MPS 方法數(shù)值模擬液艙晃蕩問題

張雨新，萬德成，日野孝則

(1.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240;2.橫濱國立大學(xué) 工學(xué)府，日本 橫濱)

液艙晃蕩是船舶流體力學(xué)研究的熱點問題，其流動現(xiàn)象十分復(fù)雜，常帶有自由面的翻卷、融合、破碎和液體的飛濺等現(xiàn)象?；问帉σ号摫诿娈a(chǎn)生的抨擊壓力可能會造成結(jié)構(gòu)的破壞，并且影響船舶航行的穩(wěn)定性。因此，對晃蕩載荷的預(yù)測是船舶航行安全性評估的重要內(nèi)容之一。

早期對晃蕩的研究常借助于實驗［1-2］，但實驗周期長、費用高，提供的信息有限，且常常存在尺度效應(yīng)。隨著計算機的發(fā)展，數(shù)值模擬逐漸成為研究晃蕩問題的重要手段。早期的數(shù)值求解是基于勢流理論，如Faltinsen［3］發(fā)展了邊界元方法(boundary element method，BEM)用來研究非線性晃蕩問題，Wu 等［4］基于有限元(finite element method，F(xiàn)EM)對三維晃蕩進行了研究，F(xiàn)randsen［5］開發(fā)了一個完全非線性的有限差分(finite difference method，F(xiàn)DM)求解器來分析晃蕩中波形的變化。但基于勢流的研究方法忽略了粘性的影響，不能預(yù)測近壁面處粘性主導(dǎo)的流動現(xiàn)象，同時難以處理一些復(fù)雜的自由面變形，如破波、翻卷等。近二十年來，基于粘流的CFD 技術(shù)發(fā)展迅速，并被越來越多地用來研究復(fù)雜的晃蕩問題。準確預(yù)測晃蕩壓力的一個關(guān)鍵就是追蹤自由面，為此人們提出了許多方法。這些方法大部分是基于網(wǎng)格系統(tǒng)的，如Chen 等［6］利用兩相Level-set 方法分析了矩形液艙在不同水深及頻率下晃蕩產(chǎn)生的抨擊壓力;Liu 等［7］開發(fā)了基于VOF(volume of fluid)的兩相求解器用來研究三維六自由度的劇烈晃蕩現(xiàn)象;Hu 等［8］改進了CIP(constraint interpolation profile)方法，并對二維、三維劇烈晃蕩問題進行了研究;郭曉宇等［9］基于兩相VOF 方法對低充水液艙的氣墊效應(yīng)進行了分析。

近年來，無網(wǎng)格粒子法發(fā)展較快，與傳統(tǒng)的網(wǎng)格類方法相比，粒子法具有較大的靈活性，易于處理一些大變形的自由面問題，其中SPH (smoothed particle hydrodynamics)［10-11］和MPS (moving particle semiimplicit)［12-13］是兩種常用的粒子法。這兩種方法都有各自的優(yōu)缺點［14］，SPH 的計算效率較高，適于大規(guī)模并行計算，但其流體是弱可壓縮的，計算時需要較小的時間步長來滿足CFL 條件。而MPS 方法則是通過Poisson方程隱式求解壓力，可以接受較大的時間步長，其流體是真正不可壓縮的。由于粒子法在處理自由面流動問題具有較大的靈活性，因此常被用來研究復(fù)雜的流動問題，如潰壩、破波、晃蕩等。Delorme 等［15］利用SPH 對淺水液艙晃蕩進行了研究，數(shù)值模擬很好地預(yù)測了抨擊現(xiàn)象，但SPH 給出的壓力與實驗存在較大的偏差。Colagrossi 等為了改進SPH 的壓力計算精度引進MLS(most least square)格式對密度進行積分［16］，提高了壓力場的光滑性，并對劇烈晃蕩問題進行了研究［17］，數(shù)值得到的抨擊壓力變化曲線能夠比較好地與實驗吻合，但仍存在一定程度的振蕩。Khayyer 等［18］提出了一種高階Laplacian 模型的MPS 方法，并以晃蕩問題為例進行了驗證，結(jié)果表明高階的Laplacian 模型能夠改善壓力的預(yù)測精度。Lee 等［19］基于MPS 對晃蕩進行了研究，并對MPS 做了一系列的改進，包括核函數(shù)、壓力Poisson 方程的源項優(yōu)化、粒子碰撞模型，數(shù)值得到的壓力能夠很好地與實驗吻合，不過其粒子碰撞模型中帶有較大的非物理因素。在國內(nèi)，崔巖等［20］利用SPH 對二維矩形液艙的晃蕩進行了分析，數(shù)值得到的波高能夠與實驗一致。陳正云等［21］基于SPH 數(shù)值模擬了大幅晃蕩問題。潘徐杰等［22-23］利用MPS 研究了二維高充水率液艙晃蕩問題，并針對MPS 的壓力振蕩問題進行了討論。

雖然粒子法已在晃蕩問題中顯示出了較好的靈活性，能夠處理劇烈晃蕩時復(fù)雜的自由面變形，但粒子法仍然存在許多問題需要解決。如何改進粒子法并獲得穩(wěn)定光滑的壓力場是十分重要和值得探討的，另外，對于晃蕩中抨擊壓力預(yù)測的可靠性還需要更多的驗證。本文的主要目的是應(yīng)用MPS 方法對液艙晃蕩問題進行研究，然而傳統(tǒng)的MPS 方法中壓力振蕩十分明顯，目前已有一些學(xué)者提出了改進方法。Sueyoshi［24］建議對壓力進行時間和空間上平均，這是參照壓力應(yīng)變片的工作原理，這種方法能夠給出較為合理的壓力結(jié)果。但對于數(shù)值計算而言這是一種后處理方法，難以用于帶有浮體的流動問題。Hibi［25］提出求解壓力Poisson 方程(PPE)兩次。第一次求解的PPE 與傳統(tǒng)的方程一樣，而第二個PPE 則采用速度散度作為方程的源項，得到的壓力用來對前一個壓力進行修正。然而，這個修正壓力沒有參與粒子的移動，因此這種方法并不能提高計算的穩(wěn)定性，并且增加了計算量。Khayyer 等［26］提出了高階源項法，其中源項是對通過粒子數(shù)密度求導(dǎo)得到的，此外還提出了弱可壓縮的MPS 方法，數(shù)值結(jié)果表明這兩種方法對于壓力有一定程度的改善。Tanaka［27］提出了一種混合源項法，這種方法結(jié)合了粒子數(shù)密度和速度散度作為PPE 的源項。其重要部分是速度源項，而粒子數(shù)密度的保留僅是為了保證流體體積的守恒。由于速度場比較光滑，因此混合源項法可以很大程度地光滑壓力。

除了PPE 源項對壓力有較大影響外，自由面的判斷精度對壓力計算的影響也很大，Koshizuka［13］討論了自由面判斷參數(shù)對自由面粒子數(shù)和自由面形狀的影響，給出了參數(shù)的合理范圍，但沒有討論其對壓力的影響。Ataie-Ashtiani［28］分析了粒子作用域半徑對自由面粒子數(shù)的影響，但同樣沒有涉及壓力。Tanaka［27］改進了傳統(tǒng)的自由面判斷方法，即采用鄰居粒子數(shù)而非粒子數(shù)密度來判斷自由面粒子，這種判斷方法在某種程度上提高了自由面的判斷精度，但其精度仍然有限。作者曾提出了一個新的判斷方法，即基于鄰居粒子的不對稱性來判斷，數(shù)值驗證表明其判斷精度很好。

目前，MPS 方法在晃蕩問題中的應(yīng)用還相對較少，對于其預(yù)測抨擊壓力的可靠性還需要進一步驗證，因此將利用MPS 方法對二維液艙的晃蕩問題進行研究。為了消除傳統(tǒng)MPS 方法中壓力振蕩問題，采用了一些改進方法，如:1)無奇點的核函數(shù);2)混合源項法;3)更加精確的自由面判斷方法?；诟倪M后的MPS 方法對二維液艙在不同的激勵頻率和運動方式時的晃蕩進行了數(shù)值模擬，分析了波形的變化和特點，并將數(shù)值預(yù)測得到的壓力與實驗結(jié)果進行對比，驗證了MPS 方法的可靠性。

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

對于粘性不可壓縮流體，控制方程包括連續(xù)性方程和N-S 方程，可寫成如下形式:

式中:ρ 為流體密度，P 為壓力，V 為速度向量，g 為重力加速度向量，ν 是運動粘性系數(shù)。式(1)和式(2)的時間導(dǎo)數(shù)項是以物質(zhì)導(dǎo)數(shù)形式給出的。在粒子法中，粒子的位置和其他物理量都是基于拉格朗日描述法表達的，因此不需要計算對流項。

1.2 粒子作用模型

在粒子法中，粒子間的相互影響是通過核函數(shù)來實現(xiàn)的。核函數(shù)的形式可以有很多種。在MPS 中常用的核函數(shù)是由Koshizuka 等［5］給出的:

式中:r =| rj－ri| 為兩個粒子間的距離，而下標i 和j 表示粒子編號;re為粒子作用域的半徑，一般取一適當(dāng)?shù)挠邢蘧嚯x。

式(3)所示的核函數(shù)一個最大的特點就是在零點處有奇異性，根據(jù)Koshizuka 的建議，這樣做可以避免粒子的聚集，保證流體的不可壓縮性。但在模擬流動變化劇烈的問題時，兩個近距離的相鄰粒子易造成過大的排斥力而影響計算的穩(wěn)定性。這里采用另一種核函數(shù)［29］:

式(4)與式(3)的形式相似，但沒有奇點，這樣既可以避免粒子的聚集，又可以使兩個距離很近的粒子不會產(chǎn)生過大的壓力，有利于計算的穩(wěn)定性。

1.3 梯度模型

梯度算子的離散可表示成徑向函數(shù)的加權(quán)平均。例如對于粒子i，其壓力梯度可寫成［30-31］:

其中:D 為空間維數(shù)，n0為初始粒子數(shù)密度。在MPS 方法中，粒子數(shù)密度定義為:

式(5)是滿足動量守恒的，其形式與SPH 中的梯度模型相似，其中粒子j 對i 的影響與i 對j 的影響是相同的，且壓力將是對稱的推力。

1.4 Laplacian 模型

在MPS 方法中，Laplacian 模型是由Koshizuka 等［32］給出的，其公式為:

其中:

式(7)是一種守恒格式，其推導(dǎo)源于非定常擴散問題，λ 的引入是為了使數(shù)值結(jié)果與擴散方程的解析解相一致。

1.5 時間積分

MPS 中一個時間步的計算過程是分成兩步完成的:基于質(zhì)量力和粘性力的顯式修正以及壓力的隱式修正。具體求解過程如下:

1)以粘性力和質(zhì)量力為源項對粒子速度進行顯式修正，獲得臨時速度V*i ，并使粒子按照該速度移動至臨時位置r*i :

其中:Δt 為時間步長。

2)計算粒子在臨時位置處的粒子數(shù)密度n*。

3)求解壓力Poisson 方程，獲得下一時刻的壓力:

4)根據(jù)求得的壓力，對速度和粒子位置進行隱式修正:

式(11)中的右端項為壓力Poisson 方程的源項。從式中可以看到，源項的大小取決于粒子數(shù)密度與初始值的差值。在傳統(tǒng)MPS 方法中，不可壓縮條件就是通過保持粒子數(shù)密度為常數(shù)來實現(xiàn)的，由于粒子數(shù)密度場不光滑，式(11)給出的壓力常常存在著強烈的非物理振蕩。Tanaka 等［14］把速度散度加入到了壓力Poisson方程的源項，并保留了粒子數(shù)密度項，Lee［19］將這種混合源項法寫成如下更合理的表達式:

其中:γ 為一參數(shù)。當(dāng)γ = 1 時，上式與傳統(tǒng)MPS 方法表達式相同;當(dāng)γ = 0 時，Poisson 方程源項則完全由速度散度決定。一般而言γ 越小壓力場越光滑，但過小的γ 容易造成流體體積的不守恒，根據(jù)數(shù)值測試γ ≥0.01 時流體體積能夠保持不變，因此這里取γ = 0.01。

1.6 自由面的判斷

在MPS 方法中，自由液面的判斷相對較為簡單，當(dāng)粒子的數(shù)密度＜n ＞*

i 滿足:

時即被判定為自由面粒子。在求解壓力Poisson 方程時，自由面粒子被指定0 壓力邊界條件，而β 是一參數(shù)，通常取β = 0.98 。

式(15)的判斷精度不高，當(dāng)內(nèi)部粒子具有較小的數(shù)密度時容易被誤判為自由面粒子，從而被賦以0 壓力值，這導(dǎo)致誤判粒子周圍不正確的壓力場。文中采用另外一種自由面判斷方法［33］，首先定義矢量:

時即被判定為自由面粒子，其中α 為一參數(shù)。取α = 0.9 | F|0，| F|0為初始時自由面粒子的| F| 值。

需要注意的是，式(17)僅被應(yīng)用于滿足0.8n0＜n*＜0.97n0的粒子。這是因為n*≤0.8n0的粒子其粒子數(shù)密度過小應(yīng)該被判定為自由面粒子，無需進行多余的判斷，而0.97n0≤n*的粒子不是自由面粒子，應(yīng)該參與壓力Poisson 方程的求解。

2 數(shù)值結(jié)果及分析

本節(jié)將MPS 方法應(yīng)用到液艙晃蕩問題計算中，首先對一個矩形液艙縱蕩時的晃蕩進行模擬，將計算得到的和實驗測得的壓力進行對比，驗證文中采用的數(shù)值方法的可靠性，同時計算一個較復(fù)雜的晃蕩問題，即帶隔板的液艙晃蕩問題，分析隔板的存在對液體運動的影響。

2.1 矩形液艙晃蕩

計算模型為二維矩形液艙，大小為0.8 m(L)×0.5 m(H)，如圖1 所示。為了便于與實驗結(jié)果進行比較，在艙壁上設(shè)置了2 個壓力監(jiān)測點，實驗數(shù)據(jù)來自于DSME(Daewoo Shipbuilding ＆ Marine Engineering Co.，Ltd.)研究所。艙內(nèi)水深為0.25 m，對應(yīng)的填充率為50%。液艙做受迫縱蕩運動，運動方程如下:

式中:a=0.02 m 為運動幅值，ω =6.469 rad/s 為激勵頻率。

計算所用的總粒子數(shù)為14 312 粒子，其中流體粒子數(shù)為12 338，其他為邊界粒子，對應(yīng)粒子間距為0.004 m。水的密度設(shè)為1 000 kg/m3，重力加速度取為9.8 m/s2，運動粘性系數(shù)ν=1.01 ×10－6m2/s。

圖1 液艙幾何模型(單位mm)Fig.1 Geometry of tank (Unit:mm)

圖2 不同時刻的晃蕩流動瞬間Fig.2 Snapshots of sloshing flows

圖2 給出了不同時刻的流場瞬間，可以看到流體以駐波的方式在艙內(nèi)運動，由于該晃蕩的激勵頻率與共振頻率相差較大，因此沒有發(fā)生共振現(xiàn)象。圖3 對比了P1 處壓力的實驗和數(shù)值結(jié)果?？梢钥吹?，晃蕩產(chǎn)生了明顯的拍擊現(xiàn)象，由于流動沒有發(fā)生破碎等復(fù)雜現(xiàn)象，因此拍擊壓力的變化整體上很有周期性。MPS 的計算結(jié)果能夠很好地與實驗吻合，壓力峰值和拍擊的時刻都能夠與實驗相一致。這表明文中采用的MPS 方法能夠較好預(yù)測晃蕩問題中的拍擊壓力變化。

2.2 二維帶隔板液艙晃蕩

從上節(jié)的算例中可以看到，液體晃蕩對艙壁產(chǎn)生了較大的沖擊力，在工程實際中，為了減小晃蕩載荷，人們有時會在艙內(nèi)加入隔板來減小晃蕩幅值。隔板的存在會對流動產(chǎn)生較大的影響，隔板附近的流動較劇烈，這給數(shù)值計算帶來一定的影響。本節(jié)針對一個二維帶垂直隔板的液艙晃蕩問題進行研究，驗證MPS 方法在帶有隔板的晃蕩問題中的計算可靠性。計算模型如圖4 所示，液艙長為0.57 m，高度為0.5 m，艙內(nèi)水深為0.18 m，對應(yīng)充水率為36%。艙內(nèi)帶有一垂直隔板，隔板高度為0.15 m，隔板厚度為0.006 m。液艙運動幅值為a=0.1 m，激勵頻率為ω =3.53 rad/s。為了記錄水面的高度變化，在液艙內(nèi)設(shè)置了三個波高探測器，分別位于(a)x= －0.275 m;(b)x=0 m;(c)x= +0.275 m。坐標軸中心位于初始時自由面中心處。粒子間距取0.002 m，總粒子數(shù)為27 780，其中流體粒子為25 560，其他為邊界粒子。

圖3 壓力隨時間變化曲線的實驗與數(shù)值結(jié)果對比Fig.3 Comparison of impact pressure between experimental and numerical results

圖4 帶隔板液艙的幾何尺寸(單位:m)Fig.4 Geometry of baffled tank (Unit:m)

圖5 給出了不同時刻下的流場瞬間，可以看到隔板的存在極大地影響了液體的水平運動，隔板左側(cè)大部分水體的流動速度很小。隔板附近的流動較劇烈，當(dāng)水流流過隔板上部時呈現(xiàn)出了較大的速度，該水流撞入另一側(cè)的液體中，造成流場強烈的紊動，可以觀察到自由面的翻卷、破碎和融合等現(xiàn)象，采用的MPS 方法能夠很好地模擬這一現(xiàn)象。圖6 對比了不同波高監(jiān)測處的水面高度隨時間變化曲線，計算與實驗結(jié)果［34］較好地吻合，波高的峰值和相位都能夠與實驗一致。圖6 還給出了VOF 的計算結(jié)果［34］，相對于VOF 方法，MPS的波高幅值與實驗更接近，尤其是在x=0 m 位置，從圖中能夠看到，x=0 m 位置處正是流動最劇烈的地方，MPS 能給出較好的結(jié)果主要是因為粒子法更易處理這類劇烈的自由面流動。

圖5 二維帶隔板液艙晃蕩流動瞬間Fig.5 Snapshots of sloshing in baffled tank

圖6 波高隨時間變化曲線Fig.6 Time histories of wave height

2.3 三維帶隔板液艙晃蕩

本節(jié)將MPS 方法擴展到帶垂直隔板的三維液艙晃蕩問題計算中。液艙長度和高度與2.2 節(jié)中的二維液艙相同，在深度方向為0.6 m。艙內(nèi)水深為0.2 m，隔板高為h =0.15 m，隔板位于自由面處，距離液艙底部0.5 m，隔板厚為0.006 m，距離左側(cè)艙壁0.275 m。與2.2 節(jié)二維算例相似，液艙做受迫縱蕩運動。運動幅值a=0.03 m，激勵頻率為ω =6.582 rad/s，該頻率等于液艙一階共振頻率。

圖7 三維帶隔板晃蕩流動瞬間Fig.7 Snapshots of sloshing in 3D baffled tank

圖8 隔板附近的速度Fig.8 Velocity around baffle

圖9 三維帶隔板液艙晃蕩的自由面高度Fig.9 Wave height evolution in 3D baffled tank

計算使用的粒子總數(shù)為376 695，其中流體粒子數(shù)為274 195，其他為邊界粒子。對應(yīng)粒子間距為0.005 m，因此隔板的三維表達存在微小差別。圖7給出了數(shù)值計算得到的流動瞬間，可以看到隔板的存在阻礙了自由面附近的液體運動，隔板兩側(cè)水面高度有較大差別，因此當(dāng)流體流過隔板時發(fā)生了自由面的破碎，同時伴隨著液體的飛濺。從圖8 中也可以看到隔板附近的流動速度變化較大。圖9 顯示了波高監(jiān)測點處水面高度隨時間變化歷程的實驗和數(shù)值結(jié)果對比。計算結(jié)果能夠與實驗數(shù)據(jù)較好地吻合，但在峰值處存在一定的偏差，這主要是由于該三維算例中粒子間距較大，影響了自由面的捕捉精度，但壓力的整體變化趨勢與實驗相一致。

3 結(jié) 語

文中將移動粒子法(MPS)應(yīng)用于液艙晃蕩問題計算，對二維液艙在縱蕩運動時的晃蕩進行了模擬，將計算得到的拍擊壓力與實驗做了對比，結(jié)果表明:MPS 方法能夠很好地模擬晃蕩中的拍擊現(xiàn)象。同時，對二維和三維帶隔板的液艙晃蕩進行了計算，結(jié)果顯示隔板附近出現(xiàn)了波面的破碎和融合現(xiàn)象，采用MPS 方法能夠較好地模擬這些復(fù)雜的流動現(xiàn)象。此處對比了數(shù)值計算得到的和實驗測得的波高，二者吻合較好，表明MPS 方法能夠較好地模擬帶隔板的液艙晃蕩問題。

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