必須解決的一個(gè)難點(diǎn)。教學(xué)時(shí)，要淡化形式，注重實(shí)質(zhì)，要由‘靜態(tài)的教學(xué)定義向‘動(dòng)態(tài)的生成過程過渡?！倍_放性數(shù)學(xué)教學(xué)正是這樣一種有利于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方法。數(shù)學(xué)概念的開放性教學(xué)，不僅能有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和創(chuàng)新精神，有十分重要的意義。

開放教學(xué)環(huán)境的生成

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展過程。教師是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者?！遍_放式的課堂教學(xué)要求構(gòu)建和諧、民主、平等、友好的師生關(guān)系，創(chuàng)設(shè)一種愉悅、和諧、寬松、自由的課堂氛圍。在整個(gè)教學(xué)過程中，不是教師一個(gè)人主宰，而是師生共同完成。實(shí)踐證明，教師精心設(shè)計(jì)的各種教學(xué)情景，能夠引起學(xué)生學(xué)習(xí)的意向。課題的揭示，活動(dòng)的組織，或者提供一個(gè)場(chǎng)景，都能引起學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的興趣。以“角的初步認(rèn)識(shí)”為例：

師：請(qǐng)大家先跟著老師一起來做個(gè)手指游戲，活動(dòng)一下筋骨。（在手指游戲中會(huì)出現(xiàn)好多個(gè)角）小朋友們，今天老師帶了許多好朋友來和大家一起上課，歡迎嗎？

生：歡迎。

師：不過，老師還想賣個(gè)關(guān)子，我不直接告訴你他是誰，請(qǐng)你根據(jù)我的提示猜一猜，行嗎？第一個(gè)朋友，它呢，有四條邊、四個(gè)角，而且相對(duì)的兩條邊長(zhǎng)度相等。它是……

生1：長(zhǎng)方形。

生2：正方形。

生3：還可能是平行四邊形。

師：那到底會(huì)是誰？（出示長(zhǎng)方形）讓你們猜中了。

第二個(gè)朋友和他是一個(gè)家族的，也是四條邊，只不過這四條邊的長(zhǎng)度都一樣，猜出來了嗎？

生：（齊喊）是正方形！

師：第三個(gè)朋友與它們就有點(diǎn)不同了，只有三條邊，三個(gè)角，它是誰呀？

生：三角形。

師：小朋友們真聰明！老朋友介紹完了。該是我們的新朋友登場(chǎng)了，這位新朋友就藏在這幾個(gè)朋友里面。你們猜猜看，它會(huì)是誰？

生1：是圓形。

生2：是四邊形。

師：（隱去一些邊，只剩角）瞧，它來了！認(rèn)識(shí)嗎？

生：是角。

師：這節(jié)課，我們就一起來認(rèn)識(shí)角。

在這一課堂上，教師通過為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“手指游戲”和“猜猜平面圖形”的游戲來引出“角”，激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，使得課堂氣氛一下子活躍起來。問題的起點(diǎn)較低，幾乎所有的學(xué)生都能作答，并且溝通了“角”與其他平面圖形的關(guān)系。這樣的開放性導(dǎo)入，既復(fù)習(xí)了與新知識(shí)密切相關(guān)的舊知識(shí)，為學(xué)習(xí)新知識(shí)作了鋪墊，又培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新的意識(shí)。

開放教學(xué)內(nèi)容

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)，要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活環(huán)境，從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的情境”“教師要積極利用各種教學(xué)資源，創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計(jì)適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)過程”。這就要求教師創(chuàng)造性地處理教材，用全新的觀念把握教材，抓住教材的特點(diǎn)，充分利用課程資源，重新選擇和組織教材。以“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”為例，一位教師這樣導(dǎo)入：endprint

師：用若干相同小正方形拼長(zhǎng)方形，當(dāng)小正方形的個(gè)數(shù)為多少時(shí)，只能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？

生：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)小正方形的個(gè)數(shù)為2，3，5，7，13時(shí)，只能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：請(qǐng)說說長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

生：長(zhǎng)方形的寬和長(zhǎng)分別是1和2，1和3，1和5，1和7，1和13。

師：2，3，5，7……這些數(shù)有著自己的特點(diǎn)，這種特點(diǎn)在同學(xué)們剛才拼擺長(zhǎng)方形的活動(dòng)中也能得到體現(xiàn)，有這種特點(diǎn)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)。想一想，什么叫質(zhì)數(shù)？

新穎的教學(xué)設(shè)計(jì)，使得數(shù)的教學(xué)不僅僅只限制于“數(shù)”，而是把數(shù)的教學(xué)與圖形教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來。在教學(xué)概念時(shí)，不是簡(jiǎn)單地給出一組正整數(shù)，讓學(xué)生分別寫出它們所有的約數(shù)，然后給這些數(shù)分類，從而引出概念；而是精心設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題，“用若干相同的小正方形拼成長(zhǎng)方形，當(dāng)小正方形的個(gè)數(shù)為多少時(shí)，只能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？”先讓學(xué)生獨(dú)立思考，每個(gè)人以自己的思維方式進(jìn)行探索，有的學(xué)生借助小正方形進(jìn)行拼擺，有的學(xué)生用鉛筆在紙上畫，也有的學(xué)生寫出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，然后在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組交流。本課設(shè)計(jì)在學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過觀察、動(dòng)手操作、討論、自主學(xué)習(xí)來學(xué)習(xí)新知識(shí)，使得原本枯燥的概念教學(xué)課變得生動(dòng)有趣。學(xué)生在做中學(xué)，源于課本又超越課本。

開放探究過程

概念的形成不是靠死記硬背，需要一個(gè)過程。開放概念探究的過程，給學(xué)生發(fā)展的空間。新課程標(biāo)準(zhǔn)提出“降低一些概念過分‘形式化要求”，它明確地告訴我們：數(shù)學(xué)概念教學(xué)最重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程。在開放式的概念教學(xué)過程中，教師要注重學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在活動(dòng)中有充分發(fā)揮的空間與時(shí)間。以“平行四邊形和梯形”一課中的“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”為例：

師：觀察平行四邊形，它們可能會(huì)有什么共同的特點(diǎn)？

生1：平行四邊形有四條邊，四個(gè)角。

生2：有兩組平行而且相等的對(duì)邊，對(duì)角相等。

師：平行四邊形真的有這些特征嗎？你能有什么辦法可以來驗(yàn)證一下？

（小組討論：①驗(yàn)證對(duì)邊平行）

生1：可以用畫平行線的方法……

生2：可以在兩條對(duì)邊之間畫兩條垂線，再量一量是否相等……

（小組討論：②驗(yàn)證對(duì)邊相等）

生3：用尺量一下對(duì)邊的長(zhǎng)度，量出來的長(zhǎng)度是相等的。

生4：把其中兩個(gè)對(duì)角用直線連起來，再沿著這條直線剪開，這兩個(gè)三角形重合……

（小組討論：③驗(yàn)證對(duì)角相等）

生5：用量角器來量……

生6：可以剪成兩個(gè)平行四邊形，再把它們疊在一起……

生7：可以把對(duì)角撕下來……

在學(xué)習(xí)平行四邊形的概念時(shí)，教師不是將概念一帶而過，而是把自主權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自己來探究平行四邊形的特征，從而得出概念。在探究中，教師只是給學(xué)生出了兩個(gè)問題：“觀察平行四邊形，它們可能會(huì)有什么共同的特點(diǎn)？”“平行四邊形真的有這些特征嗎？你能有什么辦法可以來驗(yàn)證一下？”學(xué)生通過各種方法來探究特征，在此基礎(chǔ)上得出概念。如此教學(xué)，比起教師一味地灌輸好得多，使得學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)探究過程，充分體現(xiàn)了“學(xué)生是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，教師是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者”這一新課程理念。這是學(xué)生通過觀察后猜測(cè)得出的結(jié)論，教師只是引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作來驗(yàn)證這些猜測(cè)是正確的。學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)探索過程，對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)一定會(huì)更加深刻。

開放應(yīng)用過程

在概念應(yīng)用這一環(huán)節(jié)中，教師要強(qiáng)化學(xué)生已經(jīng)形成的正確認(rèn)識(shí)，鞏固所學(xué)的概念，而不能是一味地強(qiáng)調(diào)“學(xué)以致用”。不應(yīng)只限于形式化練習(xí)，還得考慮與學(xué)生實(shí)際生活的聯(lián)系以及學(xué)生的發(fā)展。為此，教師要精心設(shè)計(jì)練習(xí)，以幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)，提高學(xué)生的探究能力。比如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算方法后，可以設(shè)計(jì)一例：“王師傅準(zhǔn)備用籬笆靠墻圍一塊長(zhǎng)8米、寬6米的長(zhǎng)方形菜地，圍住這塊菜地需要用多長(zhǎng)的籬笆？”通過此例既可鞏固學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式的理解，又可培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，還可以通過比較增強(qiáng)學(xué)生的優(yōu)化意識(shí)，而且結(jié)論不是唯一的?？梢姡虒W(xué)中需以教材為本，從生活中取材，設(shè)計(jì)一些切合學(xué)生生活實(shí)際的開放題，使學(xué)生有“想頭”，有利于激發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生能體會(huì)到概念的應(yīng)用價(jià)值。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中設(shè)計(jì)開放性問題，進(jìn)行開放性問題教學(xué)，能有效激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意念，擴(kuò)大創(chuàng)新視野，使學(xué)生積極投身于創(chuàng)造性活動(dòng)，不斷開發(fā)創(chuàng)造潛能，使學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力不斷提高。

開放性教學(xué)是根據(jù)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需求而進(jìn)行的教學(xué)。那么，小學(xué)數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)也必然符合小學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。但數(shù)學(xué)概念實(shí)施開放性教學(xué)，不是拋棄傳統(tǒng)的教學(xué)方法，而是應(yīng)該把握“放”字。數(shù)學(xué)概念開放性教學(xué)是在新課標(biāo)背景下產(chǎn)生的，對(duì)教師和學(xué)生都提出了更高的要求。只有在摸索中不斷前進(jìn)，才能真正有效地進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)概念的開放性教學(xué)。

（作者單位：浙江省紹興市東浦鎮(zhèn)中心小學(xué)）endprint