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    二維渦旋空間孤子在Kerr型自聚焦介質(zhì)中的傳輸及相互作用

    2014-11-22 02:02:16李淑青

    李淑青,李 錄

    (1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,山西 太原 030008;2.山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院,山西 太原 030006)

    0 引言

    當(dāng)非線性介質(zhì)的自聚焦效應(yīng)與光束的衍射發(fā)散作用相互平衡時(shí),在介質(zhì)內(nèi)無(wú)衍射向前傳輸?shù)墓馐环Q為空間光孤子.近20年來(lái)對(duì)克爾空間光孤子的研究取得了重大突破,但是克爾空間孤子的形成需要很高的功率,后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)了只需較低功率就可以形成的光折變空間孤子[1-3].近幾年來(lái),渦旋場(chǎng)以其獨(dú)一無(wú)二的特征逐漸被人們所重視,到2009年渦旋空間孤子在實(shí)驗(yàn)中被觀察到[4-6].2013年,張解放研究了非線性介質(zhì)中渦旋孤子的相互作用[7],之后歐陽(yáng)世根研究了自散焦介質(zhì)中渦旋孤子的特性[8],然而對(duì)渦旋空間孤子在克爾性自聚焦介質(zhì)中的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),及拓?fù)浜蓪?duì)渦旋孤子的影響還鮮為人知,因此對(duì)渦旋孤子在Kerr型自聚焦介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)研究具有重要的實(shí)際意義.

    本文對(duì)渦旋空間孤子在Kerr自聚焦介質(zhì)中的演化方程進(jìn)行了簡(jiǎn)化,求解了簡(jiǎn)化后的非線性方程,并導(dǎo)出了振幅的取值范圍.采用數(shù)值模擬的方法討論了拓?fù)浜傻闹祵?duì)渦旋孤子的影響,以及拓?fù)浜珊驼穹鶎?duì)兩渦旋孤子相互作用的影響.

    1 二維空間渦旋孤子在Kerr型自聚焦介質(zhì)中的演化方程

    麥克斯韋方程是普遍適用于電磁場(chǎng)和光場(chǎng)中的基本方程.一般情況下,光場(chǎng)中的麥克斯韋方程可以寫成下面的波動(dòng)方程:

    式中:E是電場(chǎng)強(qiáng)度;P是極化矢量;c是真空中的光速;ε0是真空中的介電常數(shù).方程具有E(r,t)=A(r)exp(iβ0Z)的形式解,其中β0 =knn0=A(X,Y,Z)是演化波包,光沿著Z軸傳播,衍射(自聚焦)發(fā)生在X,Y軸構(gòu)成的平面內(nèi),在沒(méi)有衍射和非線性的情況下,A是一個(gè)常數(shù).在考慮非線性效應(yīng)和衍射效應(yīng)的時(shí)候,波包A隨著Z變化,并滿足非線性方程[9]

    在非線性Kerr自聚焦介質(zhì)中,折射率的改變量滿足nnl(I)=n2I,n2是非線性材料的Kerr系數(shù),對(duì)于Kerr自聚焦介質(zhì),n2>0,I是光強(qiáng),且I=|A|2.引入歸一化變量

    2 二維渦旋孤子解及其特點(diǎn)

    關(guān)于方程(4)的解R.M.Caplan,Q.E.Hoqb等人已經(jīng)在2009年求出,形式解可以寫成下面的形式[10]:

    式中:b是演化常數(shù);φ(x,y)為方位角;mφ(x,y)表示橫向相位;b是演化常數(shù),一般情況下滿足0≤b≤1;m取整數(shù),它滿足稱為拓?fù)浜桑枋鱿辔焕@奇點(diǎn)變化的快慢;q(x,y)為實(shí)函數(shù).采用擬解法把方程(5)代入到方程(4)中,即可得到方程(6).

    式中:q滿足邊界條件:q|r=0=0,q|r→∞=0,q~r|m|(r→0).為了討論的一般性,設(shè)方程(6)的初始孤子解具有下面的形式:

    式中:η0表示振幅;r0表示初始時(shí)的孤子半徑.把上述解代入到方程(6)中,整理后得

    根據(jù)雙曲函數(shù)的特性-1<tanhx<1,可以得到簡(jiǎn)化后的參數(shù)方程滿足

    對(duì)于不等式(8),尤其當(dāng)m=0時(shí)即可以求得η0 必須滿足方程(9).

    如果m≠0 時(shí),根據(jù)η0表示振幅的實(shí)際物理意義,可以得到η0 的取值范圍為

    可見(jiàn)振幅隨著拓?fù)浜膳c半徑的比值變化.

    圖1 中顯示了孤子解

    在z=0,m=0和m=±3時(shí)的光強(qiáng)分布剖面圖,參數(shù)為b=1,r0=1,η0 =1.從圖1 中可以看到,當(dāng)拓?fù)浜蒻=0 的時(shí)候,孤子的中心光強(qiáng)最大,就是普通的Kerr 孤子;但是,當(dāng)拓?fù)浜蒻=±3時(shí),對(duì)應(yīng)的孤子中心光強(qiáng)為零,此時(shí)的孤子形成環(huán)形渦旋孤子.

    圖1 x-o-y內(nèi)孤子的光強(qiáng)圖Fig.1 The light intensity of soliton in x-o-y

    3 渦旋孤子的傳輸特點(diǎn)

    考慮由硅材料制作的圓形波導(dǎo),其中:n0=1.57,表示波導(dǎo)中心光斑通過(guò)處的折射率;n1=1.55,表示波導(dǎo)邊緣的折射率.非線性折射率n2=3 × 10-9m2/W,讓 入 射 波 長(zhǎng)λ(λ=512nm)和初始波函數(shù)的形式為u(r,θ)=η0sech[η0(r-r0)]exp(imφ(x,y))的光入射其中,此時(shí)光孤子的橫向特征長(zhǎng)度衍射長(zhǎng)度由于方程(4)已經(jīng)做了歸一化處理,因此坐標(biāo)x,y軸分別以0.2mm 作為單位,z軸以0.7mm 作為單位.孤子的穩(wěn)定性一直是討論的重點(diǎn),那么拓?fù)浜蒻對(duì)孤子的穩(wěn)定性有什么影響呢?圖2 是在參數(shù)滿足m=0,b=1,r0=1和η0 =0.5,孤子分別在z=0,z=75,z=150時(shí)的演化剖面圖.從圖2 中可以看出,隨著孤子的演化,孤子的形狀保持不變,但是半徑逐漸變小,在孤子傳播了150個(gè)演化單位時(shí),孤子的形狀并沒(méi)有失真,但是中心光強(qiáng)隨距離收縮的很快,說(shuō)明參數(shù)取m=0時(shí)的孤子解不穩(wěn)定.這種現(xiàn)象歸因于在光束的傳輸過(guò)程中,光場(chǎng)強(qiáng)度與自聚焦效應(yīng)互為因果關(guān)系,即光場(chǎng)強(qiáng)度增大會(huì)導(dǎo)致自聚焦效應(yīng)增強(qiáng),而自聚焦效應(yīng)增強(qiáng)又會(huì)導(dǎo)致光場(chǎng)強(qiáng)度增強(qiáng),這樣自聚焦效應(yīng)就越來(lái)越大于衍射效應(yīng),使得光束自囚禁,從而被破壞.

    圖2 二維渦旋空間孤子傳輸剖面圖(r0=1,b=1,η0 =0.25,m=0)Fig.2 The profile of 2Dimensional vortex spatial soliton transmission for different distances(r0=1,b=1,η0 =0.25,m=0)

    圖3顯示了拓?fù)浜扇=±3,其他參數(shù)取r0=5,b=1,η0 =1時(shí)空間渦旋孤子(也就是孤子)分別在z=0,z=17.5,z=35 時(shí)傳輸開(kāi)始(圖3(a)),傳輸了12.5mm(圖3(b))和傳輸了24.5 mm(圖3(c))的演化圖.從圖中可以看出,m=±3 的渦旋孤子傳輸極不穩(wěn)定,孤子隨著傳輸距離的增加分裂成四孤子團(tuán),組成的四個(gè)孤子分布在同一個(gè)環(huán)上,強(qiáng)度分布具有光鏈的樣式,每個(gè)波瓣中間都有一個(gè)節(jié)點(diǎn),類似于文獻(xiàn)[11]中提到的Necklace-ring 渦旋孤子.

    圖3 x-o-y平面內(nèi)孤子在不同演化距離時(shí)的光強(qiáng)分布(r0=5,b=1,η0 =1,m=3)Fig.3 The light intensity of vortex soliton in x-o-yfor different distances(r0=5,b=1,η0 =1,m=3)

    4 兩渦旋孤子的相互作用及其抑制

    在文獻(xiàn)[7-8]中,作者討論了渦旋孤子間的相互作用受孤子間距和孤子相位的影響,而且都是針對(duì)拓?fù)浜蔀?的渦旋孤子進(jìn)行了討論,對(duì)拓?fù)浜蔀槠渌导巴負(fù)浜傻娜≈祵?duì)孤子相互作用的影響沒(méi)有進(jìn)行討論.為了更全面地了解渦旋孤子之間的相互作用,圖4 模擬了當(dāng)兩渦旋孤子間的間距為2 mm 時(shí),取不同的拓?fù)浜蒻的相互作用圖.圖4中顯示了,當(dāng)拓?fù)浜蔀?時(shí),孤子發(fā)生了形變,中心點(diǎn)的光強(qiáng)突然加強(qiáng),周圍的光強(qiáng)突然減弱,已經(jīng)失去了初始孤子的原貌,可見(jiàn)m=0時(shí)的普通孤子相互作用極不穩(wěn)定.當(dāng)|m|≥1時(shí),從圖5 的(b),(c),(d)中可以看出,隨著m的增大,孤子的相互作用增強(qiáng),孤子相接觸的邊緣強(qiáng)度增大,這與渦旋孤子的半徑隨拓?fù)浜傻脑龃蠖龃笥兄苯雨P(guān)系,且拓?fù)浜蒻=1 時(shí)的渦旋孤子穩(wěn)定性最高.

    圖4 拓?fù)浜蓪?duì)兩渦旋孤子相互作用的影響(r0=1,b=1,η0 =1,z=5)Fig.4 The effect of the topological charges to the interaction of two vortex solitons(r0=1,b=1,η0 =1,z=5)

    作者以拓?fù)浜芍祄=1 為例,研究了振幅對(duì)兩渦旋孤子相互作用的影響.在一般情況下孤子的相位、振幅比和強(qiáng)度都在一定程度上可以抑制孤子的相互作用,有關(guān)相位對(duì)孤子相互作用的影響,文獻(xiàn)[7-8]中已經(jīng)討論過(guò)了,這里重點(diǎn)討論孤子的強(qiáng)度對(duì)孤子相互作用的影響.圖5 分別顯示了當(dāng)兩個(gè)渦旋孤子間距為2 mm 時(shí),振幅分別選為η0 =0.25,η0 =1.5,η0 =1.8,η0 =1.88,其他參數(shù)分別為r0=1,b=1,z=5時(shí)的相互作用圖.從圖5 中和圖4(b)這5張圖片可以看出,兩渦旋孤子的相互作用受振幅的影響很大,當(dāng)孤子的振幅η0 <1.5時(shí),圖5(a)和圖4(b)所顯示的孤子的相互作用較大,孤子的振幅越小孤子的邊緣重疊越嚴(yán)重;當(dāng)孤子的振幅1.5≤η0 ≤1.8時(shí),孤子間的相互作用得到了抑制,孤子無(wú)相互作用傳輸;當(dāng)孤子的強(qiáng)度η0 >1.8時(shí),孤子的相互作用較弱,但是兩個(gè)渦旋孤子都分裂出了兩個(gè)旁瓣,出現(xiàn)了失真.可見(jiàn)渦旋孤子的相互作用可以通過(guò)調(diào)節(jié)光孤子的強(qiáng)度來(lái)抑制,但是振幅的取值應(yīng)該有一定的范圍,這與本文第2部分討論的式(10)一致.

    圖5 振幅對(duì)兩渦旋孤子相互作用的影響Fig.5 The effect of the amplitude to the interaction of two vortex solitons

    5 結(jié)論

    針對(duì)2+1維渦旋空間孤子在Kerr自聚焦介質(zhì)中的演化進(jìn)行了討論,利用拉普拉斯變換簡(jiǎn)化了演化方程.對(duì)它的一種分析解利用擬解法求出了振幅所滿足的不等式.用數(shù)值模擬的方法分析了拓?fù)浜傻闹祵?duì)渦旋孤子的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)m=0時(shí),孤子的形狀就是普通的Kerr孤子,孤子在傳輸時(shí)半徑隨著傳輸距離的增大均勻地減小,正符合孤子的自相似演化特點(diǎn).當(dāng)m=3時(shí),孤子在相位奇點(diǎn)處振幅為零,變成渦旋孤子,它在傳輸時(shí)分裂成四孤子團(tuán).分析了拓?fù)浜傻闹岛驼穹鶎?duì)兩相鄰渦旋孤子相互作用的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)m=1 時(shí)孤子的相互作用最弱,并且選擇合適的振幅可以抑制渦旋孤子的相互作用.

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