重型卡車輪轂軸承中滾子的對數(shù)曲線凸度優(yōu)化設(shè)計(jì)

□ 馮浩原 □ 剡昌鋒 □ 吳旭東 □ 李志新

1.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050

2.中核蘭鈾公司 蘭州 730000

1 概述

軸承是裝備制造業(yè)的關(guān)鍵基礎(chǔ)件，圓錐滾子軸承在滾動(dòng)軸承中使用數(shù)量僅次于深溝球軸承［1］。因?yàn)橹蹦妇€的滾子軸承在受載后滾動(dòng)體兩端不可避免地存在邊界應(yīng)力集中現(xiàn)象，即所謂的“邊緣效應(yīng)”［2］，所以需要引入凸度設(shè)計(jì)來克服“邊緣效應(yīng)”［3］。

圓錐滾子軸承33022是常用的重型卡車軸承，它的壽命直接影響著整車的使用壽命。由于該軸承所受載荷較大，工況條件較差，軸承工作表面的邊緣應(yīng)力集中更加明顯，所以通過優(yōu)化滾子凸度，以此來減小應(yīng)力集中現(xiàn)象，從而提高軸承使用壽命。

軸承凸度設(shè)計(jì)工作包括凸型的選擇和凸度量的設(shè)計(jì)兩個(gè)方面。Lundberg G［4］于1939年提出了著名的Lundberg凸型公式，該種凸型的加工難度和成本較高。Schauder B建立了圓柱滾子最佳凸型的數(shù)值計(jì)算方法，該方法將表面接觸應(yīng)力分解為作用于許多節(jié)點(diǎn)的相應(yīng)集中力，并利用Boussinesq J半空間體力變形關(guān)系，計(jì)算滾子與內(nèi)外圈接觸區(qū)域的應(yīng)力分布和表面變形情況。Hartnett M J提出了將結(jié)構(gòu)分析中的影響系數(shù)法與Boussinesq J半空間體力變形關(guān)系結(jié)合起來的方法，可以求解一般表面輪廓的接觸問題。本文采用Hiroki Fujiwara、Tatsuo Kawase提出的對數(shù)曲線凸型公式，利用有限元方法計(jì)算不同凸度量圓錐滾子的接觸應(yīng)力，以最小接觸應(yīng)力對應(yīng)的凸度量為最優(yōu)值，得到33022圓錐滾子的最佳凸度。

2 凸度的設(shè)計(jì)方法

目前在行業(yè)上普遍認(rèn)同的凸型曲線有3種：全凸型、部分凸型（即圓柱修正線型）和對數(shù)曲線凸型。對數(shù)曲線凸型設(shè)計(jì)在減小接觸應(yīng)力帶來的邊緣效應(yīng)上有顯著效果，早期的對數(shù)曲線凸型公式是由Lundberg提出的，以凸度量 T（x）來衡量［5］：

式（1）存在著兩個(gè)端點(diǎn)不連續(xù)的缺點(diǎn)，因此，Johns和Gohar又對Lundberg的對數(shù)曲線凸型進(jìn)行了修正［6］：

式中：E′為等效楊氏模量；Q為載荷；a為1/2有效接觸長度；b為1/2接觸寬度。

在 Johns-Gohar的基礎(chǔ)上，Hiroki Fujiwara、Tatsuo Kawase將公式進(jìn)行了優(yōu)化，引入了3個(gè)參數(shù)，如式（3）所示［7］：

式中：k1為綜合載荷；k2為凸度長度與a的比值；Zm為曲線端點(diǎn)處對應(yīng)的凸度量。

式（3）避免了由于滾子不對中引起的邊緣應(yīng)力，同時(shí)可以將內(nèi)滾道與滾子接觸區(qū)域設(shè)計(jì)成直線，方便設(shè)計(jì)計(jì)算和加工。

3 滾道與滾子的接觸模型建立

3.1 二維模型建立

根據(jù)33022圓錐滾子軸承具體尺寸，采用內(nèi)外滾道為直線和滾子為對數(shù)曲線凸型的凸度設(shè)計(jì)方案。通過有限元軟件對滾子進(jìn)行樣條曲線擬合，對內(nèi)外滾道進(jìn)行直線擬合，由線生成面，得到幾何模型。因?yàn)閮?nèi)外滾道都是固定狀態(tài)，可將內(nèi)外滾道與滾子接觸區(qū)域視為無限半平面，滾子受力最大位置位于中心線處，為了節(jié)約計(jì)算時(shí)間，采用了二維模型進(jìn)行計(jì)算，能夠得到較為近似的結(jié)果。

3.2 有限元網(wǎng)格的劃分及材料屬性

由于不同的分析對象和分析類型對應(yīng)不同的單元類型，所以選擇合適的單元及網(wǎng)格尺寸來快速準(zhǔn)確地計(jì)算出求解結(jié)果。在接觸區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，內(nèi)外滾道與滾子接觸的接觸應(yīng)力采用增廣拉格朗日方法進(jìn)行計(jì)算，得到有限元網(wǎng)格模型，如圖1所示。

33022軸承的內(nèi)外圈和滾子都采用GCrl5材料，楊氏彈性模量E=206 GPa，泊松比γ=0.25。

▲圖1 滾子和滾道有限元模型圖

3.3 載荷施加

3.3.1 確定載荷

軸承受到的最大徑向載荷為：

式中：Fr=0.2Cr，Cr為額定動(dòng)載荷300 kN；Z為滾子數(shù)，Z=19；α 為偏心角，α=9.9°。

將數(shù)值代入式（4），求得Qmax=12.9 kN。

內(nèi)滾道外圈受到的壓強(qiáng)p為：

式中：l為內(nèi)滾道長度，l=34 mm；b為內(nèi)滾道有效接觸寬度，b=2 mm。

將數(shù)值代入式（5），求得p=189 MPa

3.3.2 定義邊界條件

對外滾道外圈分別在X、Y方向施加零約束，外滾道側(cè)邊、內(nèi)滾道側(cè)邊、滾子側(cè)邊在X方向施加零約束，對內(nèi)滾道內(nèi)圈施加一個(gè)向外的壓強(qiáng)p=189 MPa。

3.4 接觸應(yīng)力求解及優(yōu)化

采用式（3）進(jìn)行凸度設(shè)計(jì)，3 個(gè)參數(shù) k1、k2、Zm分別取值為 k1=1、1.5、2、2.5、3，k2=0.1、0.2、 …、1，Zm=0.000、0.002、…、0.020mm。通過研究發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)k2=0.5時(shí)，曲線是中心為0、兩邊對稱的對數(shù)曲線，在其余取值下，曲線均不是兩邊對稱的對數(shù)曲線，即確定參數(shù)k2=0.5，再確定Zm。接下來研究k1變化對接觸應(yīng)力的影響趨勢，再根據(jù)k1、k2，研究Zm變化對接觸應(yīng)力的影響趨勢。

求解后，提取內(nèi)外滾道與滾子接觸位置的接觸應(yīng)力。由于內(nèi)滾道與滾子接觸應(yīng)力遠(yuǎn)大于外滾道與滾子的接觸應(yīng)力，故應(yīng)著重分析內(nèi)滾道接觸區(qū)域接觸應(yīng)力的變化情況。

確定k1最優(yōu)解時(shí)，在確定k2和Zm的情況下，先得到k1最優(yōu)解范圍，從而進(jìn)一步優(yōu)化，得出k1最優(yōu)解的具體值。 取 k1=1、1.5、2、2.5、3，得到內(nèi)滾道與滾子接觸區(qū)域接觸應(yīng)力變化趨勢，如圖2所示。當(dāng)k1=1時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=1 943.8 MPa；k1=1.5時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=2 387.1 MPa；k1=2時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=2 425.4 MPa；k1=2.5 時(shí)， 最大接觸應(yīng)力 pmax=2 719.3 MPa；k1=3時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=2 930 MPa。通過圖2可以得出，當(dāng)k1=1～1.5時(shí)，最大接觸應(yīng)力較小。通過二分法，取k1=1.3進(jìn)行分析，接觸應(yīng)力變化趨勢如圖3所示。通過圖3得出：當(dāng)k1=1～1.3時(shí)，最大接觸應(yīng)力較??；k1=1.3時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=2 268 MPa。再取k1=1.1、1.2進(jìn)行分析，接觸應(yīng)力變化趨勢如圖4所示,得出：當(dāng)k1=1.1時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=1 841.4 MPa；k1=1.2時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=1 752.9 MPa，該接觸應(yīng)力最小。

▲圖2 k1=1、1.5、2、2.5、3 的接觸應(yīng)力值曲線（由上到下依次為 3、2.5、2、1.5、1）

▲圖3 k1=1、1.3、1.5的接觸應(yīng)力值曲線（由上到下依次為 1.5、1.3、1）

▲圖4 k1=1、1.1、1.2、1.3 的接觸應(yīng)力值曲線（由上到下依次為 1.3、1、1.1、1.2）

▲圖5 Zm=0.000～0.006 mm的接觸應(yīng)力值曲線（由上到下依次為 0.000、0.002、0.004、0.006）

▲圖6 Zm=0.008～0.014 mm的接觸應(yīng)力值曲線（由上到下依次為 0.014、0.012、0.010、0.008）

▲圖7 Zm=0.016～0.020 mm的接觸應(yīng)力值曲線（由上到下依次為 0.020、0.018、0.016）

▲圖8 Zm=0.006～0.008 mm的接觸應(yīng)力值曲線（由上到下依次為 0.008、0.006、0.007）

▲圖9 不同k1下最大接觸應(yīng)力變化趨勢

▲圖10 不同Zm下最大接觸應(yīng)力變化趨勢

確定k1后，改變Zm取值，間隔為0.002 mm，分別得出Zm=0.000、0.002、…0.020 mm時(shí)內(nèi)滾道與滾子接觸區(qū)域接觸應(yīng)力變化趨勢，如圖5、6、7所示。當(dāng)Zm=0.000 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=2 661.9 MPa；Zm=0.002 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=2 247.5 MPa；Zm=0.004 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=1 986.4 MPa；Zm=0.006 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=1 752.9 MPa；Zm=0.008 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=1 920.7 MPa；Zm=0.010 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=2 043.8 MPa，Zm=0.012 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=2 256.7 MPa；Zm=0.014 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=2 379.6 MPa；Zm=0.016 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=2 521.3 MPa；Zm=0.018 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力 pmax=2 694.3 MPa；Zm=0.020 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=2 947.7 MPa，綜合得出：當(dāng)Zm=0.006～0.008 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力較小，取Zm=0.007 mm進(jìn)一步分析，得到其接觸應(yīng)力變化趨勢，如圖8所示。觀察得出：當(dāng)Zm=0.007 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力pmax=1 507.3 MPa。通過圖2、3、4可以得到k1變化對最大接觸應(yīng)力影響變化趨勢，如圖9所示。通過圖5、6、7、8可以得到Zm變化對最大接觸應(yīng)力影響變化趨勢，如圖10所示。對于圓錐滾子，無凸度量或凸度量太大，均會(huì)導(dǎo)致明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，當(dāng)Zm=0.007 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力最小。即當(dāng)k1=1.2、k2=0.5、Zm=0.007 mm時(shí)，內(nèi)滾道受到的最大接觸應(yīng)力最小，為最佳凸度設(shè)計(jì)。

4 結(jié)論

本文以33022軸承滾子為實(shí)例，在額定載荷300 kN下，利用Hiroki Fujiwara、Tatsuo Kawase提出的對數(shù)曲線凸型進(jìn)行凸度設(shè)計(jì)，引入 3個(gè)參數(shù) k1、k2、Zm，對不同參數(shù)下的滾子凸度母線坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，由坐標(biāo)生成二維模型。通過有限元法計(jì)算不同凸度的圓錐滾子軸承對應(yīng)的接觸應(yīng)力，分析結(jié)果表明，當(dāng)k1=1.2、k2=0.5、Zm=0.007 mm時(shí)，最大接觸應(yīng)力最小，以最大接觸應(yīng)力值最小的凸度為優(yōu)化原則，得到了一種基于有限元方法的圓錐滾子凸度量優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，該方法可快速、直觀地對軸承凸度進(jìn)行優(yōu)化。

［1］ 劉恩時(shí).中國軸承工業(yè)轉(zhuǎn)變發(fā)展方式的思考［A］.2010上海國際軸承峰會(huì)演講文集（一）［C］.上海：中國軸承工業(yè)協(xié)會(huì)，2010.

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