基于混合優(yōu)化算法的曲線曲面優(yōu)化設(shè)計方法研究

王毛毛，趙衛(wèi)國，馮盈雪

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)械工程系，呼和浩特 010051）

0 引言

隨著社會的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對產(chǎn)品的外形有了多方面的要求，對產(chǎn)品曲面精度要求也越來越高，因此曲線曲面的光順要求就成了曲面造型設(shè)計的重要部分，如何評判曲線曲面是否光順以及怎樣使曲線曲面更加光順就成了曲線曲面造型的核心問題。能量法是曲線曲面光順常用的一種整體優(yōu)化法，它是把光順問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題而進(jìn)行求解的。遺傳算法是通過生物自然選擇中的選擇、遺傳、變異等自然機(jī)制來提高各個個體的適應(yīng)性，從而選擇出更能適應(yīng)生存的個體。遺傳算法的最好優(yōu)點就是能與其他算法進(jìn)行結(jié)合，對其它算法的兼容性比較好。所以提出遺傳算法結(jié)合蟻群算法，形成一種新的曲線曲面光順方法，該方法結(jié)合改進(jìn)的網(wǎng)格能量法，能夠得到更好的曲線曲面光順效果。

1 曲線光順優(yōu)化能量法

1.1 能量法的基本原理

根據(jù)能量法原理，把通過所有數(shù)據(jù)型值點Pi（i=0，1，…，n）連接而成的三次均勻B 樣條曲線設(shè)定為P0（t），而P（t）是光順后的三次均勻B 樣條曲線，數(shù)學(xué)分析中P（t）是過型值點Qi（i=0，1，…，n）連成曲線的樣條函數(shù)，則曲線P（t）的應(yīng)變能為：

式中，常數(shù)EI 表示樣條的剛度系數(shù)，k 表示曲率。在曲線曲面光順性的曲率分析中，若希望曲線曲面更光順，只需使三次均勻B 樣條曲線的應(yīng)變能更小即可。根據(jù)此原理，建立一個模型，就是把光順前后的型值點Pi與Qi之間掛上一條小彈簧，彈簧的彈性系數(shù)為βi，由于光順前后的型值點都有偏移，所以每個小彈簧上都有能量，所有小彈簧總的能量為：

小彈簧的能量模型已經(jīng)建立，這樣就能得到優(yōu)化的模型（即樣條和小彈簧在內(nèi)的整個系統(tǒng)總能量），總能量的表達(dá)式為：

式中：（EI）2＝α，曲線P（t）光順的目的就是使曲線的總能量E 達(dá)到極小值；Ein的大小表示曲線光順的情況；Espring反映了光順后的曲線逼近原始曲線的情況。對于曲線P（t）光順程度要求越高，則曲線光順的應(yīng)變能Ein就得越小，對于要求光順后的曲線越是逼近光順前的原始曲線，則小彈簧的總能量Espring越?。?］。至此，這樣就能把實物模型的曲線光順的問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化的問題。

1.2 能量法光順的基本公式

設(shè)曲線P0（t）和P（t）分別為光順前后的三次B 樣條曲線，其表達(dá)式分別為：

將式（3）代入Vi-Vt=λ（Vt-Vj）中得到：

為使E=min，令?E/?Vt=0 得到

式（4）是關(guān)于｛Vi｝（i=0，1，…，n+2）建立的方程組。記V=（V0，V1，…，Vn+2）T則可以改將式（7）寫成如下矩陣形式：

式中，A＝（αij）n+3，n+3是根據(jù)α 建立的系數(shù)矩陣，其元素表達(dá)式為：

C＝（C0，C1，…，Cn+2）為式（7）右端向量，其分量為:

當(dāng)｜i-j｜＞3 時，αij=0 是線性方程組的系數(shù)矩陣，利用高等數(shù)學(xué)方法求解線性方程組，求得的有化解就是曲線的控制頂點Vi（j=0，1，…，n+2），代入式（2）就能得到光順后的曲線P（t）。

1.3 改進(jìn)的曲線能量法

根據(jù)實際情況，為了在用能量法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行光順處理時，得到符合要求的后背曲線曲面，提出了兩種約束方法，即對控制點和型值點的約束。最終設(shè)定人體后背脊柱曲線的目標(biāo)函數(shù)及約束條件如下：

約束條件：

2 基于遺傳蟻群算法的曲線優(yōu)化

2.1 遺傳蟻群算法的基本思想

遺傳蟻群算法GAACA 的原理就是吸取遺傳算法和蟻群算法的精華，去掉遺傳算法和蟻群算法糟粕，就是分別吸取各自的優(yōu)點，去掉不足，使兩種方法更好地結(jié)合。遺傳算法相比蟻群算法優(yōu)點是計算速度快，精度不足，而蟻群算法相比遺傳算法就是精度準(zhǔn)確，計算速率比較緩慢。遺傳蟻群算法繼承了兩種算法的優(yōu)點，就是計算速度快，計算精度高［5］。為了提高速度與精度，把遺傳蟻群算法主要分成兩部分，上半部分是應(yīng)用遺傳算法計算，這是利用遺傳算法計算速度快，全局收斂結(jié)構(gòu)高的特點，在數(shù)據(jù)全局收斂速度急速下降也就是快達(dá)到最優(yōu)解的時候，遺傳算法的計算速率同時下降的比較快，這時候的解保存起來在后面應(yīng)用。下半部分是應(yīng)用蟻群算法，因為這時候已經(jīng)有需要下一步計算的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，在這個基礎(chǔ)上再應(yīng)用蟻群算法，就能較好地體現(xiàn)出蟻群算法的并行性和計算速率快的特點。這樣就能應(yīng)用兩種優(yōu)化算法的各自優(yōu)點來提高數(shù)據(jù)優(yōu)化的精度和速率。

2.2 遺傳蟻群算法的過程

圖1 遺傳蟻群算法過程

2.3 遺傳蟻群算法在曲線曲面優(yōu)化中的應(yīng)用

應(yīng)用遺傳蟻群算法，上半部分是遺傳算法的設(shè)定，其中設(shè)置種群的大小為NIND=50，交叉概率PC=0.2，變異概率PM=0.01，變量的二進(jìn)制位數(shù)PRECI=30，代溝GGAP=0.9，設(shè)定計算精度保留到小數(shù)點后4 位，設(shè)定種群在迭代計算時，迭代滿5 代就任意抽出3 個最佳個體，判斷這些個體收斂是否停滯，若停滯便停止遺傳算法的運算，選出其中10 個近似最優(yōu)解的數(shù)據(jù)作為下半部分蟻群算法的初始數(shù)據(jù)，在進(jìn)行蟻群算法時，設(shè)定參數(shù)螞蟻的種群為30，α=1，β=4，ρ=0.8，運行的最大次數(shù)NC=20，整個遺傳蟻群算法運算6 次，其結(jié)果就比較令人滿意。

3 曲線優(yōu)化實例驗證

在此過程中，取通過三坐標(biāo)測量儀測出的一部分脊柱曲線數(shù)據(jù)點作為優(yōu)化前脊柱曲線數(shù)據(jù)，并把已知型值點轉(zhuǎn)化為曲線控制點，通過對控制點的約束來改進(jìn)網(wǎng)格能量法，最后用遺傳蟻群算法進(jìn)行優(yōu)化計算。

首先通過利用MATLAB 軟件對測量數(shù)據(jù)點進(jìn)行擬合，通過得到的脊柱數(shù)據(jù)擬合曲線如圖2 所示。

利用改進(jìn)網(wǎng)格能量法就可以得到光順后的曲線，如圖3 所示。

利用遺傳算法、蟻群算法及遺傳蟻群算法優(yōu)化后的曲線及其精度如圖4 所示。

圖2 初始數(shù)據(jù)點擬合曲線圖

圖3 能量法曲線光順圖

圖4 各算法優(yōu)化曲線及精度比較圖

曲線優(yōu)化結(jié)果：由圖2～圖4 可以看出，利用改進(jìn)網(wǎng)格能量法以及控制點約束條件建立數(shù)學(xué)模型，并用遺傳蟻群算法進(jìn)行計算得出的曲線精度更高，同時曲線的收斂性也是三種算法中最快的，以此證明了此方法的有效性。所以用蟻群算法同樣對后背其它曲線進(jìn)行光順，在此基礎(chǔ)上完成后續(xù)曲面優(yōu)化。

4 曲面能量法優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及其實例驗證

4.1 曲面能量法優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

曲面網(wǎng)格能量法是一個是帶有約束的最優(yōu)化問題，它的精確求解計算量非常大。因此，為將其簡化，我們引進(jìn)罰因子，將其近似地轉(zhuǎn)化成一個無約束問題再進(jìn)行求解，該目標(biāo)函數(shù)就成為

求解線性方程組，使F（V）達(dá)到極小，就得到了光順后的曲面S（u，v）的控制頂點。

4.2 優(yōu)化結(jié)果

在應(yīng)用遺傳蟻群算法及能量法進(jìn)行曲面優(yōu)化過程中，與曲線優(yōu)化一樣，首先將以上得到的曲面型值點反求，從而得到優(yōu)化前曲面的控制頂點，利用網(wǎng)格能量法建立數(shù)學(xué)模型，再通過遺傳蟻群算法進(jìn)行優(yōu)化運算，從而得到優(yōu)化后曲面新的控制頂點，完成曲面優(yōu)化運算，雖然利用這種算法進(jìn)行的曲面優(yōu)化更光順，曲率變化更均勻，但是，應(yīng)用此方法的計算量很大，計算過程過度繁瑣。所以，曲面優(yōu)化要借助于曲線優(yōu)化方法，從而使過程更加簡單，為此提出先把脊柱曲線和幾條橫向背部曲線進(jìn)行優(yōu)化(橫向曲線優(yōu)化方法如脊柱曲線)，用優(yōu)化后的曲線形成曲面，最后用曲率分析驗證優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化前曲線如圖5，優(yōu)化后曲線如圖6 所示。

圖5 優(yōu)化前曲面

圖6 優(yōu)化后曲面

5 利用能量法及遺傳蟻群算法與遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果比較

分別對遺傳算法及改進(jìn)遺傳蟻群算法優(yōu)化的曲面曲率分析，利用曲率分析圖對兩種優(yōu)化算法進(jìn)行比較。具體的比較效果如圖7～9 所示。

通過光順后的分析圖可知，以能量法優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)的改進(jìn)遺傳蟻群算法優(yōu)化，比傳統(tǒng)的優(yōu)化效果更加明顯。優(yōu)化后的曲線曲面不僅滿足優(yōu)化條件而且優(yōu)化的更加光順。

6 結(jié)語

應(yīng)用能量法及改進(jìn)遺傳蟻群算法進(jìn)行曲線曲面優(yōu)化設(shè)計方法研究。通過實踐證明，兩種方法的結(jié)合可以更好地解決了曲線曲面優(yōu)化設(shè)計中的光順問題。但是對于提出的能量法及以及改進(jìn)的遺傳蟻群算法在曲面優(yōu)化方法，有待于進(jìn)一步研究改進(jìn)。

圖7 優(yōu)化前曲面曲率分析圖

圖8 遺傳算法曲率圖

圖9 遺傳蟻群算法曲率圖

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