馬爾可夫調制的碳排放期權價格隨機模型研究

劉德志+張偉

摘 要：利用幾何布朗運動和隨機微分方程理論，確立了馬爾可夫調制的碳排放期權價格隨機模型，同時給出了風險中性模型。在此基礎上，得到測量方程和模型的離散形式，最后再利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法得到相應的參數(shù)估計。

關鍵詞：馬爾可夫調制 碳排放 期權 隨機

中圖分類號：F740.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

隨著經濟的發(fā)展，大量二氧化碳的排放引起了國際社會的高度關注，減少二氧化碳的排放成為各國面臨極大的挑戰(zhàn)，其中碳排放交易機制是《京都議定書》規(guī)定的有效實現(xiàn)全球減排的三種靈活機制之一， 碳排放交易機制的建立對于減少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均減排成本，傳導減排政策發(fā)揮著重要作用。在2009年哥本哈根會議召開之前，我國作為負責任的大國，首次明確提出了碳減排目標，為了在2020年之前實現(xiàn)這些目標，我國必須加快推進碳排放交易機制的建立。

由于碳排放期權價格的重要性，因此引起了許多專家學者的關注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分別指出碳排放交易市場已經在全球范圍內建立，以及交易市場對國際市場的現(xiàn)金流產生了很大的影響。Dixit，et al和Trigeorgis給出了相應的理論分析和數(shù)值算例，在此基礎上，Insley給出了基于幾何布朗運動的隨機模型，奠定了隨機模型基礎。馬爾可夫調制作為一個非常重要的研究課題，被廣泛的應用于經濟、工業(yè)、工程等狀態(tài)突變的模型中，由此解決了隨機模型受到國際政策、戰(zhàn)爭等突變因素的難題?；谏鲜龀晒?，該文立足于馬爾可夫調制的隨機模型，由此來研究碳排放期權價格的確立方法。

1 隨機模型

設是具有自然流的完備概率空間，令是定義在此概率空間上的布郎運動。

令為一右連續(xù)的馬氏鏈，取值于有限空間。生成元為 ：

其中若表示從狀態(tài)轉到狀態(tài)的概率。

假設與布朗運動是相互獨立的。易知的每一個樣本軌道是右連續(xù)的階梯函數(shù)，且在的任何一個有限區(qū)間上至多含有有限多個跳躍點。

設碳排放的價格是一個非平穩(wěn)的隨機過程，且被約束為一個幾何布朗運動，考慮如下的隨機微分系統(tǒng)：

（1）

其中表示時刻排放一噸的價格，表示漂移率，表示波動率，，且。由于碳排放價格為幾何布朗運動，將進一步轉化為，和應用引理得到

（2）

且方程（2）的風險中性形式為

（3）

其中代表風險溢價，。

2 主要方法和結論

設期權價格為，即未來排放一噸的價格，使得期貨合約的當前值等于零，是在風險中性情況下的現(xiàn)貨價格。進一步利用對數(shù)正態(tài)分布的性質，得到

（4）

對上式兩邊同時去對數(shù)得

（5）

下面進一步利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法去估計上式中的參數(shù)。因為可以看到期貨報價，利用（4）式可以得到測量方程，因此不可觀測的現(xiàn)貨價格就是狀態(tài)變量，利用Harvey的理論，得到的測量方程為

（6）

其中是一個的矩陣，表示每天可以使用的期貨價格的個數(shù)，和表示狀態(tài)變量的個數(shù)，則有；是一個的矩陣，形式如下

（7）

其中是最接近期貨合約到期的時間。由于剩余時間每一天都發(fā)生變化直到期貨合約到期為止，因此在向量隨著時間變化的情況下，上式就是一個卡爾曼濾波的形式；是一系列非相關的誤差矩陣，且設均值為0，協(xié)方差矩陣為即：

（8）

選取，其中表示單位矩陣，表示馬氏鏈取值狀態(tài)。

驗證測量方程為卡爾曼濾波形式后，為使用遞推算法，必須將（2）式離散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理論，得到

（10）

其中。因此，再利用相關數(shù)據(jù)和最大似然遞推算法就可以估計出來的值。

3 結語

在這篇文章中，我們利用隨機微分方程和幾何布朗運動理論建立了碳排放期權價格的隨機模型，并分析了此模型的風險中性和離散形式。在此基礎上，驗證了卡爾曼濾波的條件，從而應用卡爾曼濾波最大似然遞推算法對隨機模型的參數(shù)進行估計。由于該文在隨機模型中添加了馬兒可夫鏈，使得此模型系統(tǒng)對現(xiàn)實突變（狀態(tài)跳躍）有更好的效果。此理論部分的建立，為后續(xù)此系統(tǒng)的實證部分奠定了堅實的基礎。

參考文獻

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint

摘 要：利用幾何布朗運動和隨機微分方程理論，確立了馬爾可夫調制的碳排放期權價格隨機模型，同時給出了風險中性模型。在此基礎上，得到測量方程和模型的離散形式，最后再利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法得到相應的參數(shù)估計。

關鍵詞：馬爾可夫調制 碳排放 期權 隨機

中圖分類號：F740.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

隨著經濟的發(fā)展，大量二氧化碳的排放引起了國際社會的高度關注，減少二氧化碳的排放成為各國面臨極大的挑戰(zhàn)，其中碳排放交易機制是《京都議定書》規(guī)定的有效實現(xiàn)全球減排的三種靈活機制之一， 碳排放交易機制的建立對于減少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均減排成本，傳導減排政策發(fā)揮著重要作用。在2009年哥本哈根會議召開之前，我國作為負責任的大國，首次明確提出了碳減排目標，為了在2020年之前實現(xiàn)這些目標，我國必須加快推進碳排放交易機制的建立。

由于碳排放期權價格的重要性，因此引起了許多專家學者的關注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分別指出碳排放交易市場已經在全球范圍內建立，以及交易市場對國際市場的現(xiàn)金流產生了很大的影響。Dixit，et al和Trigeorgis給出了相應的理論分析和數(shù)值算例，在此基礎上，Insley給出了基于幾何布朗運動的隨機模型，奠定了隨機模型基礎。馬爾可夫調制作為一個非常重要的研究課題，被廣泛的應用于經濟、工業(yè)、工程等狀態(tài)突變的模型中，由此解決了隨機模型受到國際政策、戰(zhàn)爭等突變因素的難題?；谏鲜龀晒撐牧⒆阌隈R爾可夫調制的隨機模型，由此來研究碳排放期權價格的確立方法。

1 隨機模型

設是具有自然流的完備概率空間，令是定義在此概率空間上的布郎運動。

令為一右連續(xù)的馬氏鏈，取值于有限空間。生成元為 ：

其中若表示從狀態(tài)轉到狀態(tài)的概率。

假設與布朗運動是相互獨立的。易知的每一個樣本軌道是右連續(xù)的階梯函數(shù)，且在的任何一個有限區(qū)間上至多含有有限多個跳躍點。

設碳排放的價格是一個非平穩(wěn)的隨機過程，且被約束為一個幾何布朗運動，考慮如下的隨機微分系統(tǒng)：

（1）

其中表示時刻排放一噸的價格，表示漂移率，表示波動率，，且。由于碳排放價格為幾何布朗運動，將進一步轉化為，和應用引理得到

（2）

且方程（2）的風險中性形式為

（3）

其中代表風險溢價，。

2 主要方法和結論

設期權價格為，即未來排放一噸的價格，使得期貨合約的當前值等于零，是在風險中性情況下的現(xiàn)貨價格。進一步利用對數(shù)正態(tài)分布的性質，得到

（4）

對上式兩邊同時去對數(shù)得

（5）

下面進一步利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法去估計上式中的參數(shù)。因為可以看到期貨報價，利用（4）式可以得到測量方程，因此不可觀測的現(xiàn)貨價格就是狀態(tài)變量，利用Harvey的理論，得到的測量方程為

（6）

其中是一個的矩陣，表示每天可以使用的期貨價格的個數(shù)，和表示狀態(tài)變量的個數(shù)，則有；是一個的矩陣，形式如下

（7）

其中是最接近期貨合約到期的時間。由于剩余時間每一天都發(fā)生變化直到期貨合約到期為止，因此在向量隨著時間變化的情況下，上式就是一個卡爾曼濾波的形式；是一系列非相關的誤差矩陣，且設均值為0，協(xié)方差矩陣為即：

（8）

選取，其中表示單位矩陣，表示馬氏鏈取值狀態(tài)。

驗證測量方程為卡爾曼濾波形式后，為使用遞推算法，必須將（2）式離散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理論，得到

（10）

其中。因此，再利用相關數(shù)據(jù)和最大似然遞推算法就可以估計出來的值。

3 結語

在這篇文章中，我們利用隨機微分方程和幾何布朗運動理論建立了碳排放期權價格的隨機模型，并分析了此模型的風險中性和離散形式。在此基礎上，驗證了卡爾曼濾波的條件，從而應用卡爾曼濾波最大似然遞推算法對隨機模型的參數(shù)進行估計。由于該文在隨機模型中添加了馬兒可夫鏈，使得此模型系統(tǒng)對現(xiàn)實突變（狀態(tài)跳躍）有更好的效果。此理論部分的建立，為后續(xù)此系統(tǒng)的實證部分奠定了堅實的基礎。

參考文獻

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint

摘 要：利用幾何布朗運動和隨機微分方程理論，確立了馬爾可夫調制的碳排放期權價格隨機模型，同時給出了風險中性模型。在此基礎上，得到測量方程和模型的離散形式，最后再利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法得到相應的參數(shù)估計。

關鍵詞：馬爾可夫調制 碳排放 期權 隨機

中圖分類號：F740.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0194-02

隨著經濟的發(fā)展，大量二氧化碳的排放引起了國際社會的高度關注，減少二氧化碳的排放成為各國面臨極大的挑戰(zhàn)，其中碳排放交易機制是《京都議定書》規(guī)定的有效實現(xiàn)全球減排的三種靈活機制之一， 碳排放交易機制的建立對于減少二氧化碳排放，降低全球二氧化碳的平均減排成本，傳導減排政策發(fā)揮著重要作用。在2009年哥本哈根會議召開之前，我國作為負責任的大國，首次明確提出了碳減排目標，為了在2020年之前實現(xiàn)這些目標，我國必須加快推進碳排放交易機制的建立。

由于碳排放期權價格的重要性，因此引起了許多專家學者的關注和研究，Buchner，et al和Laurikka，et al分別指出碳排放交易市場已經在全球范圍內建立，以及交易市場對國際市場的現(xiàn)金流產生了很大的影響。Dixit，et al和Trigeorgis給出了相應的理論分析和數(shù)值算例，在此基礎上，Insley給出了基于幾何布朗運動的隨機模型，奠定了隨機模型基礎。馬爾可夫調制作為一個非常重要的研究課題，被廣泛的應用于經濟、工業(yè)、工程等狀態(tài)突變的模型中，由此解決了隨機模型受到國際政策、戰(zhàn)爭等突變因素的難題?；谏鲜龀晒?，該文立足于馬爾可夫調制的隨機模型，由此來研究碳排放期權價格的確立方法。

1 隨機模型

設是具有自然流的完備概率空間，令是定義在此概率空間上的布郎運動。

令為一右連續(xù)的馬氏鏈，取值于有限空間。生成元為 ：

其中若表示從狀態(tài)轉到狀態(tài)的概率。

假設與布朗運動是相互獨立的。易知的每一個樣本軌道是右連續(xù)的階梯函數(shù)，且在的任何一個有限區(qū)間上至多含有有限多個跳躍點。

設碳排放的價格是一個非平穩(wěn)的隨機過程，且被約束為一個幾何布朗運動，考慮如下的隨機微分系統(tǒng)：

（1）

其中表示時刻排放一噸的價格，表示漂移率，表示波動率，，且。由于碳排放價格為幾何布朗運動，將進一步轉化為，和應用引理得到

（2）

且方程（2）的風險中性形式為

（3）

其中代表風險溢價，。

2 主要方法和結論

設期權價格為，即未來排放一噸的價格，使得期貨合約的當前值等于零，是在風險中性情況下的現(xiàn)貨價格。進一步利用對數(shù)正態(tài)分布的性質，得到

（4）

對上式兩邊同時去對數(shù)得

（5）

下面進一步利用卡爾曼濾波最大似然遞推算法去估計上式中的參數(shù)。因為可以看到期貨報價，利用（4）式可以得到測量方程，因此不可觀測的現(xiàn)貨價格就是狀態(tài)變量，利用Harvey的理論，得到的測量方程為

（6）

其中是一個的矩陣，表示每天可以使用的期貨價格的個數(shù)，和表示狀態(tài)變量的個數(shù)，則有；是一個的矩陣，形式如下

（7）

其中是最接近期貨合約到期的時間。由于剩余時間每一天都發(fā)生變化直到期貨合約到期為止，因此在向量隨著時間變化的情況下，上式就是一個卡爾曼濾波的形式；是一系列非相關的誤差矩陣，且設均值為0，協(xié)方差矩陣為即：

（8）

選取，其中表示單位矩陣，表示馬氏鏈取值狀態(tài)。

驗證測量方程為卡爾曼濾波形式后，為使用遞推算法，必須將（2）式離散化得到

（9）

且利用Harvey[4]的理論，得到

（10）

其中。因此，再利用相關數(shù)據(jù)和最大似然遞推算法就可以估計出來的值。

3 結語

在這篇文章中，我們利用隨機微分方程和幾何布朗運動理論建立了碳排放期權價格的隨機模型，并分析了此模型的風險中性和離散形式。在此基礎上，驗證了卡爾曼濾波的條件，從而應用卡爾曼濾波最大似然遞推算法對隨機模型的參數(shù)進行估計。由于該文在隨機模型中添加了馬兒可夫鏈，使得此模型系統(tǒng)對現(xiàn)實突變（狀態(tài)跳躍）有更好的效果。此理論部分的建立，為后續(xù)此系統(tǒng)的實證部分奠定了堅實的基礎。

參考文獻

[1] B?hringer C.，Hffman T.，Lange A.，et al. Assessing Emission Regulation in Europe：An Interactive Simulation Approach[J].The Energy Journal，2005，26（4）：1-21.

[2] Buchner B.，Carraro C.，Ellerman A.D.The Allocation of European Union Allowances： Lessons，Unifying Themes and General Principles[J].Fondazione Eni Enrico Mattei，Nota di Lavoro，2006，116.

[3] Dixit A.K.and Pindyck R. S.. Investment under uncertainty. Princeton University Press， 1994.

[4] Harvey A.C.Forecasting， structural time series models and the Kalman-filter[M].Cambridge University Press，1990.

[5] Insley M.On the Option to Invest in Pollution Control under a Regime of Tradable Emissions Allowances[J].Canadian Journal of Economics，2003，36（4）：860-883.

[6] Laurikka H.，Koljonen T.Emissions trading and investment decisions in the power sector：a case study in Findland[J].Energy Policy，2006，34：1063-1074.

[7] Sarkis J.，Tamarkin M..Real Options Analysis for “Green Trading：The Case of Greenhouse Gases.The Engineering Economist，2005，50：273-294.

[8] Trigeorgis L..Real options - Managerial flexibility and strategy inresource allocation[M]. The MIT Press，1996.endprint