相關(guān)觀測值的可靠性研究

（中國地質(zhì)大學(xué)信息工程學(xué)院 湖北武漢 430074）

1 引言

可靠性理論由荷蘭Baarda[1]教授于1968年最早提出。在一定的假設(shè)檢驗(yàn)條件下，將平差系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)、區(qū)分不同模型誤差的能力稱為內(nèi)部可靠性，將不可發(fā)現(xiàn)、不可區(qū)分的模型誤差對平差結(jié)果的影響稱為外部可靠性。Baarda 教授給出了可靠性理論的推導(dǎo)方法和計(jì)算公式?？煽啃岳碚撘鹆藴y量學(xué)界的廣泛關(guān)注，國際上Heck、Pope、Teunissen[2-3]等人和我國李德仁院士對該理論做了深入研究并取得重大發(fā)展?？煽啃允菧y量網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)質(zhì)量控制要考慮的重要因素之一，將可靠性理論應(yīng)用于粗差探測、定位與定值，數(shù)據(jù)檢測與統(tǒng)計(jì)分析領(lǐng)域，滿足科研和經(jīng)濟(jì)建設(shè)的需要，取得了良好的效果。

可靠性理論將觀測值的多余觀測分量ri定義為可靠性指標(biāo)[4]，多余觀測分量越大，該觀測值的可靠性越強(qiáng)。然而在觀測值相關(guān)的情況下，多余觀測分量ri的值域已超出[0，1]區(qū)間，甚至可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)，內(nèi)、外部可靠性除了受到ri影響，還有觀測值相關(guān)程度有關(guān)，ri不是唯一影響因素，把ri定義為觀測值的可靠性指標(biāo)是不合適的[5-7]，筆者擬從理論上證明這一結(jié)論，論證內(nèi)、外部可靠性在同一觀測位置的統(tǒng)一性和不同觀測位置的矛盾性，建議采用一種新的可靠性度量指標(biāo)，將不同觀測位置的內(nèi)、外部可靠性綜合考慮，對新指標(biāo)的值域和與多余觀測分量的關(guān)系做說明。新指標(biāo)是一種統(tǒng)一的指標(biāo)，值域在[0，1]區(qū)間，既適用于獨(dú)立觀測，也適用于相關(guān)觀測。

2 多余觀測分量的值域

2.1 殘差理論

設(shè)平差的高斯—馬爾科夫模型為[8]

其中l(wèi)是觀測值向量，A是系數(shù)陣，秩為t，V是改正數(shù)向量，D是協(xié)方差陣，Q是協(xié)因數(shù)陣，P是權(quán)陣。由此模型，可以得出

式(4)表示了觀測值改正數(shù)與觀測值誤差之間的關(guān)系，借助于這個(gè)關(guān)系式分析觀測殘差對改正數(shù)的影響，形成了可靠性理論。假設(shè)第i個(gè)觀測值含有粗差▽li，它對所有改正數(shù)的影響為∶

對其自身觀測值的改正數(shù)vi的影響為∶

根據(jù)Baarda 教授建議定義QVVP的第i個(gè)對角線元素為第i個(gè)觀測值li的多余觀測分量，即

考慮到方陣QVVP 為冪等陣，可以證明∶并且ri的值域?yàn)閇0，1]。

由式(6)可以得出∶某個(gè)觀測值的粗差僅部分地反映在該觀測值的改正數(shù)中，ri的值越大，越容易通過檢驗(yàn)改正數(shù)來發(fā)現(xiàn)粗差。因此，將多余觀測分量ri作為內(nèi)部可靠性指標(biāo)。但這僅僅是針對觀測值之間相互獨(dú)立的情況。

2.2 ri的值域

考察QVVP，有∶

其中，E 為n×n 階單位陣。令F=A(ATPA)-1AT，G=FP=A (ATPA)-1ATP，這時(shí)QVVP 和G 都是對稱的正定陣，它們的對角線元素值域都在[0，1]，且考慮到QVV、Qll和Qll都為正定陣，因此觀測值權(quán)陣P 正定，則有唯一的Cholesky 分解[9]，即P＝HHT，其中H 為n×n 階非奇異下三角矩陣。

為不失一般性，將要考察的第i個(gè)觀測安排到第一個(gè)觀測方程中，將H、HT和F 分塊，有

其中 m =n -1。則 G =FHHT，G11=F11H11H11+F1mH11Hm1,當(dāng)觀測值相互獨(dú)立時(shí)，F(xiàn)1m和Hm1為0，G11=1-(QVVP)11∈[0，1]即1-r11∈[0,1]，有r11∈[0,1]；當(dāng)觀測值相關(guān)時(shí)，G11的值域是F1m和Hm1的函數(shù)，無法保證在[0，1]，則r11的值域也無法保證在[0，1]。

以文獻(xiàn)[6]和[7]中提到的簡單水準(zhǔn)網(wǎng)網(wǎng)形A 為例，

G11=2，r11＝1-G11＝-1?[0，1]。G22＝0.5，r22=0.5∈[0,1]。G33=-0.5，r33=1.5?[0，1]。從本例子可以看出，相關(guān)觀測情況下，ri的值域已超越[0，1]，甚至?xí)霈F(xiàn)負(fù)值。

3 可靠性指標(biāo)

3.1 內(nèi)部可靠性指標(biāo)

觀測值的內(nèi)部可靠性定義為能以一定的檢驗(yàn)功效β0，通過顯著水平為α0的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)可發(fā)現(xiàn)的粗差下界值▽0li。根據(jù)α0，β0可以確定統(tǒng)計(jì)量的非中心化參數(shù)δ0。若只含有一個(gè)粗差，則該位置內(nèi)部可靠性為

其中，σ0為單位權(quán)中誤差，fiT=[0,L,1,0,L,0]為單位化向量，第i個(gè)元素為1。記μVi=fiTΡQVVPfi，因此，式(10)可以寫成

由式(11)可得出∶在單位權(quán)中誤差確定的情況下，μVi越小，系統(tǒng)內(nèi)部可靠性越差；μVi越大，內(nèi)部可靠性越好。

3.2 外部可靠性指標(biāo)

外部可靠性是指不可發(fā)現(xiàn)、不可區(qū)分的模型誤差對平差結(jié)果的影響程度。

影響向量為

其中▽0s 為參數(shù)向量▽s的下界域，將▽0s 分解為表征方向的單位矢量部分s 和表征大小的標(biāo)量部分▽0s，即▽0s=s▽0(s)，且｜s｜=1。在上式中，我們僅研究外部可靠性大小，不考慮s，▽0s的標(biāo)量部分▽0(s)即內(nèi)部可靠性▽0li。定義影響向量長度作為外部可靠性∶

將式(10)和(12)代入(13)中，有

記μi=fiTPQllPfi=fiTPA(ATPA)-1ATPfi，因此，式(14)可以寫成

由式(15)可得出∶外部可靠性與單位權(quán)中誤差無關(guān)，而與μi和μVi的比值有關(guān)，μi越小，μVi越大，外部可靠性越小；μi越大，μVi越小，外部可靠性越大。

3.3 外部可靠性和內(nèi)部可靠性的關(guān)系

進(jìn)一步分析式（11）和（15）可以得出

將上式所得結(jié)果定義為第i個(gè)觀測值li的可靠比，記作ηi，可進(jìn)一步研究∶

(1)對于確定的觀測值li，外部可靠性與內(nèi)部可靠性是統(tǒng)一的，即內(nèi)、外部可靠性成固定比例，為定值，值的大小取決于觀測值的精度和網(wǎng)的幾何圖形條件，已知內(nèi)、外部可靠性中一個(gè)值時(shí)，可以根據(jù)可靠比求出另一值。

(2)不同觀測值之間，由于精度和幾何圖形條件不同，可靠比不同，精度和幾何圖形條件越好，可靠比越??；精度和幾何圖形條件越差，可靠比越大。內(nèi)、外部可靠性無法統(tǒng)一，極有可能出現(xiàn)按照內(nèi)部可靠性定義出現(xiàn)的最弱處與按照外部可靠性定義出現(xiàn)的最弱處矛盾，可見，單純依靠內(nèi)、外部可靠性定義無法客觀評估觀測值的可靠性，需要引入能夠克服這一缺陷，綜合表示可靠性的新指標(biāo)。

(3)實(shí)際應(yīng)用中，可在獲得觀測值之前，根據(jù)所設(shè)計(jì)的平差圖形計(jì)算出可靠比，初步用于網(wǎng)形優(yōu)化設(shè)計(jì)和測量質(zhì)量控制。

應(yīng)當(dāng)指出，文獻(xiàn)[5]中提出外部可靠性λxi與內(nèi)部可靠性λli相差一個(gè)常數(shù)，即

λxi=λli-λ0

其中λ0是一定概率條件下的非中心參數(shù)。事實(shí)上，內(nèi)外部可靠性之差并不是常數(shù)，而與觀測值的精度和該觀測值所處的圖形條件相關(guān)，這點(diǎn)將在算例中體現(xiàn)。

3.4 內(nèi)外部可靠性與多余觀測分量的關(guān)系

當(dāng)觀測值相互獨(dú)立時(shí)，Qll和P 都是對角陣，μVi=Piiri，μli=Pii，分別代入式(10)和式(14)中，有∶

由上式可知∶μli與μVi都與ri有關(guān)，ri可以統(tǒng)一表示內(nèi)部可靠性▽0li和外部可靠性。但當(dāng)觀測值相關(guān)時(shí)，μli與μVi都與ri沒有確定函數(shù)關(guān)系，ri無法統(tǒng)一表示▽0li和，再結(jié)合本文2.2 節(jié)關(guān)于ri值域的證明，可以看出，當(dāng)觀測值相關(guān)時(shí)，ri已不能作為表征可靠性的指標(biāo)，需要提出一種新指標(biāo)。

文獻(xiàn)[6]和[7]建議采用Ri=qiifiTPQVVPfi=qiiμVi定義可靠性指標(biāo)，Ri越大，可靠性越強(qiáng)，Ri越小，可靠性越弱。應(yīng)當(dāng)指出的是0≤Ri≤QiiPii，值域不在[0，1]，且采用該指標(biāo)定義的內(nèi)外部可靠性矛盾，本文將在第5 節(jié)的算例中證明。

4 一種新的可靠性指標(biāo)

4.1 定義

將式(3)代入式(15)，記μli___=fiTPQllPfi，有

筆者建議定義一種新的可靠性指標(biāo)，即定義

為系統(tǒng)在第i個(gè)觀測位置的可靠性度量，φi為比值，無量綱。將式(20)分別代入式(11)、(15)和(16)，有

可以看出φi越大，內(nèi)部可靠性▽0li越小，外部可靠性越小，由于外部可靠性幅度大于內(nèi)部可靠性，可靠比ηi越小，可靠性越好；φi越小，可靠性越差。

4.2 φi的值域

由式(3)結(jié)合定義，得∶μli=μVi+μi。考察式(20)，有

式(25)中三個(gè)量均為二次型，各設(shè)為

其中行向量n 維xT為fiTP，n 維列向量x 為Pfi，x1，x2，L，xn為P的第i行元素pi1，pi2，L，pin，M分別為Qll、QVV和A(ATPA)-1AT。因?yàn)镼ll、QVV和A(ATPA)-1AT均為正定陣，所以對于任何x≠0，都有μli＞0、μi＞0、μVi＞0 恒成立，所以有φi∈[0,1]，當(dāng)觀測值li為完全必要觀測時(shí)，φi=0；當(dāng)觀測值li為完全多余觀測時(shí)，φi=1。

4.3 可靠性指標(biāo)φi 與多余觀測分量ri的關(guān)系

為研究新指標(biāo)是否適合觀測值相互獨(dú)立的情況，現(xiàn)考察可靠性指標(biāo)φi與多余觀測分量ri的關(guān)系。為不失一般性，將要考察的第i個(gè)觀測安排到第一個(gè)觀測方程中，第二組為剩余的全部觀測值。相應(yīng)的方差—協(xié)方差矩陣分解為[4，5]

由分塊矩陣求逆公式可得∶

式中∶

由于P是正定陣，0≤λi＜1。按上述觀測值的分組方法，可靠性矩陣QVVP 也可以被分解，有

幾何條件矩陣的對角元，即觀測值li的多余觀測分量ri為

根據(jù)φi和ri的定義，可導(dǎo)出如下關(guān)系式∶

式(17)表明，可靠性指標(biāo)φi和多余觀測分量ri一般是不相等的。下面就一些特殊情況進(jìn)行進(jìn)一步討論∶

(1)當(dāng)λi=1時(shí)，即觀測值相互獨(dú)立，Qi2=0，φi=ri；

(2)當(dāng)0≤λi＜1，且li為完全必要觀測值時(shí)，ri=0，可以證明∶Qi2Q-122QV22Q-122Q2i=Q2iQ-122QVi2。從而導(dǎo)出φi=0；當(dāng)0≤λi＜1，且li為完全多余觀測值時(shí)，ri=1，QV21=Q2i，當(dāng)Qi2Q-122Q2i=Qi2Q-122QV22Q-122Q2i時(shí)，φi取得最大值1。

根據(jù)φi與ri關(guān)系，進(jìn)一步考察式(21)和(22)，當(dāng)觀測值相互獨(dú)立時(shí)，φi=ri，μli=Pii，式(21)和(22)變成式(17)和(18)。即新指標(biāo)φi既適用于觀測值相關(guān)的情況，也適用于觀測值相互獨(dú)立的情況，實(shí)現(xiàn)了內(nèi)、外部可靠性的統(tǒng)一表示。

4.4 關(guān)于可靠性指標(biāo)的進(jìn)一步思考

(1) μli、μVi、μi和σ0=VTPV/r 都是正定二次型，分別表征了觀測值誤差、平差誤差、不可發(fā)現(xiàn)不可區(qū)分的模型誤差和已知的模型誤差，進(jìn)一步分析得∶觀測值經(jīng)過平差后，在改正數(shù)的修正下，產(chǎn)生改正值；觀測值的誤差在經(jīng)過改正數(shù)修正后，不可發(fā)現(xiàn)不可區(qū)分的模型誤差殘存在改正值中。當(dāng)然，改正數(shù)也是有誤差的，即平差誤差，因此觀測值誤差由平差誤差和不可發(fā)現(xiàn)不可區(qū)分的模型誤差構(gòu)成。

(2)由式(11)、(15)和(16)可知，內(nèi)部可靠性是已知的模型誤差與平差誤差的比值，即已知誤差對于平差結(jié)果的影響，具體表現(xiàn)為可發(fā)現(xiàn)的粗差下界值；外部可靠性是不可發(fā)現(xiàn)不可區(qū)分的模型誤差與平差誤差的比值，即不可發(fā)現(xiàn)不可區(qū)分的模型誤差對平差結(jié)果的影響?？煽勘圈莍是不可發(fā)現(xiàn)不可區(qū)分的模型誤差與已知模型誤差的比值。

(3)進(jìn)一步考察式(20)可知，新的可靠性指標(biāo)φi表征了平差誤差與觀測值誤差的比值，反映了平差誤差所占觀測值誤差的比例，該比例越大，平差模型越接近真實(shí)情況，殘余誤差（即不可發(fā)現(xiàn)不可區(qū)分的模型誤差）越小，系統(tǒng)可靠性越高，反之亦然。φi值域必為[0，1]，當(dāng)平差誤差為0時(shí)，即不用平差，該觀測值為完全必要觀測，φi=0；當(dāng)平差誤差為觀測值誤差時(shí)，該觀測值為完全多余觀測，φi=1。

(4)由式(31)可知∶新指標(biāo)φi與多余觀測分量ri在觀測值相關(guān)時(shí)不相等，之間的差值由第i個(gè)觀測值與其他觀測值的相關(guān)程度決定，因此，m=r（多余觀測數(shù)）。

5 算例與分析

下面通過三個(gè)算例計(jì)算相關(guān)指標(biāo)來說明或驗(yàn)證上述結(jié)論。

【例1】 利用文獻(xiàn)[5]中[例3]的GPS 單頻相位差分觀測實(shí)驗(yàn)計(jì)算有關(guān)指標(biāo)見表1。

表1 GPS 單頻相位差分算例的有關(guān)可靠性指標(biāo)比較

從表1的數(shù)值可以看出∶

(1) ri值域不在[0，1]區(qū)間，變化幅度非常大，甚至出現(xiàn)負(fù)值，且ri與▽0li、的大小沒有表現(xiàn)出一致性，可見相關(guān)觀測情況下，ri已無法再作為可靠性指標(biāo)；φi值域在[0，1]區(qū)間，按照φi分析，網(wǎng)中可靠性最弱的位置在l4處，φ4=0.01 最??；可靠性最強(qiáng)的位置在l3處，φ3=0.513 最大。

(2) 按照內(nèi)部可靠性指標(biāo)，l5處最弱，l1處最強(qiáng)；而按照外部可靠性指標(biāo)，l4處最弱，l3處最強(qiáng)，可見內(nèi)、外部可靠性出現(xiàn)了不統(tǒng)一。

(4)外部可靠性與內(nèi)部可靠性的差值εi隨著觀測位置的不同而發(fā)生變化，文獻(xiàn)[5]中說明內(nèi)外部可靠性差值為定值λ0（一定概率條件下的非中心參數(shù)），這種說法的合理性值得商榷。

(5)按照文獻(xiàn)[5]中內(nèi)部可靠性計(jì)算得出的可控性數(shù)值非常大，而本文產(chǎn)生的結(jié)果都在10 倍以內(nèi)，文獻(xiàn)[5]中內(nèi)部可靠性定義值得商榷。

【例2】 利用文獻(xiàn)[6]中的GPS 三次差分觀測值數(shù)據(jù)進(jìn)一步計(jì)算有關(guān)指標(biāo)，見表2。Ri為文獻(xiàn)[6]中定義的可靠性指標(biāo)，最后兩列的▽0li和為以l1觀測值內(nèi)外可靠性為基準(zhǔn)，其他觀測位置可靠性的比值，用以更明了的表示各個(gè)位置可靠性強(qiáng)弱。

表2 文獻(xiàn)[6]中GPS 算例數(shù)據(jù)的進(jìn)一步分析

從表2的數(shù)值可以看出∶

(1)該算例的特點(diǎn)是各個(gè)觀測位置權(quán)值、內(nèi)部可靠性都沒有明顯差異，外部可靠性差異較大。十四個(gè)觀測值可靠比ηi各不相同，這是由于ηi由精度和幾何圖形條件決定，精度和幾何圖形條件越差，ηi越大；精度和幾何圖形條件越好，ηi越小。l14處，η14=18.974 最??；l5處，η5=41.110 最大。所以網(wǎng)中精度和幾何圖形條件最好的在l14處，最差的在l5處。φi值域在[0，1]區(qū)間，按照φi分析，網(wǎng)中可靠性最弱的位置在l5處，φ5=0.492 最??；最強(qiáng)的位置在l14處，φ5=0.820 最大。φi與ηi表現(xiàn)出相反性。

(2)按照文獻(xiàn)[6]定義的可靠性指標(biāo)Ri=qiiμVi值域不在[0，1]，無法直觀顯示出可靠性強(qiáng)弱。Ri最大在l11處，R11=1.639；最小在l7處，R7=0.940。由于該算例qii的值沒有變化，因此Ri與μVi正相關(guān)。而▽0li與μVi反相關(guān)，所以Ri與▽0li反相關(guān)，▽0li最小在l11處，▽0l11=0.377；最大在l7處，▽0l7=0.498，而最大在l5處，()5=41.110，最小在l14處，()14=18.974。可見Ri只能部分地表征內(nèi)部可靠性，而無法表征外部可靠性，不能將兩者綜合考慮，所以該值定義為可靠性度量指標(biāo)的合理性值得商榷。

(3)按照內(nèi)部可靠性指標(biāo)，l7處最弱，▽0l7=0.498，l11處最強(qiáng)，▽0l11=0.377；而按照外部可靠性指標(biāo)，l5處最弱，()5=41.110，l14處最強(qiáng)，()14=18.974。可見內(nèi)、外部可靠性出現(xiàn)了不統(tǒng)一。綜合l5、l7的可靠比ηi、μi、μVi可以看出，l5雖然內(nèi)部可靠性稍強(qiáng)于l7，但外部可靠性()5=17.328 大出()7=13.222 很多，即l5處發(fā)現(xiàn)粗差的下界值較小，但平差誤差占觀測值誤差的比例較小，大量不可發(fā)現(xiàn)不可區(qū)分的模型誤差存在，因此綜合衡量考察φi，網(wǎng)中可靠性最弱的位置在l5處。同理，可靠性最強(qiáng)的位置在l14處。

【例3】 構(gòu)建一組水準(zhǔn)網(wǎng)的模擬的相關(guān)觀測值進(jìn)一步闡述上述結(jié)論。圖1為一水準(zhǔn)網(wǎng)，A 為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，高差觀測數(shù)n=5，必要觀測數(shù)t=3，多余觀測數(shù)為r=n-t=2，路線上方的數(shù)字表示編號。權(quán)陣P 有如下形式∶

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖

計(jì)算有關(guān)可靠性指標(biāo)，數(shù)值列在表3中。

表3 水準(zhǔn)網(wǎng)算例數(shù)據(jù)的可靠性指標(biāo)

從表3的數(shù)值可以看出∶φi值域在[0，1]區(qū)間，按照φi分析，網(wǎng)中可靠性最弱的位置在l5處，φ5=0.311 最??；最強(qiáng)的位置在l3處，φ3=0.584 最大。

6 結(jié)束語

(1)本文證明了在觀測值相關(guān)的情況下，多余觀測分量ri值域不為[0，1]且不能用于度量可靠性。

(2)本文論證了內(nèi)、外部可靠性的辨證統(tǒng)一性，即對于確定的觀測值，內(nèi)、外部可靠性成固定比例，該比例大小取決于觀測值的精度和網(wǎng)的幾何圖形條件；不同觀測值之間，由于精度和幾何圖形條件不同，內(nèi)、外部可靠性無法統(tǒng)一，極有可能出現(xiàn)按照內(nèi)部可靠性定義出現(xiàn)的最弱處與按照外部可靠性定義出現(xiàn)的最弱處矛盾。

(3) 本文建議采用一種新的可靠性指標(biāo)φi=μVi/μli，將內(nèi)、外部可靠性綜合表示，φi∈[0，1]，φi越大，可靠性越好，φi越小，可靠性越差。

(4)本文討論了φi與多余觀測分量ri的關(guān)系，當(dāng)觀測值相互獨(dú)立時(shí)，φi＝ri；當(dāng)觀測值相關(guān)時(shí)，φi與ri的關(guān)系不確定。

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