一類三次系統(tǒng)的細(xì)中心與局部臨界周期分支

陳 挺，黃文韜，2，馬皖川

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004;2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣西 賀州 542800)

1989年，C.Chicone 與M.Jacobs［1］類比N.Bautin［2］研究了小振幅極限環(huán)的方法，首次提出了k 階細(xì)中心和局部臨界周期分支(簡(jiǎn)稱臨界周期分支)的概念.在文獻(xiàn)［1］中，作者證明了奇點(diǎn)的臨界周期分支的一些定理，并研究了二次系統(tǒng)的臨界周期分支情況.林怡平與李繼彬［3］用復(fù)系統(tǒng)的方法研究了細(xì)中心和臨界周期分支，解決了不含二次項(xiàng)的三次復(fù)系統(tǒng)的臨界周期分支問(wèn)題.文獻(xiàn)［4-5］也研究了不含二次項(xiàng)的三次系統(tǒng)原點(diǎn)的臨界周期分支問(wèn)題.文獻(xiàn)［6］給出了一類三次Kukles系統(tǒng)的原點(diǎn)最多有三個(gè)臨界周期分支.張偉年等［7］討論了一類三次可逆多項(xiàng)式系統(tǒng)的情形.另外，文獻(xiàn)［8］也討論了一類特殊的三次系統(tǒng)的臨界周期問(wèn)題.文獻(xiàn)［9-10］研究了Hamilton 系統(tǒng)的臨界周期問(wèn)題.文獻(xiàn)［11-12］研究了Lénard 系統(tǒng)的臨界周期問(wèn)題.對(duì)于臨界周期分支相關(guān)問(wèn)題的研究還可見文獻(xiàn)［13-17］.

本文考慮如下一類三次系統(tǒng)原點(diǎn)的細(xì)中心和臨界周期分支問(wèn)題

系數(shù)Ai，j，Bi，j(i=0，1，2，3;j=0，1，2)是實(shí)數(shù).

文獻(xiàn)［18］研究了系統(tǒng)(1)的中心條件，本文將利用文獻(xiàn)［19］定義的復(fù)自治系統(tǒng)的周期常數(shù)及遞推公式，得到該系統(tǒng)原點(diǎn)的細(xì)中心階數(shù)，并證明了該系統(tǒng)原點(diǎn)能分支出3 個(gè)臨界周期分支.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮系統(tǒng)

式中:λ ∈Λ.在原點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)，設(shè)P(h，λ)為系統(tǒng)(2)通過(guò)非零點(diǎn)(h，0)的閉軌的最小周期函數(shù).由文獻(xiàn)［1］得，P(h，λ)是局部可積的，其泰勒展開式為

對(duì)正整數(shù)k，如果存在λ*∈Λ，使得P2(λ*)=…=P2k(λ*)=0，P2k+2(λ*)≠0，則系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)為k 階細(xì)中心(當(dāng)k=0 時(shí)稱為粗中心);如果對(duì)任意的正整數(shù)m，都存在P2m=0，則原點(diǎn)為系統(tǒng)的等時(shí)中心.對(duì)于局部臨界周期分支有如下定義:

定義1 對(duì)于參數(shù)λ*∈Λ，系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)為細(xì)中心，如果存在ε0＞0，使得任意0 ＜ε ＜ε0和每一個(gè)λ*的充分小鄰域W，存在一個(gè)λ1∈W，使得P'(h，λ1)在U=(0，ε)內(nèi)有k 個(gè)解，則稱在λ*系統(tǒng)原點(diǎn)有k 個(gè)局部臨界周期分支.

定義2 考慮有限個(gè)函數(shù)的集合fi∶RN→R，i=1，2，…，l.記

稱f1，f2，…，fl相對(duì)于f 在λ*∈V(f1，f2，…，fl)是無(wú)關(guān)的.如果

(i)λ*的任意鄰域包含一個(gè)λ ∈V(f1，f2，…，fl)，使得fl(λ)f(λ)＜0;

(ii)對(duì)于變量V(f1，f2，…，fl)，2 ≤j ≤l -1，存在λ ∈V(f1，f2，…，fj)，fj+1(λ)≠0，且λ 的任一鄰域W 都包含一個(gè)σ ∈V(f1，f2，…，fj-1)，使得fj(σ)fj+1(λ)＜0;

(iii)若λ ∈V(f1)，f2(λ)≠0，則λ 的任一個(gè)鄰域W*都包含一個(gè)σ，使得f1(σ)f2(λ)＜0.

顯然，若f1，f2，…，fl相對(duì)于f 在λ*∈V(f1，f2，…，fl)是無(wú)關(guān)的，則任意λ ∈V(f1，f2，…，fk-1)使得fk(λ)≠0 時(shí)，對(duì)于每一個(gè)k=1，2，…，l，f1，f2，…，fk-1相對(duì)于fk是無(wú)關(guān)的;且若▽f1(λ*)，…，▽fl(λ*)，▽f(λ*)是線性無(wú)關(guān)，則f1，f2，…，fl在λ*下相對(duì)于f 是無(wú)關(guān)的.

引理1 設(shè)系統(tǒng)參數(shù)為λ*時(shí)，系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)是一個(gè)k 階細(xì)中心，則至多有k 個(gè)臨界周期從原點(diǎn)分支出來(lái);并且，若原點(diǎn)的周期常數(shù)P2，P4，…，P2k在λ*下相對(duì)于P2k+2是無(wú)關(guān)的，則對(duì)于滿足m≤k 的任意正整數(shù)m，恰好有m 個(gè)臨界周期分支.

從文獻(xiàn)［19］的定理5.4 可知，系統(tǒng)(2)原點(diǎn)的第一個(gè)非零周期常數(shù)P2k與其共軛復(fù)系統(tǒng)原點(diǎn)的第一個(gè)非零復(fù)周期常數(shù)τk滿足如下關(guān)系:

假設(shè)復(fù)周期常數(shù)τi由k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的參數(shù)a1，a2，…，ak組成，即τi=τi(λ)=τi(a1，a2，…，ak).由文獻(xiàn)［10］的定理2 可以得到如下定理證明局部臨界周期存在的充分條件.

定理1 當(dāng)存在λ*=(a1c，a2c，…，akc)時(shí)，使得

則通過(guò)λ=λ*的小擾動(dòng)，系統(tǒng)(2)恰有k 個(gè)局部臨界周期分支.

2 細(xì)中心與局部臨界周期分支

通過(guò)變換

把系統(tǒng)(1)變換成它的伴隨復(fù)系統(tǒng)

記λ=(a30，b30，a21，b21，a12，b12，a02，b02)∈C8，根據(jù)文獻(xiàn)［18］中的定理4，可以得到系統(tǒng)(1)原點(diǎn)為中心的充要條件如下:

引理2 系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)為中心(伴隨復(fù)系統(tǒng)(5)的原點(diǎn)為復(fù)中心)，當(dāng)且僅當(dāng)λ ∈K1∪K2∪K3，其中:

結(jié)合文獻(xiàn)［19-20］給出求系統(tǒng)周期常數(shù)的遞推算法，下面分別討論系統(tǒng)(1)原點(diǎn)在三種中心條件下的細(xì)中心條件及臨界周期分支的情況.

情形1 中心條件K1成立.把a(bǔ)21=b21，b12=3a30，a12=3b30代入文獻(xiàn)［19］中的遞推公式進(jìn)行計(jì)算，可得系統(tǒng)(5)的前3 個(gè)復(fù)周期常數(shù)為

其中:在上述τk的計(jì)算過(guò)程中，已置 τ1=…=τk-1=0 (k=2，3).由上可以得到前3 個(gè)周期常數(shù)都為零，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立:

且當(dāng)λ ∈S1時(shí)，系統(tǒng)(5)變?yōu)榱司€性型系統(tǒng)，所以其原點(diǎn)為復(fù)等時(shí)中心.相應(yīng)地，系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)為等時(shí)中心.當(dāng)0 時(shí)，τ1=τ2=0，τ3≠0.因此，在λ ∈K1時(shí)，系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)至多是2 階細(xì)中心，并得到以下結(jié)論:

定理2 當(dāng)λ ∈S1時(shí)，系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)為等時(shí)中心.

定理3 當(dāng)λ ∈K1時(shí)，系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)至多是2 階細(xì)中心，而且原點(diǎn)是k(k=0，1，2)階細(xì)中心，當(dāng)且僅當(dāng)λ ∈其中:

定理4 如果λ*∈，在λ*下系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)沒(méi)有臨界周期分支;如果λ*∈(k=1，2)，在λ*下系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)至多有k 個(gè)臨界周期分支，且對(duì)于任意正整數(shù)m(0 ≤m ≤k)，系統(tǒng)的原點(diǎn)恰好有m 個(gè)臨界周期分支.

證明 定理4 的前半部分可根據(jù)引理1 直接得到，對(duì)于定理4 的后半部分，這里只做k=2 情形的證明.對(duì)任一λ*∈，需要證明P2，P4相對(duì)于P6是無(wú)關(guān)的.

設(shè)任意λ*∈即

對(duì)λ*的任一滿足的領(lǐng)域W，在其內(nèi)可找到一點(diǎn)

其中:ε ＞0 充分小，sign(x)表示符號(hào)函數(shù).則有原點(diǎn)的周期常數(shù)滿足

因此，定義2 的條件(i)成立.

下面設(shè)

對(duì)于λ 的任一滿足的領(lǐng)域W'，存在

因此，定義2 的條件(iii)成立.證畢.

情形2 中心條件K2成立.把中心條件代入文獻(xiàn)［19］中的遞推公式進(jìn)行計(jì)算，可得系統(tǒng)(5)的復(fù)周期常數(shù)，并化簡(jiǎn)得到

1)當(dāng)a30=b30=0 時(shí)，

由上可以得到前3 個(gè)周期常數(shù)都為零，當(dāng)且僅當(dāng)條件λ ∈S1.當(dāng)時(shí)，有τ1=τ2=0，τ3≠0，則系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)至多是2 階細(xì)中心.

借助Mathematica 軟件計(jì)算理想〈F1，F(xiàn)2〉的Groebner 基，有

從而得到F1=0 與F2=0 沒(méi)有公共實(shí)根，所以當(dāng)F1=0，a30b30≠0 時(shí)，有τ3=0，τ4≠0.因此，在λ ∈K2時(shí)，系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)至多是3 階細(xì)中心，并得到以下結(jié)論:

定理5 當(dāng)λ ∈K2時(shí)，系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)至多是3 階細(xì)中心，而且原點(diǎn)是k(k=0，1，2，3)階細(xì)中心，當(dāng)且僅當(dāng)λ ∈其中:

定理6 當(dāng)λ*∈)時(shí)，系統(tǒng)(1)在λ*下原點(diǎn)最多存在k 個(gè)局部臨界周期分支.而且在λ*下，對(duì)任意的正整數(shù)m(0 ≤m ≤k)，恰好有m 個(gè)臨界周期從原點(diǎn)分支出來(lái).

證明方法與定理4 的相同，只需要證明P2，P4，P6相對(duì)于P8是無(wú)關(guān)的，在此不再做證明.下面應(yīng)用定理1 直接證明在K32 條件下，系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)鄰域恰有3 個(gè)臨界周期分支.通過(guò)計(jì)算Jacobian行列式，由a30b30≠0 和333 +853q +412q2=0 可知

情形3 中心條件K3成立.把a(bǔ)21=b21=0，a12+b30=b12+a30=0 代入文獻(xiàn)［19］中的遞推公式進(jìn)行計(jì)算，可得系統(tǒng)(5)原點(diǎn)的周期常數(shù)為

由上述可得，當(dāng)a02=b02=0 時(shí)，τ1=τ2=τ3=…=0，該條件滿足文獻(xiàn)［21］中定理5 的條件三，故系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)為等時(shí)中心;若a02b02≠0，則有τ1≠0，故系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)是一個(gè)粗中心，系統(tǒng)原點(diǎn)鄰域沒(méi)有臨界周期分支.

定理7 當(dāng)λ ∈S2時(shí)，系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)為等時(shí)中心，其中:

定理8 如果λ*∈系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)為一個(gè)粗中心，且在λ*下系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)沒(méi)有臨界周期分支，其中:

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