一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局分岔及多解共存現(xiàn)象分析

張思進+尹磊磊+文桂林

基金項目：國家杰出青年科學(xué)基金資助項目（11225212）；國家自然科學(xué)基金資助項目（11372101，11002052）

作者簡介：張思進（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學(xué)教授，博士

通訊聯(lián)系人，Email：sj_zh@sina.com

（湖南大學(xué) 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局動力學(xué)特性，參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，構(gòu)造了周期軌道次諧Melnikov函數(shù).并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)詳細介紹了其計算方法和運用，數(shù)值結(jié)果驗證了構(gòu)造的次諧Melnikov函數(shù)的有效性.另外用改進的胞映射方法對這類系統(tǒng)的全局分岔和多解共存現(xiàn)象進行了分析，發(fā)現(xiàn)隨著外激勵力的變動吸引子數(shù)量發(fā)生變化，各個吸引域形態(tài)復(fù)雜且相互纏繞.

關(guān)鍵詞：擬Hamilton系統(tǒng)；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射

中圖分類號：O322

非光滑動力系統(tǒng)廣泛地存在于工程力學(xué)、工程機械、電子電路、生態(tài)種群等多個科學(xué)領(lǐng)域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統(tǒng)的相空間中的流不連續(xù)，這類系統(tǒng)常常有非常復(fù)雜的動力學(xué)行為，包括傳統(tǒng)上的倍周期分岔、鞍結(jié)點分岔，也會產(chǎn)生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動力學(xué)系統(tǒng)中，通過計算穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運用于計算擬Hamilton系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運動的參數(shù)閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計算了擬Hamilton系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，并得出了系統(tǒng)的Hopf分岔條件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對應(yīng)的Melnikov函數(shù)，并且得到了產(chǎn)生混沌時的系統(tǒng)參數(shù)閾值.由于非光滑擬Hamilton系統(tǒng)相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對非光滑動力學(xué)系統(tǒng)必須構(gòu)建新的Melnikov函數(shù)來分析系統(tǒng)的全局特性，目前國內(nèi)外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構(gòu)建了非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)，能很好地預(yù)測在碰撞面和外激勵共同作用下同宿軌道發(fā)生破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統(tǒng)，給出了有關(guān)極限環(huán)分岔以及Melnikov函數(shù)展開形式的結(jié)果.但是這些少量關(guān)于非光滑系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)計算方法的文章也只是針對同宿軌道而言的，并沒有考慮同時存在的同宿軌道內(nèi)部周期軌道族在碰撞面和激勵力共同作用下的多種非線性動力學(xué)現(xiàn)象.

湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2014年第10期張思進等：一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局分岔及多解共存現(xiàn)象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)的計算方法，得到同宿軌破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數(shù)形式，并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)作為算例，詳細介紹了其計算方法和運用，數(shù)值結(jié)果驗證了我們構(gòu)造的Melnikov函數(shù)的有效性.另外根據(jù)同宿軌道的Melnikov函數(shù)和次諧軌道Melnikov函數(shù)確定的區(qū)域?qū)⒄麄€參數(shù)范圍分為3個區(qū)域，并對其中運動形式較復(fù)雜的重疊區(qū)域繪制了全局分岔圖，運用改進的胞映射方法進行全局動力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多種吸引子共存現(xiàn)象，隨著激勵力變化吸引子數(shù)目形態(tài)發(fā)生變動，且各個吸引域形態(tài)復(fù)雜、相互纏繞.

1同宿軌道的Melnikov方法

2周期軌道次諧Melnikov函數(shù)及混沌分析

雖然針對非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)已給出，能很好地預(yù)測同宿軌道破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍，但是并不能解釋（在非混沌區(qū)域）同宿軌道內(nèi)部存在的一簇簇周期軌道在激勵力和碰撞面的共同作用下產(chǎn)生的各種非線性運動現(xiàn)象.本文嘗試給出非光滑碰振系統(tǒng)共振周期軌道次諧Melnikov函數(shù)，用以確定系統(tǒng)可能出現(xiàn)的次諧周期解參數(shù)范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統(tǒng)，系統(tǒng)的模型方程同上，具體表達式見（1）.在同宿軌道內(nèi)部圍繞中心有以參數(shù)為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對稱，本文分析x>0部分.

參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數(shù)的形式，也是分為兩個部分：類似光滑非線性動力系統(tǒng)部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數(shù)可以假定定義為：

2.1周期軌道次諧Melnikov函數(shù)運用算例

基金項目：國家杰出青年科學(xué)基金資助項目（11225212）；國家自然科學(xué)基金資助項目（11372101，11002052）

作者簡介：張思進（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學(xué)教授，博士

通訊聯(lián)系人，Email：sj_zh@sina.com

（湖南大學(xué) 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局動力學(xué)特性，參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，構(gòu)造了周期軌道次諧Melnikov函數(shù).并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)詳細介紹了其計算方法和運用，數(shù)值結(jié)果驗證了構(gòu)造的次諧Melnikov函數(shù)的有效性.另外用改進的胞映射方法對這類系統(tǒng)的全局分岔和多解共存現(xiàn)象進行了分析，發(fā)現(xiàn)隨著外激勵力的變動吸引子數(shù)量發(fā)生變化，各個吸引域形態(tài)復(fù)雜且相互纏繞.

關(guān)鍵詞：擬Hamilton系統(tǒng)；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射

中圖分類號：O322

非光滑動力系統(tǒng)廣泛地存在于工程力學(xué)、工程機械、電子電路、生態(tài)種群等多個科學(xué)領(lǐng)域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統(tǒng)的相空間中的流不連續(xù)，這類系統(tǒng)常常有非常復(fù)雜的動力學(xué)行為，包括傳統(tǒng)上的倍周期分岔、鞍結(jié)點分岔，也會產(chǎn)生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動力學(xué)系統(tǒng)中，通過計算穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運用于計算擬Hamilton系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運動的參數(shù)閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計算了擬Hamilton系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，并得出了系統(tǒng)的Hopf分岔條件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對應(yīng)的Melnikov函數(shù)，并且得到了產(chǎn)生混沌時的系統(tǒng)參數(shù)閾值.由于非光滑擬Hamilton系統(tǒng)相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對非光滑動力學(xué)系統(tǒng)必須構(gòu)建新的Melnikov函數(shù)來分析系統(tǒng)的全局特性，目前國內(nèi)外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構(gòu)建了非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)，能很好地預(yù)測在碰撞面和外激勵共同作用下同宿軌道發(fā)生破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統(tǒng)，給出了有關(guān)極限環(huán)分岔以及Melnikov函數(shù)展開形式的結(jié)果.但是這些少量關(guān)于非光滑系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)計算方法的文章也只是針對同宿軌道而言的，并沒有考慮同時存在的同宿軌道內(nèi)部周期軌道族在碰撞面和激勵力共同作用下的多種非線性動力學(xué)現(xiàn)象.

湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2014年第10期張思進等：一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局分岔及多解共存現(xiàn)象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)的計算方法，得到同宿軌破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數(shù)形式，并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)作為算例，詳細介紹了其計算方法和運用，數(shù)值結(jié)果驗證了我們構(gòu)造的Melnikov函數(shù)的有效性.另外根據(jù)同宿軌道的Melnikov函數(shù)和次諧軌道Melnikov函數(shù)確定的區(qū)域?qū)⒄麄€參數(shù)范圍分為3個區(qū)域，并對其中運動形式較復(fù)雜的重疊區(qū)域繪制了全局分岔圖，運用改進的胞映射方法進行全局動力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多種吸引子共存現(xiàn)象，隨著激勵力變化吸引子數(shù)目形態(tài)發(fā)生變動，且各個吸引域形態(tài)復(fù)雜、相互纏繞.

1同宿軌道的Melnikov方法

2周期軌道次諧Melnikov函數(shù)及混沌分析

雖然針對非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)已給出，能很好地預(yù)測同宿軌道破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍，但是并不能解釋（在非混沌區(qū)域）同宿軌道內(nèi)部存在的一簇簇周期軌道在激勵力和碰撞面的共同作用下產(chǎn)生的各種非線性運動現(xiàn)象.本文嘗試給出非光滑碰振系統(tǒng)共振周期軌道次諧Melnikov函數(shù)，用以確定系統(tǒng)可能出現(xiàn)的次諧周期解參數(shù)范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統(tǒng)，系統(tǒng)的模型方程同上，具體表達式見（1）.在同宿軌道內(nèi)部圍繞中心有以參數(shù)為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對稱，本文分析x>0部分.

參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數(shù)的形式，也是分為兩個部分：類似光滑非線性動力系統(tǒng)部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數(shù)可以假定定義為：

2.1周期軌道次諧Melnikov函數(shù)運用算例

基金項目：國家杰出青年科學(xué)基金資助項目（11225212）；國家自然科學(xué)基金資助項目（11372101，11002052）

作者簡介：張思進（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學(xué)教授，博士

通訊聯(lián)系人，Email：sj_zh@sina.com

（湖南大學(xué) 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局動力學(xué)特性，參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，構(gòu)造了周期軌道次諧Melnikov函數(shù).并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)詳細介紹了其計算方法和運用，數(shù)值結(jié)果驗證了構(gòu)造的次諧Melnikov函數(shù)的有效性.另外用改進的胞映射方法對這類系統(tǒng)的全局分岔和多解共存現(xiàn)象進行了分析，發(fā)現(xiàn)隨著外激勵力的變動吸引子數(shù)量發(fā)生變化，各個吸引域形態(tài)復(fù)雜且相互纏繞.

關(guān)鍵詞：擬Hamilton系統(tǒng)；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射

中圖分類號：O322

非光滑動力系統(tǒng)廣泛地存在于工程力學(xué)、工程機械、電子電路、生態(tài)種群等多個科學(xué)領(lǐng)域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統(tǒng)的相空間中的流不連續(xù)，這類系統(tǒng)常常有非常復(fù)雜的動力學(xué)行為，包括傳統(tǒng)上的倍周期分岔、鞍結(jié)點分岔，也會產(chǎn)生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動力學(xué)系統(tǒng)中，通過計算穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運用于計算擬Hamilton系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運動的參數(shù)閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計算了擬Hamilton系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，并得出了系統(tǒng)的Hopf分岔條件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對應(yīng)的Melnikov函數(shù)，并且得到了產(chǎn)生混沌時的系統(tǒng)參數(shù)閾值.由于非光滑擬Hamilton系統(tǒng)相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對非光滑動力學(xué)系統(tǒng)必須構(gòu)建新的Melnikov函數(shù)來分析系統(tǒng)的全局特性，目前國內(nèi)外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構(gòu)建了非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)，能很好地預(yù)測在碰撞面和外激勵共同作用下同宿軌道發(fā)生破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統(tǒng)，給出了有關(guān)極限環(huán)分岔以及Melnikov函數(shù)展開形式的結(jié)果.但是這些少量關(guān)于非光滑系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)計算方法的文章也只是針對同宿軌道而言的，并沒有考慮同時存在的同宿軌道內(nèi)部周期軌道族在碰撞面和激勵力共同作用下的多種非線性動力學(xué)現(xiàn)象.

湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2014年第10期張思進等：一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局分岔及多解共存現(xiàn)象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)的計算方法，得到同宿軌破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數(shù)形式，并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)作為算例，詳細介紹了其計算方法和運用，數(shù)值結(jié)果驗證了我們構(gòu)造的Melnikov函數(shù)的有效性.另外根據(jù)同宿軌道的Melnikov函數(shù)和次諧軌道Melnikov函數(shù)確定的區(qū)域?qū)⒄麄€參數(shù)范圍分為3個區(qū)域，并對其中運動形式較復(fù)雜的重疊區(qū)域繪制了全局分岔圖，運用改進的胞映射方法進行全局動力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多種吸引子共存現(xiàn)象，隨著激勵力變化吸引子數(shù)目形態(tài)發(fā)生變動，且各個吸引域形態(tài)復(fù)雜、相互纏繞.

1同宿軌道的Melnikov方法

2周期軌道次諧Melnikov函數(shù)及混沌分析

雖然針對非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)已給出，能很好地預(yù)測同宿軌道破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍，但是并不能解釋（在非混沌區(qū)域）同宿軌道內(nèi)部存在的一簇簇周期軌道在激勵力和碰撞面的共同作用下產(chǎn)生的各種非線性運動現(xiàn)象.本文嘗試給出非光滑碰振系統(tǒng)共振周期軌道次諧Melnikov函數(shù)，用以確定系統(tǒng)可能出現(xiàn)的次諧周期解參數(shù)范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統(tǒng)，系統(tǒng)的模型方程同上，具體表達式見（1）.在同宿軌道內(nèi)部圍繞中心有以參數(shù)為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對稱，本文分析x>0部分.

參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數(shù)的形式，也是分為兩個部分：類似光滑非線性動力系統(tǒng)部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數(shù)可以假定定義為：

2.1周期軌道次諧Melnikov函數(shù)運用算例