三維位場(chǎng)正則化向下延拓成像技術(shù)

陳桂廷+羅強(qiáng)+周宇軒+趙強(qiáng)

摘 要：該文采用正則化方法通過(guò)頻率域響應(yīng)對(duì)位場(chǎng)進(jìn)行向下延拓，運(yùn)用牛頓切線法并引入多條件約束對(duì)正則化參數(shù)進(jìn)行了合理的選取，消除了向下延拓所固有的不穩(wěn)定性。在二維剖面和三維空間的延拓都取得了較為理想的效果。

關(guān)鍵詞：向下延拓 不適定問(wèn)題 正則化頻率域

中圖分類號(hào)：P6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位場(chǎng)的延拓已經(jīng)有多種成熟的方法，能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出。向上延拓由于不涉及到場(chǎng)源，可以達(dá)到良好的效果；但向下延拓是由實(shí)測(cè)位場(chǎng)向場(chǎng)源的延拓，是一個(gè)典型的不適定問(wèn)題，計(jì)算的本身存在不穩(wěn)定性。通常的下延方法在下延至場(chǎng)源體附近區(qū)域位場(chǎng)將發(fā)生強(qiáng)烈的震蕩效應(yīng)，國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者為解決這一問(wèn)題作了大量的探索。主要解決方向都是構(gòu)建低通濾波器。實(shí)際上相對(duì)于正則化方法，其他方法下延深度均較淺，到達(dá)場(chǎng)源時(shí)無(wú)法消除高頻振蕩。相較而言正則化方法是最穩(wěn)定的算法之一，也是理論上能過(guò)源的延拓方法，可以解決反演中解的不唯一性和不穩(wěn)定性。該文基于Fourior變換在頻率域?qū)φ齽t化因子的選擇，參數(shù)的控制及三維下延做出了一定探討。把這種方法應(yīng)用于理論模型和實(shí)際數(shù)據(jù)的向下延拓中都取得了理想的結(jié)果。

1 向下延拓的不適定性

我們知道，在場(chǎng)源區(qū)域S外位場(chǎng)u滿足Laplace方程[1]：

（1）

其中f為觀測(cè)平面的實(shí)測(cè)值，位場(chǎng)函數(shù)u為調(diào)和函數(shù)，由此構(gòu)建成為Dirchlet問(wèn)題。

解方程可得上半平面的延拓位場(chǎng)Poisson公式：

（2）

坐標(biāo)取向下為正。其中為觀測(cè)平面位場(chǎng)的觀測(cè)值，為向上延拓z1以后平面位場(chǎng)值。轉(zhuǎn)化為褶積表達(dá)式：

× （3）

將式（3）各項(xiàng)做二維Fourior變換得到波數(shù)域表達(dá)式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v為空間頻率，z為常數(shù)。故向上延拓頻率因子為[3]：

可以將向下延拓看作向上延拓的反問(wèn)題，于是把向上延拓因子的倒數(shù)作為向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

顯然向下延拓因子是一個(gè)高通濾波器，將對(duì)高頻成分進(jìn)行放大，造成延拓位場(chǎng)劇烈震蕩，使得延拓結(jié)果發(fā)散，淹沒(méi)有效信息。構(gòu)成了一個(gè)不適定問(wèn)題。

2 正則化算法

為了能得到穩(wěn)定解的向下延拓因子我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化第一類Fredholm線性積分[4]：

（8）

（9）

或第二類Fredhol線性積分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘數(shù)法，將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值[4～5]：

（12）

其中為正則化參數(shù)，使用Fourior變換和Euler方程[4]轉(zhuǎn)化到頻率域求的解方程組（7）、（8），歷史[5]上得出了不同類型的濾波器，通過(guò)試驗(yàn)效果校對(duì)本文采用陳生昌等人提出依據(jù)廣義逆運(yùn)算得出的向下延拓濾波器[6]：

（13）

它的頻率特征如圖1所示。

可以看出它是一個(gè)帶通濾波器，不同取值有不同通帶的頻率響應(yīng)，隨增大通帶向低頻方向移動(dòng)。同時(shí)它也是一個(gè)與有關(guān)的函數(shù)，頻帶將隨著深度變化動(dòng)態(tài)對(duì)下延信號(hào)進(jìn)行動(dòng)態(tài)壓制。達(dá)到消除向下延拓所存在的高頻振蕩問(wèn)題。

圖2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力異常，圖3為利用正則化延拓因子延拓5 m的二維重力異常。

3 正則化參數(shù)的選取

正則化參數(shù)的選擇將直接影響濾波器的通帶范圍，當(dāng)取的很小時(shí)濾波器近似于原始的高通向下延拓因子，會(huì)造成很強(qiáng)的高頻振蕩，淹沒(méi)有用信息。取值偏大時(shí)是一個(gè)低通濾波器，造成壓制過(guò)當(dāng)。按單個(gè)場(chǎng)源的模型，做出參數(shù)不同取值延拓位場(chǎng)最大值（場(chǎng)源位置）變化曲線如圖4所示?？梢钥闯鰠?shù)還控制了場(chǎng)源反演深度。

由于向下延拓信號(hào)由于涉及到場(chǎng)源等問(wèn)題，對(duì)于參數(shù)的選擇往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)并與實(shí)際情況相互印證。該文在前人的基礎(chǔ)上再引入多條件約束通過(guò)牛頓切線法確定的取值范圍。

約束條件：

（1）延拓在一定范圍內(nèi)位場(chǎng)值是增加的；

（2）延拓位場(chǎng)極值變化是收斂的；

（3）

第一個(gè)條件用于約束取過(guò)大所造成的壓制過(guò)當(dāng)，導(dǎo)致等值線過(guò)早閉合；第二個(gè)條件用于約束取過(guò)小造成延拓過(guò)源等值線不閉合的尷尬；第三個(gè)條件使延拓曲線形態(tài)趨勢(shì)與地表觀測(cè)曲線一致性最佳。

4 三維位場(chǎng)延拓

Step1：對(duì)觀測(cè)平面數(shù)據(jù)進(jìn)行二維Fourier變換轉(zhuǎn)換到波數(shù)域；

Step2：用同樣的濾波器構(gòu)造三維正則化延拓因子；

Step3：用三維正則化因子對(duì)波數(shù)域位場(chǎng)值進(jìn)行延拓；

Step4：Fourier反變換得到延拓后的位場(chǎng)值；

Step5：依次取不同的Z值重復(fù)上述步驟。

5 球體重力場(chǎng)數(shù)值模擬

為驗(yàn)證算法準(zhǔn)確性，本文取單個(gè)球體源的重力位場(chǎng)作為正演模型。球體參數(shù)如表1所示。

正演公式：

處理得z=0平面的重力異常，取y=0測(cè)線剖面圖，并加上微弱的隨機(jī)高斯噪聲合成，比較符合實(shí)際工作中數(shù)據(jù)采集精度，用于驗(yàn)證正則化算法對(duì)于不適定問(wèn)題的響應(yīng)。為了體現(xiàn)橫向上的變化并克服Fourier變換由于采樣不足假頻現(xiàn)象，取剖面長(zhǎng)度盡量長(zhǎng)，本文取剖面長(zhǎng)度為埋深的6倍，點(diǎn)距為2m。利用三個(gè)約束條件，在保證第一、二條件下利用牛頓迭代法求取最佳正則化參數(shù)=0.0151。

圖5是向下延拓y=0剖面的等值線圖。最大下延深度為40 m。為2倍場(chǎng)源深度，由圖?？梢?jiàn)等值線在場(chǎng)源附近閉合，并有很好的對(duì)稱性。閉合中心深度在22 m左右，和真實(shí)場(chǎng)源中心很接近。此外，在兩側(cè)有一些負(fù)異常震蕩現(xiàn)象，這是由于對(duì)高頻信息的壓制不絕對(duì)造成，在邊界還出現(xiàn)了Fourier變換造成的“八”字形Gibbs效應(yīng)，這些都驗(yàn)證了本算法在一定精度下的正確性。

按照三維延拓步驟，構(gòu)建波數(shù)域正則化因子對(duì)單球體場(chǎng)源正演平面數(shù)據(jù)進(jìn)行三維下延[7]，做切片如圖6所示。

由圖7可見(jiàn)，三維情況與二維反演十分吻合，反演所得的場(chǎng)源位置也在22 m左右，隨深度增加下延平面最大值變化趨勢(shì)為增大→極值→減小，并且在下方成功收斂。

6 結(jié)論

（1）正則化三維向下延拓方法可以很好的壓制高頻振蕩，過(guò)場(chǎng)源位場(chǎng)不發(fā)散，有很好的穩(wěn)定性。（2）利用二維快速Fourier變換將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為波數(shù)域結(jié)合廣義正則化原理可以避免大型矩陣運(yùn)算，提高計(jì)算效率。（3）正則化濾波器是一個(gè)基于深度變化的帶通濾波器，在不同深度對(duì)不同頻率信號(hào)有不同的壓制程度，是一種動(dòng)態(tài)的濾波器，這樣即能保證數(shù)據(jù)過(guò)場(chǎng)源不產(chǎn)生震蕩，又能保證延拓深度。（4）理論上只要選取恰當(dāng)可以延拓至任意深度，并保證等值線閉合。（5）參數(shù)能控制反演場(chǎng)源的深度，利用多條件約束可以得到可靠的參數(shù)。

參考文獻(xiàn)

[1] 王邦華，王理.重磁位場(chǎng)的正則化向下延拓[J].物探化探計(jì)算技術(shù)，1998，20（1）.

[2] 劉彩云.頻率域位場(chǎng)延拓表達(dá)式的一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)：自科版，2013，10（28）.

[3] 李中芹.基于深度變化的磁場(chǎng)正則化下延方法研究[D].中國(guó)石油大學(xué)，2011.

[4] 欒文貴.場(chǎng)位解析延拓的穩(wěn)定化算法[J].地球物理學(xué)報(bào)，1983（3）：263-274.

[5] 梁錦文.位場(chǎng)向下延拓的正則化方法[J].地球物理學(xué)報(bào)，1989，32（5）.

[6] 陳生昌，肖鵬飛.位場(chǎng)向下延拓的波數(shù)域廣義逆算法[J].地球物理學(xué)報(bào)，2007，50（6）.

[7] 劉銀萍，王祝文，杜曉娟，等.基于Extrapolation Tikhonov正則化算法的重力數(shù)據(jù)三維約束反演[J].地球物理學(xué)報(bào)，2013，56（5）.endprint

摘 要：該文采用正則化方法通過(guò)頻率域響應(yīng)對(duì)位場(chǎng)進(jìn)行向下延拓，運(yùn)用牛頓切線法并引入多條件約束對(duì)正則化參數(shù)進(jìn)行了合理的選取，消除了向下延拓所固有的不穩(wěn)定性。在二維剖面和三維空間的延拓都取得了較為理想的效果。

關(guān)鍵詞：向下延拓 不適定問(wèn)題 正則化頻率域

中圖分類號(hào)：P6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位場(chǎng)的延拓已經(jīng)有多種成熟的方法，能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出。向上延拓由于不涉及到場(chǎng)源，可以達(dá)到良好的效果；但向下延拓是由實(shí)測(cè)位場(chǎng)向場(chǎng)源的延拓，是一個(gè)典型的不適定問(wèn)題，計(jì)算的本身存在不穩(wěn)定性。通常的下延方法在下延至場(chǎng)源體附近區(qū)域位場(chǎng)將發(fā)生強(qiáng)烈的震蕩效應(yīng)，國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者為解決這一問(wèn)題作了大量的探索。主要解決方向都是構(gòu)建低通濾波器。實(shí)際上相對(duì)于正則化方法，其他方法下延深度均較淺，到達(dá)場(chǎng)源時(shí)無(wú)法消除高頻振蕩。相較而言正則化方法是最穩(wěn)定的算法之一，也是理論上能過(guò)源的延拓方法，可以解決反演中解的不唯一性和不穩(wěn)定性。該文基于Fourior變換在頻率域?qū)φ齽t化因子的選擇，參數(shù)的控制及三維下延做出了一定探討。把這種方法應(yīng)用于理論模型和實(shí)際數(shù)據(jù)的向下延拓中都取得了理想的結(jié)果。

1 向下延拓的不適定性

我們知道，在場(chǎng)源區(qū)域S外位場(chǎng)u滿足Laplace方程[1]：

（1）

其中f為觀測(cè)平面的實(shí)測(cè)值，位場(chǎng)函數(shù)u為調(diào)和函數(shù)，由此構(gòu)建成為Dirchlet問(wèn)題。

解方程可得上半平面的延拓位場(chǎng)Poisson公式：

（2）

坐標(biāo)取向下為正。其中為觀測(cè)平面位場(chǎng)的觀測(cè)值，為向上延拓z1以后平面位場(chǎng)值。轉(zhuǎn)化為褶積表達(dá)式：

× （3）

將式（3）各項(xiàng)做二維Fourior變換得到波數(shù)域表達(dá)式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v為空間頻率，z為常數(shù)。故向上延拓頻率因子為[3]：

可以將向下延拓看作向上延拓的反問(wèn)題，于是把向上延拓因子的倒數(shù)作為向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

顯然向下延拓因子是一個(gè)高通濾波器，將對(duì)高頻成分進(jìn)行放大，造成延拓位場(chǎng)劇烈震蕩，使得延拓結(jié)果發(fā)散，淹沒(méi)有效信息。構(gòu)成了一個(gè)不適定問(wèn)題。

2 正則化算法

為了能得到穩(wěn)定解的向下延拓因子我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化第一類Fredholm線性積分[4]：

（8）

（9）

或第二類Fredhol線性積分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘數(shù)法，將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值[4～5]：

（12）

其中為正則化參數(shù)，使用Fourior變換和Euler方程[4]轉(zhuǎn)化到頻率域求的解方程組（7）、（8），歷史[5]上得出了不同類型的濾波器，通過(guò)試驗(yàn)效果校對(duì)本文采用陳生昌等人提出依據(jù)廣義逆運(yùn)算得出的向下延拓濾波器[6]：

（13）

它的頻率特征如圖1所示。

可以看出它是一個(gè)帶通濾波器，不同取值有不同通帶的頻率響應(yīng)，隨增大通帶向低頻方向移動(dòng)。同時(shí)它也是一個(gè)與有關(guān)的函數(shù)，頻帶將隨著深度變化動(dòng)態(tài)對(duì)下延信號(hào)進(jìn)行動(dòng)態(tài)壓制。達(dá)到消除向下延拓所存在的高頻振蕩問(wèn)題。

圖2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力異常，圖3為利用正則化延拓因子延拓5 m的二維重力異常。

3 正則化參數(shù)的選取

正則化參數(shù)的選擇將直接影響濾波器的通帶范圍，當(dāng)取的很小時(shí)濾波器近似于原始的高通向下延拓因子，會(huì)造成很強(qiáng)的高頻振蕩，淹沒(méi)有用信息。取值偏大時(shí)是一個(gè)低通濾波器，造成壓制過(guò)當(dāng)。按單個(gè)場(chǎng)源的模型，做出參數(shù)不同取值延拓位場(chǎng)最大值（場(chǎng)源位置）變化曲線如圖4所示?？梢钥闯鰠?shù)還控制了場(chǎng)源反演深度。

由于向下延拓信號(hào)由于涉及到場(chǎng)源等問(wèn)題，對(duì)于參數(shù)的選擇往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)并與實(shí)際情況相互印證。該文在前人的基礎(chǔ)上再引入多條件約束通過(guò)牛頓切線法確定的取值范圍。

約束條件：

（1）延拓在一定范圍內(nèi)位場(chǎng)值是增加的；

（2）延拓位場(chǎng)極值變化是收斂的；

（3）

第一個(gè)條件用于約束取過(guò)大所造成的壓制過(guò)當(dāng)，導(dǎo)致等值線過(guò)早閉合；第二個(gè)條件用于約束取過(guò)小造成延拓過(guò)源等值線不閉合的尷尬；第三個(gè)條件使延拓曲線形態(tài)趨勢(shì)與地表觀測(cè)曲線一致性最佳。

4 三維位場(chǎng)延拓

Step1：對(duì)觀測(cè)平面數(shù)據(jù)進(jìn)行二維Fourier變換轉(zhuǎn)換到波數(shù)域；

Step2：用同樣的濾波器構(gòu)造三維正則化延拓因子；

Step3：用三維正則化因子對(duì)波數(shù)域位場(chǎng)值進(jìn)行延拓；

Step4：Fourier反變換得到延拓后的位場(chǎng)值；

Step5：依次取不同的Z值重復(fù)上述步驟。

5 球體重力場(chǎng)數(shù)值模擬

為驗(yàn)證算法準(zhǔn)確性，本文取單個(gè)球體源的重力位場(chǎng)作為正演模型。球體參數(shù)如表1所示。

正演公式：

處理得z=0平面的重力異常，取y=0測(cè)線剖面圖，并加上微弱的隨機(jī)高斯噪聲合成，比較符合實(shí)際工作中數(shù)據(jù)采集精度，用于驗(yàn)證正則化算法對(duì)于不適定問(wèn)題的響應(yīng)。為了體現(xiàn)橫向上的變化并克服Fourier變換由于采樣不足假頻現(xiàn)象，取剖面長(zhǎng)度盡量長(zhǎng)，本文取剖面長(zhǎng)度為埋深的6倍，點(diǎn)距為2m。利用三個(gè)約束條件，在保證第一、二條件下利用牛頓迭代法求取最佳正則化參數(shù)=0.0151。

圖5是向下延拓y=0剖面的等值線圖。最大下延深度為40 m。為2倍場(chǎng)源深度，由圖?？梢?jiàn)等值線在場(chǎng)源附近閉合，并有很好的對(duì)稱性。閉合中心深度在22 m左右，和真實(shí)場(chǎng)源中心很接近。此外，在兩側(cè)有一些負(fù)異常震蕩現(xiàn)象，這是由于對(duì)高頻信息的壓制不絕對(duì)造成，在邊界還出現(xiàn)了Fourier變換造成的“八”字形Gibbs效應(yīng)，這些都驗(yàn)證了本算法在一定精度下的正確性。

按照三維延拓步驟，構(gòu)建波數(shù)域正則化因子對(duì)單球體場(chǎng)源正演平面數(shù)據(jù)進(jìn)行三維下延[7]，做切片如圖6所示。

由圖7可見(jiàn)，三維情況與二維反演十分吻合，反演所得的場(chǎng)源位置也在22 m左右，隨深度增加下延平面最大值變化趨勢(shì)為增大→極值→減小，并且在下方成功收斂。

6 結(jié)論

（1）正則化三維向下延拓方法可以很好的壓制高頻振蕩，過(guò)場(chǎng)源位場(chǎng)不發(fā)散，有很好的穩(wěn)定性。（2）利用二維快速Fourier變換將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為波數(shù)域結(jié)合廣義正則化原理可以避免大型矩陣運(yùn)算，提高計(jì)算效率。（3）正則化濾波器是一個(gè)基于深度變化的帶通濾波器，在不同深度對(duì)不同頻率信號(hào)有不同的壓制程度，是一種動(dòng)態(tài)的濾波器，這樣即能保證數(shù)據(jù)過(guò)場(chǎng)源不產(chǎn)生震蕩，又能保證延拓深度。（4）理論上只要選取恰當(dāng)可以延拓至任意深度，并保證等值線閉合。（5）參數(shù)能控制反演場(chǎng)源的深度，利用多條件約束可以得到可靠的參數(shù)。

參考文獻(xiàn)

[1] 王邦華，王理.重磁位場(chǎng)的正則化向下延拓[J].物探化探計(jì)算技術(shù)，1998，20（1）.

[2] 劉彩云.頻率域位場(chǎng)延拓表達(dá)式的一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)：自科版，2013，10（28）.

[3] 李中芹.基于深度變化的磁場(chǎng)正則化下延方法研究[D].中國(guó)石油大學(xué)，2011.

[4] 欒文貴.場(chǎng)位解析延拓的穩(wěn)定化算法[J].地球物理學(xué)報(bào)，1983（3）：263-274.

[5] 梁錦文.位場(chǎng)向下延拓的正則化方法[J].地球物理學(xué)報(bào)，1989，32（5）.

[6] 陳生昌，肖鵬飛.位場(chǎng)向下延拓的波數(shù)域廣義逆算法[J].地球物理學(xué)報(bào)，2007，50（6）.

[7] 劉銀萍，王祝文，杜曉娟，等.基于Extrapolation Tikhonov正則化算法的重力數(shù)據(jù)三維約束反演[J].地球物理學(xué)報(bào)，2013，56（5）.endprint

摘 要：該文采用正則化方法通過(guò)頻率域響應(yīng)對(duì)位場(chǎng)進(jìn)行向下延拓，運(yùn)用牛頓切線法并引入多條件約束對(duì)正則化參數(shù)進(jìn)行了合理的選取，消除了向下延拓所固有的不穩(wěn)定性。在二維剖面和三維空間的延拓都取得了較為理想的效果。

關(guān)鍵詞：向下延拓 不適定問(wèn)題 正則化頻率域

中圖分類號(hào)：P6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位場(chǎng)的延拓已經(jīng)有多種成熟的方法，能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出。向上延拓由于不涉及到場(chǎng)源，可以達(dá)到良好的效果；但向下延拓是由實(shí)測(cè)位場(chǎng)向場(chǎng)源的延拓，是一個(gè)典型的不適定問(wèn)題，計(jì)算的本身存在不穩(wěn)定性。通常的下延方法在下延至場(chǎng)源體附近區(qū)域位場(chǎng)將發(fā)生強(qiáng)烈的震蕩效應(yīng)，國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者為解決這一問(wèn)題作了大量的探索。主要解決方向都是構(gòu)建低通濾波器。實(shí)際上相對(duì)于正則化方法，其他方法下延深度均較淺，到達(dá)場(chǎng)源時(shí)無(wú)法消除高頻振蕩。相較而言正則化方法是最穩(wěn)定的算法之一，也是理論上能過(guò)源的延拓方法，可以解決反演中解的不唯一性和不穩(wěn)定性。該文基于Fourior變換在頻率域?qū)φ齽t化因子的選擇，參數(shù)的控制及三維下延做出了一定探討。把這種方法應(yīng)用于理論模型和實(shí)際數(shù)據(jù)的向下延拓中都取得了理想的結(jié)果。

1 向下延拓的不適定性

我們知道，在場(chǎng)源區(qū)域S外位場(chǎng)u滿足Laplace方程[1]：

（1）

其中f為觀測(cè)平面的實(shí)測(cè)值，位場(chǎng)函數(shù)u為調(diào)和函數(shù)，由此構(gòu)建成為Dirchlet問(wèn)題。

解方程可得上半平面的延拓位場(chǎng)Poisson公式：

（2）

坐標(biāo)取向下為正。其中為觀測(cè)平面位場(chǎng)的觀測(cè)值，為向上延拓z1以后平面位場(chǎng)值。轉(zhuǎn)化為褶積表達(dá)式：

× （3）

將式（3）各項(xiàng)做二維Fourior變換得到波數(shù)域表達(dá)式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v為空間頻率，z為常數(shù)。故向上延拓頻率因子為[3]：

可以將向下延拓看作向上延拓的反問(wèn)題，于是把向上延拓因子的倒數(shù)作為向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

顯然向下延拓因子是一個(gè)高通濾波器，將對(duì)高頻成分進(jìn)行放大，造成延拓位場(chǎng)劇烈震蕩，使得延拓結(jié)果發(fā)散，淹沒(méi)有效信息。構(gòu)成了一個(gè)不適定問(wèn)題。

2 正則化算法

為了能得到穩(wěn)定解的向下延拓因子我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化第一類Fredholm線性積分[4]：

（8）

（9）

或第二類Fredhol線性積分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘數(shù)法，將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值[4～5]：

（12）

其中為正則化參數(shù)，使用Fourior變換和Euler方程[4]轉(zhuǎn)化到頻率域求的解方程組（7）、（8），歷史[5]上得出了不同類型的濾波器，通過(guò)試驗(yàn)效果校對(duì)本文采用陳生昌等人提出依據(jù)廣義逆運(yùn)算得出的向下延拓濾波器[6]：

（13）

它的頻率特征如圖1所示。

可以看出它是一個(gè)帶通濾波器，不同取值有不同通帶的頻率響應(yīng)，隨增大通帶向低頻方向移動(dòng)。同時(shí)它也是一個(gè)與有關(guān)的函數(shù)，頻帶將隨著深度變化動(dòng)態(tài)對(duì)下延信號(hào)進(jìn)行動(dòng)態(tài)壓制。達(dá)到消除向下延拓所存在的高頻振蕩問(wèn)題。

圖2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力異常，圖3為利用正則化延拓因子延拓5 m的二維重力異常。

3 正則化參數(shù)的選取

正則化參數(shù)的選擇將直接影響濾波器的通帶范圍，當(dāng)取的很小時(shí)濾波器近似于原始的高通向下延拓因子，會(huì)造成很強(qiáng)的高頻振蕩，淹沒(méi)有用信息。取值偏大時(shí)是一個(gè)低通濾波器，造成壓制過(guò)當(dāng)。按單個(gè)場(chǎng)源的模型，做出參數(shù)不同取值延拓位場(chǎng)最大值（場(chǎng)源位置）變化曲線如圖4所示?？梢钥闯鰠?shù)還控制了場(chǎng)源反演深度。

由于向下延拓信號(hào)由于涉及到場(chǎng)源等問(wèn)題，對(duì)于參數(shù)的選擇往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)并與實(shí)際情況相互印證。該文在前人的基礎(chǔ)上再引入多條件約束通過(guò)牛頓切線法確定的取值范圍。

約束條件：

（1）延拓在一定范圍內(nèi)位場(chǎng)值是增加的；

（2）延拓位場(chǎng)極值變化是收斂的；

（3）

第一個(gè)條件用于約束取過(guò)大所造成的壓制過(guò)當(dāng)，導(dǎo)致等值線過(guò)早閉合；第二個(gè)條件用于約束取過(guò)小造成延拓過(guò)源等值線不閉合的尷尬；第三個(gè)條件使延拓曲線形態(tài)趨勢(shì)與地表觀測(cè)曲線一致性最佳。

4 三維位場(chǎng)延拓

Step1：對(duì)觀測(cè)平面數(shù)據(jù)進(jìn)行二維Fourier變換轉(zhuǎn)換到波數(shù)域；

Step2：用同樣的濾波器構(gòu)造三維正則化延拓因子；

Step3：用三維正則化因子對(duì)波數(shù)域位場(chǎng)值進(jìn)行延拓；

Step4：Fourier反變換得到延拓后的位場(chǎng)值；

Step5：依次取不同的Z值重復(fù)上述步驟。

5 球體重力場(chǎng)數(shù)值模擬

為驗(yàn)證算法準(zhǔn)確性，本文取單個(gè)球體源的重力位場(chǎng)作為正演模型。球體參數(shù)如表1所示。

正演公式：

處理得z=0平面的重力異常，取y=0測(cè)線剖面圖，并加上微弱的隨機(jī)高斯噪聲合成，比較符合實(shí)際工作中數(shù)據(jù)采集精度，用于驗(yàn)證正則化算法對(duì)于不適定問(wèn)題的響應(yīng)。為了體現(xiàn)橫向上的變化并克服Fourier變換由于采樣不足假頻現(xiàn)象，取剖面長(zhǎng)度盡量長(zhǎng)，本文取剖面長(zhǎng)度為埋深的6倍，點(diǎn)距為2m。利用三個(gè)約束條件，在保證第一、二條件下利用牛頓迭代法求取最佳正則化參數(shù)=0.0151。

圖5是向下延拓y=0剖面的等值線圖。最大下延深度為40 m。為2倍場(chǎng)源深度，由圖?？梢?jiàn)等值線在場(chǎng)源附近閉合，并有很好的對(duì)稱性。閉合中心深度在22 m左右，和真實(shí)場(chǎng)源中心很接近。此外，在兩側(cè)有一些負(fù)異常震蕩現(xiàn)象，這是由于對(duì)高頻信息的壓制不絕對(duì)造成，在邊界還出現(xiàn)了Fourier變換造成的“八”字形Gibbs效應(yīng)，這些都驗(yàn)證了本算法在一定精度下的正確性。

按照三維延拓步驟，構(gòu)建波數(shù)域正則化因子對(duì)單球體場(chǎng)源正演平面數(shù)據(jù)進(jìn)行三維下延[7]，做切片如圖6所示。

由圖7可見(jiàn)，三維情況與二維反演十分吻合，反演所得的場(chǎng)源位置也在22 m左右，隨深度增加下延平面最大值變化趨勢(shì)為增大→極值→減小，并且在下方成功收斂。

6 結(jié)論

（1）正則化三維向下延拓方法可以很好的壓制高頻振蕩，過(guò)場(chǎng)源位場(chǎng)不發(fā)散，有很好的穩(wěn)定性。（2）利用二維快速Fourier變換將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為波數(shù)域結(jié)合廣義正則化原理可以避免大型矩陣運(yùn)算，提高計(jì)算效率。（3）正則化濾波器是一個(gè)基于深度變化的帶通濾波器，在不同深度對(duì)不同頻率信號(hào)有不同的壓制程度，是一種動(dòng)態(tài)的濾波器，這樣即能保證數(shù)據(jù)過(guò)場(chǎng)源不產(chǎn)生震蕩，又能保證延拓深度。（4）理論上只要選取恰當(dāng)可以延拓至任意深度，并保證等值線閉合。（5）參數(shù)能控制反演場(chǎng)源的深度，利用多條件約束可以得到可靠的參數(shù)。

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