芻議建模思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

高燮瑋

一、引言

模型思想是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念.《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》同時指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，更要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.這正是新課程改革和數(shù)學(xué)教育的目的.

二、對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識

在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等，都是數(shù)學(xué)模型.中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型一般是指“針對特定的現(xiàn)實問題或具體實物對象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型”.

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課堂的實際情況出發(fā)，將這一過程進(jìn)一步簡化為三個環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)，“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.”這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點；第二環(huán)節(jié)，“用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”.在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數(shù)學(xué)活動，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)；最后一個環(huán)節(jié)，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義.

具體來講，數(shù)學(xué)模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數(shù)學(xué)模型舉例

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發(fā)現(xiàn)這類問題的一般規(guī)律，進(jìn)一步理解這類問題的本質(zhì)特征，從而建構(gòu)解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級上冊“軸對稱”中有這樣一個問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉(zhuǎn)化為“如何在一條直線上找到一點，使其到直線同一側(cè)的兩點距離之和最短”的問題，即將這個實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并建立起兩者之間的聯(lián)系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到其他的問題中呢？

模型應(yīng)用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時，都是根據(jù)圖形軸對稱的特質(zhì)，利用軸對稱的原理，得到問題中的數(shù)學(xué)模型.讓學(xué)生體會如何從變化的背景中提取出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數(shù)學(xué)模型，并將已知的做法應(yīng)用到這些問題中，從而解決問題，這對培養(yǎng)學(xué)生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學(xué)生，在元旦班級聯(lián)歡晚會上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對這個問題，我們可以做這樣的假設(shè)：第1個學(xué)生分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；第2個學(xué)生也分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學(xué)與其他39位同學(xué)握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時每兩人之間都握了兩次手進(jìn)行計算的.因此，按照題意，40個人每兩人之間握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學(xué)生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個點，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個點看做是上個問題中的5名學(xué)生；每構(gòu)成一條線段，即學(xué)生兩兩握手一次.而5個學(xué)生兩兩握手時，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個點共構(gòu)成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運火車，中途?？咳齻€車站，問有多少種不同的票價？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級6個班進(jìn)行班級拔河比賽，第一輪采用單循環(huán)賽，問共需進(jìn)行幾場比賽？

問題4：平面上有n個點，任三點不在一條直線上，那么過兩點畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個已知角的內(nèi)部，從頂點出發(fā)，引n-2條射線，共組成多少個角？

在上述的問題中，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些問題都是個體之間兩兩互相產(chǎn)生一次聯(lián)系，即我們可以把這些個體，如問題1中的每個火車站、問題2中的每個同學(xué)、問題3中的每個班級等，視作“握手問題”中的每個學(xué)生.問題互相之間產(chǎn)生的一次聯(lián)系，比如問題4中兩點之間畫出一條連線，問題5中每兩個射線組成一個角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學(xué)生建立“握手問題”的模型，為了加深對其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學(xué)們互相贈送卡片，我們班40名同學(xué)共需多少卡片？

問題2：一個n邊形的對角線共多少條？

問題1中，由于是互贈卡片，所以總數(shù)量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個頂點只與（n-3）個頂點能連成對角線，所以結(jié)果顯然為n（n-3）2.在這兩個問題中，發(fā)生的背景還是題目中個個體與其他個體發(fā)生一次聯(lián)系，但是學(xué)生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質(zhì)，才能解決問題.

對于中學(xué)生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的是要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數(shù)學(xué)建模的方法來培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力，并將學(xué)習(xí)的模型內(nèi)化為自己的能力，從而解決相關(guān)或者類似的問題.因此，教師在教學(xué)時，應(yīng)將自己定位為學(xué)生解決問題的引導(dǎo)者，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）endprint

一、引言

模型思想是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念.《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》同時指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，更要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.這正是新課程改革和數(shù)學(xué)教育的目的.

二、對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識

在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等，都是數(shù)學(xué)模型.中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型一般是指“針對特定的現(xiàn)實問題或具體實物對象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型”.

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課堂的實際情況出發(fā)，將這一過程進(jìn)一步簡化為三個環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)，“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.”這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點；第二環(huán)節(jié)，“用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”.在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數(shù)學(xué)活動，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)；最后一個環(huán)節(jié)，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義.

具體來講，數(shù)學(xué)模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數(shù)學(xué)模型舉例

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發(fā)現(xiàn)這類問題的一般規(guī)律，進(jìn)一步理解這類問題的本質(zhì)特征，從而建構(gòu)解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級上冊“軸對稱”中有這樣一個問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉(zhuǎn)化為“如何在一條直線上找到一點，使其到直線同一側(cè)的兩點距離之和最短”的問題，即將這個實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并建立起兩者之間的聯(lián)系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到其他的問題中呢？

模型應(yīng)用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時，都是根據(jù)圖形軸對稱的特質(zhì)，利用軸對稱的原理，得到問題中的數(shù)學(xué)模型.讓學(xué)生體會如何從變化的背景中提取出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數(shù)學(xué)模型，并將已知的做法應(yīng)用到這些問題中，從而解決問題，這對培養(yǎng)學(xué)生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學(xué)生，在元旦班級聯(lián)歡晚會上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對這個問題，我們可以做這樣的假設(shè)：第1個學(xué)生分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；第2個學(xué)生也分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學(xué)與其他39位同學(xué)握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時每兩人之間都握了兩次手進(jìn)行計算的.因此，按照題意，40個人每兩人之間握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學(xué)生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個點，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個點看做是上個問題中的5名學(xué)生；每構(gòu)成一條線段，即學(xué)生兩兩握手一次.而5個學(xué)生兩兩握手時，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個點共構(gòu)成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運火車，中途停靠三個車站，問有多少種不同的票價？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級6個班進(jìn)行班級拔河比賽，第一輪采用單循環(huán)賽，問共需進(jìn)行幾場比賽？

問題4：平面上有n個點，任三點不在一條直線上，那么過兩點畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個已知角的內(nèi)部，從頂點出發(fā)，引n-2條射線，共組成多少個角？

在上述的問題中，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些問題都是個體之間兩兩互相產(chǎn)生一次聯(lián)系，即我們可以把這些個體，如問題1中的每個火車站、問題2中的每個同學(xué)、問題3中的每個班級等，視作“握手問題”中的每個學(xué)生.問題互相之間產(chǎn)生的一次聯(lián)系，比如問題4中兩點之間畫出一條連線，問題5中每兩個射線組成一個角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學(xué)生建立“握手問題”的模型，為了加深對其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學(xué)們互相贈送卡片，我們班40名同學(xué)共需多少卡片？

問題2：一個n邊形的對角線共多少條？

問題1中，由于是互贈卡片，所以總數(shù)量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個頂點只與（n-3）個頂點能連成對角線，所以結(jié)果顯然為n（n-3）2.在這兩個問題中，發(fā)生的背景還是題目中個個體與其他個體發(fā)生一次聯(lián)系，但是學(xué)生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質(zhì)，才能解決問題.

對于中學(xué)生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的是要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數(shù)學(xué)建模的方法來培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力，并將學(xué)習(xí)的模型內(nèi)化為自己的能力，從而解決相關(guān)或者類似的問題.因此，教師在教學(xué)時，應(yīng)將自己定位為學(xué)生解決問題的引導(dǎo)者，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）endprint

一、引言

模型思想是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念.《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》同時指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，更要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.這正是新課程改革和數(shù)學(xué)教育的目的.

二、對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識

在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等，都是數(shù)學(xué)模型.中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型一般是指“針對特定的現(xiàn)實問題或具體實物對象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型”.

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課堂的實際情況出發(fā)，將這一過程進(jìn)一步簡化為三個環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)，“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.”這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點；第二環(huán)節(jié)，“用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”.在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數(shù)學(xué)活動，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)；最后一個環(huán)節(jié)，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義.

具體來講，數(shù)學(xué)模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數(shù)學(xué)模型舉例

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發(fā)現(xiàn)這類問題的一般規(guī)律，進(jìn)一步理解這類問題的本質(zhì)特征，從而建構(gòu)解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級上冊“軸對稱”中有這樣一個問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉(zhuǎn)化為“如何在一條直線上找到一點，使其到直線同一側(cè)的兩點距離之和最短”的問題，即將這個實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并建立起兩者之間的聯(lián)系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到其他的問題中呢？

模型應(yīng)用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時，都是根據(jù)圖形軸對稱的特質(zhì)，利用軸對稱的原理，得到問題中的數(shù)學(xué)模型.讓學(xué)生體會如何從變化的背景中提取出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數(shù)學(xué)模型，并將已知的做法應(yīng)用到這些問題中，從而解決問題，這對培養(yǎng)學(xué)生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學(xué)生，在元旦班級聯(lián)歡晚會上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對這個問題，我們可以做這樣的假設(shè)：第1個學(xué)生分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；第2個學(xué)生也分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學(xué)與其他39位同學(xué)握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時每兩人之間都握了兩次手進(jìn)行計算的.因此，按照題意，40個人每兩人之間握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學(xué)生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個點，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個點看做是上個問題中的5名學(xué)生；每構(gòu)成一條線段，即學(xué)生兩兩握手一次.而5個學(xué)生兩兩握手時，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個點共構(gòu)成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運火車，中途?？咳齻€車站，問有多少種不同的票價？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級6個班進(jìn)行班級拔河比賽，第一輪采用單循環(huán)賽，問共需進(jìn)行幾場比賽？

問題4：平面上有n個點，任三點不在一條直線上，那么過兩點畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個已知角的內(nèi)部，從頂點出發(fā)，引n-2條射線，共組成多少個角？

在上述的問題中，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些問題都是個體之間兩兩互相產(chǎn)生一次聯(lián)系，即我們可以把這些個體，如問題1中的每個火車站、問題2中的每個同學(xué)、問題3中的每個班級等，視作“握手問題”中的每個學(xué)生.問題互相之間產(chǎn)生的一次聯(lián)系，比如問題4中兩點之間畫出一條連線，問題5中每兩個射線組成一個角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學(xué)生建立“握手問題”的模型，為了加深對其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學(xué)們互相贈送卡片，我們班40名同學(xué)共需多少卡片？

問題2：一個n邊形的對角線共多少條？

問題1中，由于是互贈卡片，所以總數(shù)量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個頂點只與（n-3）個頂點能連成對角線，所以結(jié)果顯然為n（n-3）2.在這兩個問題中，發(fā)生的背景還是題目中個個體與其他個體發(fā)生一次聯(lián)系，但是學(xué)生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質(zhì)，才能解決問題.

對于中學(xué)生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的是要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數(shù)學(xué)建模的方法來培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力，并將學(xué)習(xí)的模型內(nèi)化為自己的能力，從而解決相關(guān)或者類似的問題.因此，教師在教學(xué)時，應(yīng)將自己定位為學(xué)生解決問題的引導(dǎo)者，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

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