GPS 衛(wèi)星鐘差二次多項式預(yù)報模型的總體最小二乘算法

張清鸞ZHANG Qing-luan；魏朋WEI Peng；危威WEI Wei

（昆明理工大學(xué)國土資源工程學(xué)院，昆明 650093）

（Faculty of Land Resource Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650093，China）

0 引言

在GPS 精密單點定位技術(shù)中，需要提供衛(wèi)星的精密軌道和鐘差。目前，國際GNSS 服務(wù)組織（International GNSS Service，IGS）已能提供預(yù)報時長僅需3 小時的、精度5cm 的衛(wèi)星軌道預(yù)報，但是在鐘差預(yù)報方面，IGS 所提供的SP3 精密星歷中的鐘差數(shù)據(jù)雖能達到0.1ns 的精度以滿足厘米級的定位要求，但有13 天的延時性，無法滿足實時定位要求，所以衛(wèi)星鐘差的預(yù)報對精密單點定位有著及其重要的意義。目前，對于衛(wèi)星鐘差短期常用二次多項式模型實施預(yù)報，它是一類以時間為變量的函數(shù)模型，其基本算法是通過最小二乘原則對模型參數(shù)進行估計，代入模型對衛(wèi)星鐘差進行預(yù)報，文章通過另一種算法即總體最小二乘原則對模型參數(shù)進行估計，并比較兩類算法的預(yù)報精度。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基本模型

目前常用的衛(wèi)星鐘差短期短期預(yù)報模型為二次多項式模型，該模型的實質(zhì)是將冪函數(shù)作為冪函數(shù)對時間間隔均勻的鐘差時間序列做擬合，基本模型如下：

衛(wèi)星鐘在時刻t 的鐘差一般可表示為

其中a0、a1、a2為待估參數(shù)，a0表示t0時刻原子鐘的鐘差，a1表示t0時刻該原子鐘的鐘速（頻偏），a2表示t0時刻該原子鐘的半加速度（頻漂項）。其中，若時鐘讀數(shù)秒長均勻，a2應(yīng)為零。

1.2 模型參數(shù)的最小二乘估計

設(shè)相對于時刻t1，t2，…，tn的衛(wèi)星鐘差為x1，x2，…，xn，其觀測誤差為vi，可由式（1）建立誤差方程

則（3）可寫為

按最小二乘估計原則，有估計值

1.3 模型參數(shù)的總體最小二乘估計

當(dāng)觀測方程系數(shù)陣以及觀測值均含有隨機誤差時，最小二乘解為有偏，此時顧及系數(shù)陣隨機誤差，按總體最小二乘準(zhǔn)則估計計算出的總體最小二乘解則是無偏的。該結(jié)論已被文獻[3]所證明，此時，令觀測值隨機誤差向量

式（4）系數(shù)陣隨機誤差向量為σA，則有如下誤差方程：

由該估計原則有

式（7）中的參數(shù)估值可由迭代法解得，具體方法如下：

2 算例分析

選取2013 年12 月29 日的事后SP3 精密星歷PG01與PG02 兩個衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)，依據(jù)二次多項式模型按最小二乘估計原則進行計算分析，發(fā)現(xiàn)其中t0（2013 年12 月29 日0 時0 分0 秒）時刻兩顆衛(wèi)星原子鐘的半加速度a2（頻漂項）的估計值分別為-1.3×10-7和0.9×10-7，不為零，說明時鐘讀數(shù)的秒長并不均勻，誤差方程的系數(shù)陣A 含有誤差。所以，對衛(wèi)星鐘差預(yù)報的二次多項式模型參數(shù)應(yīng)按照總體最小二乘原則進行估計。

對PG01、PG02 兩顆衛(wèi)星2013 年12 月31 日的鐘差依據(jù)二次多項式模型分別按最小二乘估計原則和總體最小二乘估計原則，進行短期預(yù)報，以該日的事后SP3 精密星歷鐘差數(shù)據(jù)作為真值，比較預(yù)報精度。

結(jié)果如圖1、圖2。

圖1

圖2

以上結(jié)果表明，從第三天短期預(yù)測結(jié)果上，總體最小二乘算法與最小二乘算法預(yù)報結(jié)果接近。從預(yù)報中誤差來看，令σ、σ′分別為總體最小二乘算法與最小二乘算法預(yù)報 中 誤 差，有σPG01=±1182.4ps，σ′PG01=±1182.8ps；σPG02=±4510.9ps，σ′PG02=±4511.0ps；σPG01＜σ′PG01，σPG02＜σ′PG02。

3 結(jié)論

對于鐘差預(yù)報的二次多項式模型，由于存在頻漂項，時鐘計時是不均勻的，衛(wèi)星鐘差的觀測方程系數(shù)陣含有誤差。此時按最小二乘與總體最小二乘兩類算法的預(yù)報結(jié)果結(jié)果相近，但是兩類算法結(jié)果相比較，總體最小二乘算法的預(yù)報精度仍然優(yōu)于最小二乘算法的預(yù)報精度。

[1]朱陵鳳，唐波，李超.兩種模型用于衛(wèi)星鐘差預(yù)報的性能分析[J].飛行測控學(xué)報，2007 年6 月.

[2]魯鐵定，周世健.總體最小二乘的迭代解法[J].武漢大學(xué)學(xué)報 信息科學(xué)版，2010 年11 月.

[3]王樂洋.總體最小二乘解的性質(zhì)[J].大地測量與地球動力學(xué)，2012 年10 月.

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